大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。
前言
欧拉函数听起来很高大上，但其实非常简单，也是NOIP里的一个基础知识，希望大家看完我的博客能有所理解。 数论是数学的一个分支，它只讨论正整数的性质，所以以下都是针对正整数进行研究的。
什么是欧拉函数
欧拉函数是小于x的整数中与x互质的数的个数，一般用φ(x)表示。特殊的，φ(1)=1。
如何计算欧拉函数
通式： φ(x)=x ∏ i = 1 n ( 1 − 1 p i ) prod_{i=1}^n{(1-frac{1}{p_i})} ∏i=1n(1−pi1) φ(1)=1 其中 p 1 p_1 p1, p 2 p_2 p2…… p n p_n pn为x的所有质因数，x是正整数。 那么，怎么理解这个公式呢？对于x的一个质因数 p i p_i pi，因为x以内 p i p_i pi的倍数是均匀分布的，所以x以内有 1 p i frac {1}{p_i} pi1的数是 p i p_i pi的倍数，那么有1- 1 p i frac {1}{p_i} pi1的数不是 p i p_i pi的倍数。再对于 p j p_j pj，同理，有1- 1 p j frac {1}{p_j} pj1的数不是 p j p_j pj的倍数，所以有 ( 1 − 1 p i ) ∗ ( 1 − 1 p j ) (1-frac {1}{p_i})*(1-frac {1}{p_j}) (1−pi1)∗(1−pj1)的数既不是 p i p_i pi的倍数，又不是 p j p_j pj的倍数。最后就有 ∏ i = 1 n ( 1 − 1 p i ) prod_{i=1}^n{(1-frac{1}{p_i})} ∏i=1n(1−pi1)的数与x互质，个数自然就是x ∏ i = 1 n ( 1 − 1 p i ) prod_{i=1}^n{(1-frac{1}{p_i})} ∏i=1n(1−pi1)。 还不理解？没关系，举个例子。比如x=12，12以内有 1 2 frac {1}{2} 21的数是2的倍数，那么有1- 1 2 frac {1}{2} 21的数不是2的倍数（1,3,5,7,9,11），这6个数里又有 1 3 frac {1}{3} 31的数是3的倍数，只剩下(1- 1 2 frac {1}{2} 21)* (1- 1 3 frac {1}{3} 31)的数既不是2的倍数，也不是3的倍数（1,5,7,11）。这样剩下的 12*(1- 1 2 frac {1}{2} 21)*(1- 1 3 frac {1}{3} 31)，即4个数与12互质，所以φ(12)=4。
积性函数
先介绍一下什么是积性函数，后面将会用到。若当m与n互质时， f ( m ∗ n ) = f ( m ) ∗ f ( n ) f(m*n)=f(m)*f(n) f(m∗n)=f(m)∗f(n)，那么f是积性函数。若对任意正整数，都有f(m*n)=f(m)*f(n)成立，则f是完全积性函数。
欧拉函数的几个性质
1.对于质数p， φ ( p ) = p − 1 φ(p)=p-1 φ(p)=p−1。 2.若p为质数， n = p k n=p^k n=pk，则 φ ( n ) φ(n) φ(n)= p k p^k pk– p k − 1 p^{k-1} pk−1。 3.欧拉函数是积性函数，但不是完全积性函数。若m,n互质，则 φ ( m ∗ n ) = φ ( m ) ∗ φ ( n ) φ(m*n)=φ(m)*φ(n) φ(m∗n)=φ(m)∗φ(n)。特殊的，当m=2，n为奇数时，φ(2*n)=φ(n)。 4.当n>2时，φ(n)是偶数。 5.小于n的数中，与n互质的数的总和为：φ(n) * n / 2 (n>1)。 6. n = ∑ d ∣ n φ ( d ) n=sum_{d|n}{φ(d)} n=∑d∣nφ(d)，即n的因数（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n。
欧拉函数性质的粗略证明
1.因为p是质数，所以1到n-1都与n互质。 2.n只有一个质因数p，根据公式φ(x)=x ∏ i = 1 n ( 1 − 1 p i ) = x ∗ ( 1 − 1 p ) = p k ∗ ( 1 − 1 p ) = p k − p k − 1 prod_{i=1}^n{(1-frac{1}{p_i})} =x*(1-frac{1}{p})=p^k*(1-frac{1}{p})=p^k-p^{k-1} ∏i=1n(1−pi1)=x∗(1−p1)=pk∗(1−p1)=pk−pk−1。 3.因为m与n互质，所以它们没有公共的质因数。设m有 a m a_m am个质因数，n有 a n a_n an个质因数。 φ ( m ) ∗ φ ( n ) = m ∗ n ∗ ∏ i = 1 a m ( 1 − 1 p i ) ∗ ∏ i = 1 a n ( 1 − 1 p i ) = m ∗ n ∗ ∏ i = 1 a m a n ( 1 − 1 p i ) = φ ( m ∗ n ) φ(m)* φ(n)=m*n * prod_{i=1}^{a_m}{(1-frac{1}{p_i})}*prod_{i=1}^{a_n}{(1-frac{1}{p_i})}=m*n * prod_{i=1}^{a_m a_n}{(1-frac{1}{p_i})}=φ(m*n) φ(m)∗φ(n)=m∗n∗∏i=1am(1−pi1)∗∏i=1an(1−pi1)=m∗n∗∏i=1am an(1−pi1)=φ(m∗n)。 4.前几个都可以利用公式证明，这个却不行。首先有一个基本事实（我不想证明），若gcd(n,m)=1，则gcd(n,n-m)=1（设n>m)。当m=n-m时， n = 2 ∗ m n=2*m n=2∗m，那么n>2时gcd(n,m)<>2，与前提相悖，故m<>n-m。换句话说，n>2时，与n互质的数是成对出现的，所以φ(n)必为偶数。 5.证明这个也要用到上面所说的基本事实。与n互质的数一个是m，那么还存在另一个数n-m也与n互质。所以与n互质的数的平均数是n/2，而个数又是φ(n)，可以得到这些数的和就是φ(n)*n/2。 6.证明1（理性的证明）： 这个证明起来有点麻烦。设F(n)= ∑ d ∣ n φ ( d ) sum_{d|n}{φ(d)} ∑d∣nφ(d)。首先证明F(n)是个积性函数：设m，n互质，则要证 F ( m ∗ n ) = F ( m ) ∗ F ( n ) F(m*n)=F(m)*F(n) F(m∗n)=F(m)∗F(n)。 F ( m ) ∗ F ( n ) = ∑ i ∣ m φ ( i ) ∗ ∑ j ∣ n φ ( j ) = φ ( i 1 ) ∗ φ ( j 1 ) φ ( i 1 ) ∗ φ ( j 2 ) . . . φ ( i 2 ) ∗ φ ( j 1 ) φ ( i 2 ) ∗ φ ( j 2 ) . . . φ ( i k m ) ∗ φ ( j k n ) F(m)*F(n)=sum_{i|m}{φ(i)}*sum_{j|n}{φ(j)}=φ(i_1)*φ(j_1) φ(i_1)*φ(j_2) … φ(i_2)*φ(j_1) φ(i_2)*φ(j_2) … φ(i_{km})*φ(j_{kn}) F(m)∗F(n)=∑i∣mφ(i)∗∑j∣nφ(j)=φ(i1)∗φ(j1) φ(i1)∗φ(j2) ... φ(i2)∗φ(j1) φ(i2)∗φ(j2) ... φ(ikm)∗φ(jkn)这里假设 i 1 , i 2 , . . . i k m i_1,i_2,…i_{km} i1,i2,...ikm为m的所有因数， j 1 , j 2 , . . . j k n j_1,j_2,…j_{kn} j1,j2,...jkn为n的所有因数之和，因为m与n互质，所以它们的因数也必然全都两两互质，而欧拉函数又是个积性函数，即 φ ( i k ∗ j k ) = φ ( i k ) ∗ φ ( j k ) φ(i_k*j_k)=φ(i_k)*φ(j_k) φ(ik∗jk)=φ(ik)∗φ(jk)，那么上式又可以等价于 φ ( i 1 ∗ j 1 ) φ ( i 1 ∗ j 2 ) . . . φ ( i 2 ∗ j 1 ) φ ( i 2 ∗ j 2 ) . . . φ ( i k m ∗ j k n ) 。 φ(i_1*j_1) φ(i_1*j_2) … φ(i_2*j_1) φ(i_2*j_2) … φ(i_{km}*j_{kn})。 φ(i1∗j1) φ(i1∗j2) ... φ(i2∗j1) φ(i2∗j2) ... φ(ikm∗jkn)。可以发现， i 1 ∗ j 1 , i 1 ∗ j 2 , . . . , i 2 ∗ j 1 , i 2 ∗ j 2 , . . . , i k m ∗ j k n i_1*j_1,i_1*j_2,…,i_2*j_1,i_2*j_2,…,i_{km}*j_{kn} i1∗j1,i1∗j2,...,i2∗j1,i2∗j2,...,ikm∗jkn这些数构成了 m ∗ n m*n m∗n的所有因数。那么这些数的欧拉函数之和就等于 F ( m ∗ n ) F(m*n) F(m∗n)，所以 F ( m ∗ n ) = F ( m ) ∗ F ( n ) F(m*n)=F(m)*F(n) F(m∗n)=F(m)∗F(n)，证得F是一个积性函数。根据这个性质，F可以一直分解到n为质数的幂的情况。那么讨论当p为质数时，F(p^k)怎么计算。因为 p k p^k pk的因数只有 1 , p , p 2 , p 3 , . . . , p k 1,p,p^2,p^3,…,p^k 1,p,p2,p3,...,pk，根据F的定义，直接展开来计算就行了。（根据欧拉函数的性质2，φ( p k p^k pk)= p k − p ( k − 1 ) p^k-p^(k-1) pk−p(k−1)） F ( p k ) = φ ( 1 ) φ ( p ) φ ( p 2 ) . . . φ ( p k ) = 1 ( p − 1 ) ( p 2 − p ) . . . ( p k − p ( k − 1 ) ) = p k 。 F(p^k)=φ(1) φ(p) φ(p^2) … φ(p^k)=1 (p-1) (p^2-p) … (p^k-p^(k-1))=p^k。 F(pk)=φ(1) φ(p) φ(p2) ... φ(pk)=1 (p−1) (p2−p) ... (pk−p(k−1))=pk。既然对于质数的幂，F(n)=n成立，而F又是个积性函数，这个结论就可以扩展到任意正整数了。至此，命题得证。 证明2（感性的证明）： 以12为例。12的因子有1,2,3,4,6,12。把与这些数互质的数列出来： 1:1 2:1 3:1 2 4:1 3 6:1 5 12 1 5 7 11 不妨把这些数作为分母，把与这些数互质的数作为分子，写成分数形式： 1/1 1/2 1/3 2/3 1/4 3/4 1/6 5/6 1/12 5/12 7/12 11/12 显然，每一行的数的个数就是该行的分母的欧拉函数值。倘若把这些数都改成以12为分母的数： 12/12 6/12 4/12 8/12 3/12 9/12 2/12 10/12 1/12 5/12 7/12 11/12 可以发现，这些数是以12为分母，1~12为分子的所有数，所以个数为12个。所以与12互质的数的欧拉函数值之和就是12。这样，命题大概就被证明了吧。
求欧拉函数
埃拉托斯特尼筛求欧拉函数
观察欧拉函数的公式，φ(x)=x ∏ i = 1 n ( 1 − 1 p i ) prod_{i=1}^n{(1-frac{1}{p_i})} ∏i=1n(1−pi1) = x ∏ i = 1 n p i − 1 p i prod_{i=1}^n{frac{p_i-1}{p_i}} ∏i=1npipi−1 。我们用phi[x]表示φ(x)。可以一开始把phi[x]赋值为x，然后每次找到它的质因数就 p h i [ x ] = p h i [ x ] / p i ∗ ( p i − 1 ) phi[x]=phi[x]/p_i*(p_i-1) phi[x]=phi[x]/pi∗(pi−1)（先除再乘，避免溢出）。当然，若只要求一个数的欧拉函数，可以从1到sqrt(n)扫一遍，若gcd(i,n)=1就更新 p h i [ n ] phi[n] phi[n]。复杂度为O(logn)（代码就不给了）。那要求1~n所有数的欧拉函数呢？可以用埃拉托斯特尼筛的思想，每次找到一个质数，就把它的倍数更新掉。这个复杂度虽然不是O(n)，但还是挺快的（据说是O(n*ln ln n)，关于证明，可以点这里，虽然我看不懂）。 代码如下：
代码语言：javascript复制void euler(int n)
{
for (int i=1;i<=n;i ) phi[i]=i;
for (int i=2;i<=n;i )
{
if (phi[i]==i)//这代表i是质数
{
for (int j=i;j<=n;j =i)
{
phi[j]=phi[j]/i*(i-1);//把i的倍数更新掉
}
}
}
}欧拉筛求欧拉函数
前提是要懂欧拉筛。每个数被最小的因子筛掉的同时，再进行判断。i表示当前做到的这个数，prime[j]表示当前做到的质数，那要被筛掉的合数就是i*prime[j]。若prime[j]在这个合数里只出现一次（i%prime[j]!=0），也就是i和prime[j]互质时，则根据欧拉函数的积性函数的性质，phi[i * prime[j]]=phi[i] * phi[prime[j]]。若prime[j]在这个合数里出现了不止一次（i%prime[j]=0），也就是这个合数的所有质因子都在i里出现过，那么根据公式，φ(i * prime[j])=prime[j] * i * ∏ k = 1 n ( 1 − 1 p k ) prod_{k=1}^n{(1-frac{1}{p_k})} ∏k=1n(1−pk1) =φ(i) *prime[j]。复杂度为O(n)。 还是看代码吧：
代码语言：javascript复制void euler(int n)
{
phi[1]=1;//1要特判
for (int i=2;i<=n;i )
{
if (flag[i]==0)//这代表i是质数
{
prime[ num]=i;
phi[i]=i-1;
}
for (int j=1;j<=num&&prime[j]*i<=n;j )//经典的欧拉筛写法
{
flag[i*prime[j]]=1;//先把这个合数标记掉
if (i%prime[j]==0)
{
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];//若prime[j]是i的质因子，则根据计算公式，i已经包括i*prime[j]的所有质因子
break;//经典欧拉筛的核心语句，这样能保证每个数只会被自己最小的因子筛掉一次
}
else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];//利用了欧拉函数是个积性函数的性质
}
}
}总结
有关欧拉函数的性质，只需做个了解，而求欧拉函数的代码，却是一定要会写的。这只是走进数论世界的第一步。
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