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矩阵范数的等价
设 F=R F = R mathbb F=mathbb R 或 C, C , mathbb C, 对于任意两个 Fn×n F n × n mathbb F^{n times n} 上的范数 ∥⋅∥α ‖ ⋅ ‖ α Vert cdotVert_{alpha} 与 ∥⋅∥β, ‖ ⋅ ‖ β , Vert cdotVert_{beta}, 若存在常数 C1>0,C2>0, C 1 > 0 , C 2 > 0 , C_1 gt 0, C_2 gt 0, 使得 ∀X∈Fn×n, ∀ X ∈ F n × n , forall mathbf {X} in mathbb F^{n times n},
∥X∥α≤C1∥X∥β,∥X∥β≤C2∥X∥α ‖ X ‖ α ≤ C 1 ‖ X ‖ β , ‖ X ‖ β ≤ C 2 ‖ X ‖ α
Vert mathbf {X} Vert _{alpha} le C_1 Vert mathbf {X} Vert _{beta}, Vert mathbf {X} Vert _{beta} le C_2 Vert mathbf {X} Vert _{alpha} 则称 ∥⋅∥α ‖ ⋅ ‖ α Vert cdotVert_{alpha} 与 ∥⋅∥β ‖ ⋅ ‖ β Vert cdotVert_{beta} 是等价的。
性质
Fn×n F n × n mathbb F^{n times n} 上的任意两种矩阵范数都是等价的。
证明
令 Eij∈Fn×n E i j ∈ F n × n E _{ij} in mathbb F^{n times n} 表示只有在第 i i i 行第 j
j
j 列的元素为 1, 1 , 1, 其他元素都为 0 0 0 的矩阵。 则 ∀X∈Fn×n,X=(xij)n×n=∑i=1n∑j=1nxijEij
∀
X
∈
F
n
×
n
,
X
=
(
x
i
j
)
n
×
n
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
x
i
j
E
i
j
forall mathbf {X} in mathbb F^{n times n}, mathbf {X}=begin{pmatrix} x_{ij} end{pmatrix} _{n times n}=sum limits _{i=1} ^{n} sum limits _{j=1} ^{n} x_{ij} E _{ij} 1. 首先证明对于任意一个 Fn×n F n × n mathbb F^{n times n} 上的范数 ∥⋅∥, ‖ ⋅ ‖ , Vert cdotVert, 函数 φ:Fn×n↦R,φ(X)=∥X∥ φ : F n × n ↦ R , φ ( X ) = ‖ X ‖ varphi:mathbb F^{n times n} mapsto R, varphi (mathbf {X})=left Vert mathbf {X} right Vert 在 L2 L 2 L_2 范数下是连续的。 对于任意一个 Fn×n F n × n mathbb F^{n times n} 上的范数 ∥⋅∥,∀X,Y∈Fn×n, ‖ ⋅ ‖ , ∀ X , Y ∈ F n × n , Vert cdotVert, forall mathbf {X}, mathbf {Y} in mathbb F^{n times n}, |φ(X)−φ(Y)|=|∥X∥−∥Y∥|≤∥X−Y∥ | φ ( X ) − φ ( Y ) | = | ‖ X ‖ − ‖ Y ‖ | ≤ ‖ X − Y ‖ vert varphi (mathbf {X}) - varphi (mathbf {Y}) vert=vert Vert mathbf {X} Vert - Vert mathbf {Y} Vert vert le Vert mathbf {X} - mathbf {Y} Vert =∥∑i=1n∑j=1nxijEij−∑i=1n∑j=1nyijEij∥ = ‖ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n x i j E i j − ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n y i j E i j ‖ =Vert sum limits _{i=1} ^{n} sum limits _{j=1} ^{n} x_{ij} E _{ij} - sum limits _{i=1} ^{n} sum limits _{j=1} ^{n} y_{ij} E _{ij} Vert =∥∑i=1n∑j=1n(xij−yij)Eij∥ = ‖ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ( x i j − y i j ) E i j ‖ =Vert sum limits _{i=1} ^{n} sum limits _{j=1} ^{n} (x_{ij} - y_{ij}) E _{ij} Vert ≤∑i=1n∑j=1n∥(xij−yij)Eij∥ ≤ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ‖ ( x i j − y i j ) E i j ‖ le sum limits _{i=1} ^{n} sum limits _{j=1} ^{n} Vert (x_{ij} - y_{ij}) E _{ij} Vert =∑i=1n∑j=1n|xij−yij|∥Eij∥ = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n | x i j − y i j | ‖ E i j ‖ =sum limits _{i=1} ^{n} sum limits _{j=1} ^{n} vert x_{ij} - y_{ij} vert Vert E _{ij} Vert →0,X→Y → 0 , X → Y to 0, mathbf {X} to mathbf {Y} 因此 φ(X) φ ( X ) varphi (mathbf {X}) 是连续函数。 2. 于是 φ(Y;α)=∥Y∥α φ ( Y ; α ) = ‖ Y ‖ α varphi (mathbf {Y}; alpha)=Vert mathbf {Y} Vert _{alpha} 在有界闭集 S={ Y∈Fn×n:∥Y∥2=1} S = { Y ∈ F n × n : ‖ Y ‖ 2 = 1 } S={ mathbf {Y} in mathbb F ^{n times n}:Vert mathbf {Y} Vert _{2}=1 } 上连续，又 φ(Y;α) φ ( Y ; α ) varphi (mathbf {Y} ; alpha) 在 S S S 恒大于零，因此在 S
S
S 内必有最大值 Cmax>0, C max > 0 , C_{max} gt 0, 最小值 Cmin>0, C min > 0 , C_{min} gt 0, 同理可得 φ(Y;β)=∥Y∥β φ ( Y ; β ) = ‖ Y ‖ β varphi (mathbf {Y}; beta)=Vert mathbf {Y} Vert _{beta} 在 S S S 内必有最大值 Dmax>0,
D
max
>
0
,
D_{max} gt 0, 最小值 Dmin>0, D min > 0 , D_{min} gt 0, 3. ∀X∈Fn×n, ∀ X ∈ F n × n , forall mathbf {X} in mathbb F^{n times n}, 若 X=0, X = 0 , mathbf {X}=mathbf {0}, 则命题显然成立。 否则 X≠0, X ≠ 0 , mathbf {X} neq mathbf {0}, 令 Y=1∥X∥2X, Y = 1 ‖ X ‖ 2 X , mathbf {Y}=dfrac {1}{Vert mathbf {X} Vert_{2}}mathbf {X} , 则 ∥Y∥2=1, ‖ Y ‖ 2 = 1 , Vert mathbf {Y} Vert _{2}=1, 因此 Y∈S, Y ∈ S , Y in S, 于是 ∥X∥β∥X∥α=∥Y∥β∥Y∥α∥X∥2∥X∥2 ‖ X ‖ β ‖ X ‖ α = ‖ Y ‖ β ‖ Y ‖ α ‖ X ‖ 2 ‖ X ‖ 2 dfrac {Vert mathbf {X} Vert _{beta}}{Vert mathbf {X} Vert _{alpha}}=dfrac {Vert mathbf {Y} Vert _{beta}}{Vert mathbf {Y} Vert _{alpha}} dfrac {Vert mathbf {X} Vert_{2}}{Vert mathbf {X} Vert_{2}} =φ(Y;α)φ(Y;β)∈[DminCmax,DmaxCmin] = φ ( Y ; α ) φ ( Y ; β ) ∈ [ D min C max , D max C min ] =dfrac {varphi (mathbf {Y}; alpha)} {varphi (mathbf {Y}; beta) } in left [dfrac {D_{min}} {C_{max}}, dfrac {D_{max}} {C_{min}} right] 。 令 C1=DminCmax,C2=DmaxCmin, C 1 = D min C max , C 2 = D max C min , C_1=dfrac {D_{min}} {C_{max}} , C_2=dfrac {D_{max}} {C_{min}} , 则： 0<C1≤∥X∥β∥X∥α≤C2 0 < C 1 ≤ ‖ X ‖ β ‖ X ‖ α ≤ C 2 0 lt C_1 le dfrac {Vert mathbf {X} Vert_{beta}} {Vert mathbf {X} Vert_{alpha}} le C_2
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