大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。
一、概述
两立体表面的交线称为相贯线，见图5-14a和b所示的三通管和盖。三通管是由水平横放的圆筒与垂直竖放的带孔圆锥台组合而成。盖是由水平横放的圆筒与垂直竖放的带孔圆锥台、圆筒组合而成。它们的表面(外表面或内表面)相交，均出现了箭头所指的相贯线，在画该类零件的投影图时，必然涉及绘制相贯线的投影问题。
讨论两立体相交的问题，主要是讨论如何求相贯线。工程图上画出两立体相贯线的意义，在于用它来完善、清晰地表达出零件各部分的形状和相对位置，为准确地制造该零件提供条件。
(一)相贯线的性质
由于组成相贯体的各立体的形状、大小和相对位置的不同，相贯线也表现为不同的形状，但任何两立体表面相交的相贯线都具有下列基本性质：
1.共有性
相贯线是两相交立体表面的共有线，也是两立体表面的分界线，相贯线上的点一定是两相交立体表面的共有点。
2.封闭性
由于形体具有一定的空间范围，所以相贯线一般都是封闭的。在特殊情况下还可能是不封闭的，如图5-15c所示。
3.相贯线的形状
平面立体与平面立体相交，其相贯线为封闭的空间折线或平面折线。平面立体与曲面立体相交，其相贯线为由若干平面曲线或平面曲线和直线结合而成的封闭的空间的几何形。应该指出：由于平面立体与平面立体相交或平面立体与曲面立体相交，都可以理解为平面与平面立体或平面与曲面立体相交的截交情况，因此，相贯的主要形式是曲面立体与曲面立体相交。最常见的曲面立体是回转体。两回转体相交，其相贯线一般情况下是封闭的空间曲线(如图5-15a)，特殊情况下是平面曲线(如图5-15 b)或由直线和平面曲线组成(如图5-15c ).
(二)求相贯线的方法、步骤
求画两回转体的相贯线，就是要求出相贯线上一系列的共有点。求共有点的方法有：面上取点法、辅助平面法和辅助同心球面法。具体作图步骤为：
(1)找出一系列的特殊点(特殊点包括：极限位置点、转向点、可见性分界点)；
(2)求出一般点；
(3)判别可见性；
(4)顺次连接各点的同面投影；
(5)整理轮廓线。
二、相贯线的作图方法
(一)面上取点法
当相交的两回转体中有一个(或两个)圆柱，且其轴线垂直于投影面时，则圆柱面在该投影面上的投影具有积聚性且为一个圆，相贯线上的点在该投影面上的投影也一定积聚在该圆上，而其它投影可根据表面上取点方法作出。
[例5-10] 求轴线正交的两圆柱表面的相贯线(图5-16)
两圆柱的轴线垂直相交，相贯线是封闭的空间曲线，且前后对称、左右对称。相贯线的水平投影与垂直竖放圆柱体的圆柱面水平投影的圆重合，其侧面投影与水平横放圆柱体相贯的柱面侧面投影的一段圆弧重合。因此，需要求作的是相贯线的正面投影，故可用面上取点法作图。
作图步骤(如图5-16b所示)：
(1)求特殊点(如点A、B、C、D) 由于两圆柱的正视转向轮廓线处于同一正平面上，故可直接求得A、B两点的投影。点A和B是相贯线的最高点(也是最左和最右点)，其正面投影为两圆柱面正视转向轮廓线的正面投影的交点a′和b′。点C和D是相贯线的最前点和最后点(也是最低点)，其侧面投影为垂直竖放圆柱面的侧视转向轮廓线的侧面投影与水平横放圆柱的侧面投影为圆的交点c″和d″。而水平投影a、b、c和d均在直立圆柱面的水平投影的圆上。由c、d和c″、d″即可求得正面投影上的c′和(d′)。
一、概述
两立体表面的交线称为相贯线，见图5-14a和b所示的三通管和盖。三通管是由水平横放的圆筒与垂直竖放的带孔圆锥台组合而成。盖是由水平横放的圆筒与垂直竖放的带孔圆锥台、圆筒组合而成。它们的表面(外表面或内表面)相交，均出现了箭头所指的相贯线，在画该类零件的投影图时，必然涉及绘制相贯线的投影问题。
讨论两立体相交的问题，主要是讨论如何求相贯线。工程图上画出两立体相贯线的意义，在于用它来完善、清晰地表达出零件各部分的形状和相对位置，为准确地制造该零件提供条件。
(一)相贯线的性质
由于组成相贯体的各立体的形状、大小和相对位置的不同，相贯线也表现为不同的形状，但任何两立体表面相交的相贯线都具有下列基本性质：
1.共有性
相贯线是两相交立体表面的共有线，也是两立体表面的分界线，相贯线上的点一定是两相交立体表面的共有点。
2.封闭性
由于形体具有一定的空间范围，所以相贯线一般都是封闭的。在特殊情况下还可能是不封闭的，如图5-15c所示。
3.相贯线的形状
平面立体与平面立体相交，其相贯线为封闭的空间折线或平面折线。平面立体与曲面立体相交，其相贯线为由若干平面曲线或平面曲线和直线结合而成的封闭的空间的几何形。应该指出：由于平面立体与平面立体相交或平面立体与曲面立体相交，都可以理解为平面与平面立体或平面与曲面立体相交的截交情况，因此，相贯的主要形式是曲面立体与曲面立体相交。最常见的曲面立体是回转体。两回转体相交，其相贯线一般情况下是封闭的空间曲线(如图5-15a)，特殊情况下是平面曲线(如图5-15 b)或由直线和平面曲线组成(如图5-15c ).
(二)求相贯线的方法、步骤
求画两回转体的相贯线，就是要求出相贯线上一系列的共有点。求共有点的方法有：面上取点法、辅助平面法和辅助同心球面法。具体作图步骤为：
(1)找出一系列的特殊点(特殊点包括：极限位置点、转向点、可见性分界点)；
(2)求出一般点；
(3)判别可见性；
(4)顺次连接各点的同面投影；
(5)整理轮廓线。
二、相贯线的作图方法
(一)面上取点法
当相交的两回转体中有一个(或两个)圆柱，且其轴线垂直于投影面时，则圆柱面在该投影面上的投影具有积聚性且为一个圆，相贯线上的点在该投影面上的投影也一定积聚在该圆上，而其它投影可根据表面上取点方法作出。
[例5-10] 求轴线正交的两圆柱表面的相贯线(图5-16)
两圆柱的轴线垂直相交，相贯线是封闭的空间曲线，且前后对称、左右对称。相贯线的水平投影与垂直竖放圆柱体的圆柱面水平投影的圆重合，其侧面投影与水平横放圆柱体相贯的柱面侧面投影的一段圆弧重合。因此，需要求作的是相贯线的正面投影，故可用面上取点法作图。
作图步骤(如图5-16b所示)：
(1)求特殊点(如点A、B、C、D) 由于两圆柱的正视转向轮廓线处于同一正平面上，故可直接求得A、B两点的投影。点A和B是相贯线的最高点(也是最左和最右点)，其正面投影为两圆柱面正视转向轮廓线的正面投影的交点a′和b′。点C和D是相贯线的最前点和最后点(也是最低点)，其侧面投影为垂直竖放圆柱面的侧视转向轮廓线的侧面投影与水平横放圆柱的侧面投影为圆的交点c″和d″。而水平投影a、b、c和d均在直立圆柱面的水平投影的圆上。由c、d和c″、d″即可求得正面投影上的c′和(d′)。
(2)求一般点(如点Ⅰ、Ⅱ) 先在相贯线的侧面投影上取1″和(2″)，过点Ⅰ、Ⅱ分别作两圆柱的素线，由交点定出水平投影1和2。再按投影关系求出1′和2′(也可用辅助平面法求一般点)。
(3)判别可见性，然后按水平投影各点顺序，将相贯线的正面投影依次连成光滑曲线。因前后对称，相贯线正面投影其不可见部分与可见部分重影。相贯线的水平投影和侧面投影都积聚在圆上。
轴线正交两圆柱有三种基本形式，除图5-16和图5-17a所示的两外表面相交外，还有如图5-17b所示的外表面与内表面相交和图5-17c 所示的两内表面相交等形式，这些相贯线的作图方法都和图5-16的作图方法一样
[例5-11] 求轴线交叉垂直的两圆柱表面的相贯线(图5-18)
两圆柱的轴线彼此交叉垂直，分别垂直于水平面和侧面，所以相贯线的水平投影与直立小圆柱面的水平投影的圆重合，侧面投影与水平大圆柱面参与相贯的侧面投影的一段圆弧重合，因此本题只需求出相贯线的正面投影。由于直立小圆柱面的全部素线都贯穿于水平大圆柱面，且小圆柱轴线位于大圆柱轴线之前，两个圆柱面具有公共的左右对称面和上下对称面，所以相贯线是上、下两条左右对称的封闭的空间曲线。此题可用面上取点法(或辅助平面法)作图。
作图步骤(如图5-18b所示)：
(1)求特殊点(如点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ) 定出小圆柱面正视转向轮廓线上的点Ⅰ、Ⅱ的水平投影1、2及侧面投影1″、2″，从而求出正面投影1′、2′。点Ⅰ、Ⅱ是相贯线上的最左点、最右点。同理，可定出小圆柱面侧视转向轮廓线上的点Ⅲ、Ⅳ的水平投影3、4及侧面投影3″、4″，从而求出正面投影3′、4′。点Ⅲ、Ⅳ是相贯线上的最前点、最后点。Ⅲ也是最低点。再定出大圆柱面正视转向轮廓线上的点Ⅴ、Ⅵ的水平投影5、6及侧面投影5″、6″，再求出其正面投影5′、6′。点Ⅴ、Ⅵ是相贯线上的最高点。
(2)求一般点(如点Ⅶ、Ⅷ) 在点Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ之间，任选两点(如Ⅶ、Ⅷ)，定出水平投影7、8，利用大圆柱面积聚为圆的侧面投影，先得侧面投影7″、(8″)后，由水平投影7、8和侧面投影7″、(8″)求得正面投影交点7′、8′。为作图精确起见，还可以依次求出足够多的一般点。
(3)判别可见性 判别可见性的原则是：当相贯两立体表面都可见时，它们的相贯线才是可见的，若两立体表面之一不可见多两立体表面均不可见，则相贯线都为不可见。因此，在小圆柱正视转向轮廓线之前，两圆柱面均可见，其相贯线为可见，则正面投影上的1′、2′为相贯线正面投影可见与不可见的分界点，曲线段1′(5′)(4′)(6′)2′为不可见，应画成虚线，曲线段1′7′3′8′2′为可见，应画成粗实线。
(4)连曲线 参照水平投影个点顺序，将各点正面投影依次连成光滑封闭的曲线，即得上端相贯线的正面投影(下端相贯线的正面投影作法与上端相同)。
(5)整理轮廓线 将两圆柱看成一个整体，大圆柱的正视转向轮廓线应画至(5′)及(6′)处，被小圆柱遮住部分应画成虚线；小圆柱的正视转向轮廓线应画至1′及2′处(见放大图)。
(二)辅助平面法
1.辅助平面法 假设作一辅助平面，使与相贯线的两回转体相交，先求出辅助平面与两回转体的截交线，则两回转体上截交线的交点必为相贯线上的点。如图5-19所示。若作一系列的辅助平面，便可得到相贯线上的若干点，然后判别可见性，依次光滑连接各点，即为所求的相贯线。
2.辅助平面选择原则 为了便于作图，辅助平面应为特殊位置平面并作在两回转面的相交范围内，同时应使辅助平面与两回转面的截交线的投影都是最简单易画的图形(多边形多圆)。
3.用辅助平面法求共有点的作图步骤
(1)作辅助平面；
(2)分别作出辅助平面与两回转面的截交线；
(3)两回转面截交线的交点，即为所求的共有点。
(三)一些典型几何形状的相贯线
[例5-12] 求轴线正交的圆柱与圆锥台的相贯线(图5-20)
如图5-20所示。圆柱和圆锥台的轴线垂直相交，相贯线为一封闭的空间曲线。由于圆柱轴线是侧垂线，则圆柱的侧面投影是有积聚性的圆，所以相贯线的侧面投影与此圆重合，需要求的是相贯线的正面投影的水平投影。由于圆锥台轴线垂直水平面，所以采用水平面作为辅助平面。
作图步骤(如图5-20b所示)：
(1)求特殊点 相贯线的最高点Ⅰ和最低点Ⅱ分别位于水平横放圆柱和圆锥台的正视转向轮廓线上，所以在正面投影中其交点1′、2′可以直接求出。由1′、2′可求得侧面投影1″、2″和水平投影1、2。相贯线的最前点Ⅲ和最后点Ⅳ，分别位于水平圆柱最前和最后两条俯视转向轮廓线上，其侧面投影3″、4″可直接求出。水平投影3、4可过圆柱轴线作水平面P求出(P与圆柱和圆锥台的截交线在水平投影上的交点)，由3、4和3″、4″可求得正面投影3′、(4′)。
(2)求一般点 做辅助水平面P。平面P与圆锥台的截交线为圆，与圆柱的截交线为两平行直线。两截交线的交点Ⅴ、Ⅵ即为相贯线上的点。求出两截交线的水平投影，则它们的交点5、6即为相贯线上点Ⅴ、Ⅵ的水平投影。其侧面投影5″、6″积聚在P上，正面投影5′、6′积聚在P上。再作辅助水平面P，又可求出相贯线上Ⅶ、Ⅷ两点的侧面投影7″、8″和水平投影(7)、(8)和侧面投影7″、8″可求得正面投影7′、(8′)。
(3)判别可见性 水平投影中在下半个圆柱面上的相贯线是不可见的，3、4两点是相贯线水平投影的可见与不可见的分界点。正面投影中相贯线前、后部分的投影重合，即可见与不可见的投影互相重合。
(4)连曲线 参照各点侧面投影的顺序，将各点的同面投影连成光滑的曲线。正面投影中可见点1′、5′、3′、7′、2′连成粗实线，水平投影中可见点3、5、1、6、4连成粗实线，不可见点4、(8)、(2)、(7)、3各点连成虚线。
(5)整理外形轮廓线 在水平投影中，圆柱的俯视转向轮廓线应画到3、4点为止。
此题也可用面上取点法求解，读者可自行试解。
[例5-13] 求圆锥台与半球的相贯线(图5-21)。
由图5-21a中可以看出：圆锥台的轴线不通过球心，但它们具有平行于正面的公共的对称面。因此，相贯线是一条前后对称的封闭的空间曲线。锥面、球面的个投影都无积聚性，故相贯线的各个投影都需要通过选用合适的辅助平面求解。
作图步骤(如图5-21b～f所示)：
(1)求特殊点 如图5-21b所示，由于圆锥台的轴线与半球铅垂方向的轴线平行，并与圆锥台、半球的正视转向轮廓线处于同一正平面内，故可用包含圆锥轴线和圆球轴线所决定的正平面(即它们的前后公共对称面)作为辅助平面S，它与圆锥面交于两条正视转向轮廓线，与球面交于一条正视转向轮廓线，两者交于Ⅰ、Ⅱ两点，即为所求的处于二者正视转向轮廓线上的点。现可由其正面投影交点1′、2′，求得水平投影1、2和侧面投影1″、(2″)。Ⅰ、Ⅱ两点分别为相贯线上的最低点和最高点，也是最左点和最右点(注意：仅有这一个正平面可作辅助正平面？为什么？请读者思考)
再经包含圆锥台的轴线作一侧平面P 为辅助平面，如图5-21c所示，它与圆锥面交于两条侧视转向轮廓线，它与圆球面的交线为平行与侧面的圆，两线交于Ⅲ、Ⅳ两点，即为所求圆锥面的侧视转向轮廓线上的点。如图5-21b即由其侧面投影交点3″、4″求得正面投影3′、(4′)和水平投影3、4(同样，这里也仅有这个侧平面可作辅助侧平面)。
(2)求一般点 如图5-21d、e所示，由于圆锥台的轴线垂直于水平面，用水平面作辅助平面，则它与圆锥台、圆球的截交线均为水平圆周，故在点Ⅰ、Ⅲ之间作辅助水平面Q(Q、Q)，它与圆锥面及球面的截交线分别为圆M及L，两者交于Ⅴ、Ⅵ。即先得水平投影中的交点5、6，从而求得5′、(6′)和5″、6″。同理，可作一系列辅助水平，求得相贯线上足够多的一般点，如再作Q2v可求出7、8，从而求出7′、(8′)及(7″)、(8″)；只有先画出相贯线的正面投影，并令它与圆球的侧视转向轮廓线N(n、n′、n″)的正面投影n′相交，才能求出9′、(10′)，从而求出(9″)、(10″)及9、10。点Ⅸ、Ⅹ是相贯线与半球侧视转向轮廓线N的交点，也是半球侧视转向轮廓线与圆锥面的交点。
(3)判别可见性 在水平投影中，相贯线都是可见的。按可见性原则可知，属于圆锥台左半部一段可见相贯线的侧面投影4″、6″、1″、5″、3″曲线段画成粗实线，3″、4″为侧面投影可见与不可见的分界点，应把不可见的侧面投影4″(8″)(10″)(2″)(9″)(7″)3″曲线段画成虚线。
(4)连曲线 如图5-21f所示，将正面投影中可见点1′5′3′7′9′2′连成光滑曲线。然后依次光滑连接各点的水平投影和侧面投影。
(5)整理轮廓线 在正面投影中，圆锥台和半球 的正视转向轮廓线应分别画到1′、2′处为止。在侧面投影中，圆锥台的侧视转向轮廓线的侧面投影只画到3″、4″处；半球的侧视转向轮廓线n″只画到(9″)、(10″)处为止，其中被圆锥台遮住的部分应画成虚线。
当两相交回转体，其两轴线相交时，可用交点为球心作辅助球面，分别与两回转体相交的相贯线均为圆，这两个圆因位于同一球面上，彼此相交，两圆的交点是两回转体表面上的共有点，即相贯线上的点，同理可求得相贯线上若干点，此方法称为辅助球面法，本书不另阐述。
三、相贯线的特殊情况
两回体相交，在一般情况下相贯线是空间曲线，但在特殊情况下相贯线也困难是平面曲线或直线。下面介绍几种常见的情况。
(1)同轴的两回转体相交，相贯线是垂直于轴线的圆，如图5-22a、b、c。当轴线平行于某一投影面时，其相贯线在该投影面上的投影积聚成一直线。如图5-22a、b、c。
(2)切于同一球面的两回转体相交(圆柱与圆柱、圆柱与圆锥、圆锥与圆锥)，其相贯线为两个相交的垂直于公共对称面的椭圆。举例如下：
①当两圆柱轴线相交、直径相等、同切于一球面时，其相贯线为两个大小相等的椭圆，如图5-23a所示。在这种情况下两个椭圆的正面投影积聚为相交两直线，水平投影和侧面投影均积聚为圆。
②当圆柱与圆锥台的轴线相交，且同切于一球面时，其相贯线为两个大小相等的椭圆，如图5-23b所示。在这种情况下两个椭圆的正面投影积聚为两相交直线，水平投影仍为椭圆，侧面投影积聚为圆。
(3)轴线相互平行的两圆柱相交，两圆柱面上的相贯线是两条平行于轴线的直线，如图5-24所示。
四、相贯线投影的弯曲趋向和变化情况
相贯线投影的弯曲趋向随相贯的两回转体的种类变化、尺寸变化和相对位置的变化而不同。表5-3所示是尺寸变化对相贯线形状的影响。表中左图的相贯线的正面投影为左右两条曲线(空间曲线)，中图的相贯线的正面投影为上下两条曲线(空间曲线)，右图的相贯线的正面投影为两条直线(平面曲线)。
表5-4是相对位置变化对相贯线形状影响的实例。表5-4中各图圆柱面和圆锥面尺寸大小不变，但因其轴线的相对位置不同，故相贯线的形状也随之而有变化。
除表5-3、表5-1的例子外，还常见两圆柱的轴线由垂直相交逐渐变为垂直交叉，相贯线从两条空间曲线也逐渐变为一条空间曲线的情况，如图5-25所示。图5-25a和b所示为两条空间曲线，图5-25c、d和e所示为一条空间曲线。
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