球体投影到像素空间的大小

1. 概述

需要说明的是，球体投影到像素空间的结果可能不是一个正圆，其半径或者直径大小只能估算而没有确定的值。根据参考资料，球体投影到像素空间的半径的计算公式为：

radius_{[clip_space]} = radius * cot(fov / 2) / Z tag{0}

其中radius是球体的半径，fov是摄像机视场角，z是球心到摄像机位置的距离。当然，由于最后得到的是裁剪空间的大小，需要换算到屏幕像素空间。

根据我的理解，这个公式也是近似的。本人通过参考文献得到的推导方式如下所示。

使用参考文章4中的插图：

球体投影到像素空间的半径其实就是h的像素长度。此时，有：

tantheta = radius_{[clip_space]} / z_{[clip_space]} tag{1}

球体被投影到裁剪空间:

由投影变换的性质可知：

tan(fovy / 2) = 1 / z_{[clip_space]} tag{2}

联立(1)(2)式有，

radius_{[clip_space]} = tantheta * cot(fovy / 2) tag{3}

根据世界空间的集合关系，有：

tantheta = r / l tag{4}

式(4)带入式(3)中，有：

radius_{[clip_space]} = r * cot(fovy / 2) / l tag{5}

在摄像机距离球心比较远的情况下，可以认为：

l approx d

也就是式(0)的由来。如果需要计算准确一点，那么：

l = sqrt{d^2 - r^2} tag{6}

上式带入式(5)，就会有：

radius_{[clip_space]} = r * cot(fovy / 2) / sqrt{d^2 - r^2} tag{7}

最后换算到屏幕像素空间：

radius_{[screen_space]} = frac{r cdot cot(frac{fovy}{2}) cdot height} {2sqrt{d^2 - r^2}} tag{8}

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