线性代数与解析几何——Part1 解析几何

2022-10-04 19:15:18 浏览数 (1)
  • 线性代数与解析几何——Part1 解析几何
    • 0. 前言
    • 1. 向量与复数
      • 1. 向量
      • 2. 向量运算
        • 1. 数量积（内积）
        • 2. 向量积
        • 3. 混合积
    • 2. 空间解析几何
      • 1. 直线和平面
        • 1. 直线的表达
        • 2. 平面的表达
        • 3. 点到直线的距离
        • 4. 点到平面的距离
        • 5. 两直线间的距离
        • 6. 两平面间的夹角
        • 7. 直线与平面的夹角
      • 2. 曲线和曲面
        • 1. 曲线表达式
        • 2. 曲面表达式

0. 前言

线代是很早之前大一上的东西了，当时记得学的还可以，不过确实印象中里面各种零零散散的公式定理有一堆，感觉学的不怎么成体系，后来也一直没怎么真正用起来，等到现在也基本算是把学的全部还给老师了……

不过问题在于，虽然我现在已经不搞物理很多年了，但是架不住我转行做算法了啊，算法的核心不就是各种矩阵计算吗？虽然由于神经网络当中参数的复杂性，我自己也不是研究员，更多时候主要考察的还是数据特征以及对结果进行定性上的分析，而不会从模型结构中涉及的矩阵变换来对结果进行调优，但是线代终究感觉还是有必要去捞一下了……

所以，这里我打算还是掏出当年的教科书把线代给复习一下吧……

不过说到这里，我真的是想好好吐槽一下了，我掏出教科书之后才发现，当年上线代居然用的教材是线性代数与解析几何，然后教材前两章全都在讲解几，里面涉及到的线代相关的东西貌似也全部是服务于坐标系变换的，虽说我是物理系的吧，但是这是不是也太忽悠了啊，难怪当年印象中我好像特意去找了本数学系的线代教材自学来着……

简直了……

算了，先把这本书简单过一下吧，回头下次再找本数学系的教材好好补补吧……

1. 向量与复数

1. 向量

向量的含义顾名思义，就是即有大小又有方向的量，其满足如下性质：

  1. 交换律：
vec{a} vec{b} = vec{b} vec{a}
  1. 结合律：
(vec{a} vec{b}) vec{c} = vec{a} (vec{b} vec{c})
vec{a} vec{0} = vec{a}
vec{a} (-vec{a}) = vec{0}
1 vec{a} = vec{a}
lambda (mu vec{a}) = (lambdamu)vec{a}
(lambda mu)vec{a} = lambdavec{a} muvec{a}
lambda(vec{a} vec{b}) = lambdavec{a} lambdavec{b}

关于向量还有一些比较简单的性质，比如说：

命题1.1.1

另外，我们可以基于此定义线性组合和线性相关：

因此，显然有：

  • 两个向量线性相关当且仅当其共线；
  • 三个向量线性相关当且仅当其共面。

2. 向量运算

1. 数量积（内积）

首先，我们给出其定义如下：

定义1.3.1

  • 两个向量vec{a}, vec{b} 的数量积（内积）是一个标量，它等于两个向量的模长与两个向量夹角的余弦的乘积，即为vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| |vec{b}| cos theta 。

物理含义上来说，内积就是两个向量在各自方向上的投影之积。

显然，我们有如下性质：

vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}
(vec{a} vec{b}) cdot vec{c} = vec{a} cdot vec{c} vec{b} cdot vec{c}
(lambda vec{a}) cdot vec{b} = lambda (vec{a} cdot vec{b}) = vec{a} cdot (lambda vec{b})
vec{a}^2 = vec{a} cdot vec{a} geq 0
  1. 三角不等式：
|vec{a}| |vec{b}| geq |vec{a} vec{b}|
2. 向量积

同样，给出向量积的定义如下：

显然，我们同样有：

vec{a} times vec{b} = -vec{b} times vec{a}
(lambda vec{a}) times vec{b} = lambda (vec{a} times vec{b}) = vec{a} times (lambda vec{b})
(vec{a} vec{b}) times vec{c} = vec{a} times vec{c} vec{b} times vec{c}

更进一步的，我们其实还有性质如下：

(vec{a} vec{b}) times vec{c} = (vec{a}cdotvec{c})vec{b} - (vec{b}cdotvec{c})vec{a}
(vec{a} vec{b}) cdot (vec{c} vec{d}) = (vec{a}cdotvec{c})(vec{b}cdotvec{d}) - (vec{a}cdotvec{d})(vec{b}cdotvec{c})
3. 混合积

混合积的定义为

(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c}

，其物理含义上恰好就是这三个向量组成的平行六面体的体积。

我们可以将其结果写成行列式的形式：

(vec{a} times vec{b}) cdot vec{c} = begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 \ c_1 & c_2 & c_3 end{vmatrix}

显然有：

  • 三个向量共面当且仅当其混合积为0。

2. 空间解析几何

1. 直线和平面

1. 直线的表达
frac{x-a_1}{u_1} = frac{y-a_2}{u_2} = frac{z-a_3}{u_3}

直线的方向向量为：

vec{u} = (u_1, u_2, u_3)
2. 平面的表达
Ax By Cz D=0

平面的法向量表达为：

vec{n} = (A,B,C)
3. 点到直线的距离
d = frac{|vec{u} times vec{AP}|}{|vec{u}|}
4. 点到平面的距离
d = frac{|Ax By Cz D|}{sqrt{A^2 B^2 C^2}}
5. 两直线间的距离
d = frac{|vec{u} times vec{v} cdot vec{AB}|}{|vec{u} times vec{v}|}
6. 两平面间的夹角
phi = arccos frac{|vec{n_1} cdot vec{n_2}|}{|vec{n_1}||vec{n_2}|}
7. 直线与平面的夹角
varphi = arcsin frac{|vec{u} cdot vec{n}|}{|vec{u}||vec{n}|}

2. 曲线和曲面

1. 曲线表达式
Q(t) = (x(t), y(t), z(t))
2. 曲面表达式
  1. 柱面
P(s, t) = s vec{u} Q(t)
  1. 锥面
P(s, t) = (1-s)A sQ(t)
  1. 常见二次曲面
    1. 椭球面
    frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} frac{z^2}{c^2} = 1
    1. 单叶双曲面
    frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} - frac{z^2}{c^2} = 1
    1. 双叶双曲面
    frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} - frac{z^2}{c^2} = -1
    1. 二次锥面
    frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} - frac{z^2}{c^2} = 0
    1. 椭圆抛物面
    z = frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2}
    1. 马鞍面（双曲抛物面）
    z = frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2}
    1. 椭圆柱面
    frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1
    1. 双曲柱面
    frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1
    1. 抛物柱面
    y^2 = 2px
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