技术背景
在前面一篇文章中我们介绍了欧拉角死锁问题的一些产生背景，还有基于四元数的求解方案。四元数这个概念虽然重要，但是很少会在通识教育课程中涉及到，更多的是一些图形学或者是工程学当中才会进行讲解。本文主要是面向四元数，相比上一篇文章更加详细的介绍和总结一下四元数的一些运算法则，还有基于四元数的插值法。
基本运算
而四元数Quaternion这个概念的提出，更像是对复数的一个扩展，我们通常把四元数写成这样的形式：
`$q=s ix jy kz
$`
其中s,x,y,z都是实数，并满足这样的一些运算规则：
`$i^2=j^2=k^2=ijk=-1
itimes j=k,jtimes k=i,ktimes i=j
jtimes i=-k,ktimes j=-i,itimes k=-j
$`
以上都是四元数的一些基本定义，接下来我们逐一看一下四元数的一些基本运算。
四元数加法
两个四元数的加法就是将“实部虚部”对应位置做元素求和：
`$q_1 q_2=(s_1 ix_1 jy_1 kz_1) (s_2 ix_2 jy_2 kz_2)=(s_1 s_2) i(x_1 x_2) j(y_1 y_2) k(z_1 z_2)
$`
可以简单证明，四元数的加法满足交换律、结合律和分配律，这里不过多展开介绍。
四元数缩放
在系数缩放这一点上，四元数与复数是一致的：
`$lambda q=lambda s ilambda x jlambda y klambda z
$`
逐一对四元数中的各项元素进行缩放即可。
四元数乘法
四元数的乘法是所有元素之前都要运算一遍：
`$begin{align*}
q_1q_2&=(s_1 ix_1 jy_1 kz_1)*(s_2 ix_2 jy_2 kz_2)
&=(s_1s_2-x_1x_2-y_1y_2-z_1z_2)
& i(s_1x_2 s_2x_1 y_1z_2-y_2z_1)
& j(s_1y_2 s_2y_1 x_2z_1-x_1z_2)
& k(s_1z_2 s_2z_1 x_1y_2-x_2y_1)
end{align*}
$`
`$begin{align*}
q_1, q_2&=q_1q_2-q_2q_1
&=(s_1s_2-x_1x_2-y_1y_2-z_1z_2) i(s_1x_2 s_2x_1 y_1z_2-y_2z_1) j(s_1y_2 s_2y_1 x_2z_1-x_1z_2) k(s_1z_2 s_2z_1 x_1y_2-x_2y_1)-(s_2s_1-x_2x_1-y_2y_1-z_2z_1)-i(s_2x_1 s_1x_2 y_2z_1-y_1z_2)-j(s_2y_1 s_1y_2 x_1z_2-x_2z_1)-k(s_2z_1 s_1z_2 x_2y_1-x_1y_2)
&=2i(y_1z_2-y_2z_1) 2j(x_2z_1-x_1z_2) 2k(x_1y_2-x_2y_1)
end{align*}
$`
那么也就是说，这两个四元数q_1,q_2 之间是非对易的，也就是不可交换的。但是，四元数的运算是满足结合律和分配率的。
由于上面的这种四元数乘法展开，写起来过于繁杂，我们考虑对其进行一定的简化。如果我们假定2个纯虚数（s=0 ）：
`$a=ix_1 jy_1 kz_1
b=ix_2 jy_2 kz_2
$`
其实类似于这种形式的四元数，实际上就是三维空间中的向量，那么这两者的点积和叉积有：
`$acdot b=x_1x_2 y_1y_2 z_1z_2
atimes b=(y_1z_2-y_2z_1)i (z_1x_2-z_2x_1)j (x_1y_2-x_2y_1)k
$`
需要注意的是，这里的叉积是向量叉积，跟四元数中的“虚数单位”相比，最大的一点不同就是：在向量叉积中，itimes i=0 ，但是在四元数的乘法中，itimes i=-1 （非常重要）。
那么在有了以上的两个公式之后，我们就可以对四元数的乘法表示做一个简化：
`$q_1q_2=s_1s_2-acdot b s_ab s_ba atimes b
$`
实四元数和纯四元数
对于一个实四元数而言，就是取x=y=z=0 ：
`$q_r=s
$`
对于一个纯四元数而言，就是取s=0 ：
`$q_i=ix jy kz
$`
四元数共轭
对四元数的所有“虚部”取负数，即是四元数的共轭：
`$q^*=s-ix-jy-kz
$`
单位四元数
四元数的模的定义跟复数是一致的：
`$|q|=sqrt{s^2 x^2 y^2 z^2}=sqrt{qq*}
$`
而单位四元数的定义即是模为1的四元数：
`$s^2 x^2 y^2 z^2=1
$`
如果给定的一个四元数不是单位四元数，那么我们可以对其进行规范化：
`$q'=frac{q}{sqrt{s^2 x^2 y^2 z^2}}
$`
四元数的逆
对于一个单位四元数而言，因为有qq^*=1 ，所以单位四元数的逆就是其共轭四元数。如果是对于更加一般的场景，我们可以这样考虑：
`$q(q^{-1}*|q|^2)=|q|^2
qq^*=|q|^2
q^{-1}=frac{q^*}{|q|^2}
$`
比较特殊地，对于单位四元数q^{-1}=q^* 。
四元数的二元表示
类似于复数的二元形式，通常一个四元数也可以被表示成如下的二元形式：
`$q=s vhat{q}=s,vhat{q}
$`
其中v=[x,y,z],hat{q}=[i,j,k] 。关于此处的乘法描述，其实有一定的不严谨性，因为它既不是点积，也不是叉积，也不是外积，而是普通的元素乘。这种元素乘的概念在计算机领域是很常用的，但是在数学上其实并不是很常用。在这种二元描述下，四元数的乘法形式会略有调整：
`$q_1q_2=s_1s_2-(v_1hat{q}_1)cdot (v_2hat{q}_2), s_1v_2hat{q}_2 s_2v_1hat{q}_1 (v_1hat{q}_1)times(v_2hat{q}_2)
$`
四元数点积
上面的章节中提到过四元数的普通乘法，但其实四元数也像普通的向量一样可以进行点积运算：
`$q_1cdot q_2=s_1s_2 v_1cdot v_2
$`
这也是受益于四元数的二元表示，使得我们在书写结果的时候可以更加的简练。
四元数的指数
我们先来回顾一下复数z=x iy
的指数计算，根据泰勒展开公式
（比较特殊地，e^x=sum_{k=0}^inftyfrac{x^k}{k!} ）对e^z 在y=0
处的展开有：
`$begin{align*}
e^{z}&=e^{x iy}=e^xe^{iy}
&=e^xleft(
1 iy-frac{1}{2!}y^2-frac{i}{3!}y^3 frac{1}{4!}y^4 frac{i}{5!}y^5-frac{1}{6!}y^6-frac{i}{7!}y^7 ...
right)
end{align*}
$`
对比一下常用的三角函数的泰勒展开式（相关证明见参考链接2）：
`$sin x=x-frac{1}{3!}x^3 frac{1}{5!}x^5-frac{1}{7!}x^7 ...
cos x=1-frac{1}{2!}x^2 frac{1}{4!}x^4-frac{1}{6!}x^6 ...
$`
`$begin{align*}
e^q&=e^{s vhat{q}}
&=e^sleft(
1 vhat{q}-frac{1}{2!}(vhat{q})^2-frac{1}{3!}(vhat{q})^3 frac{1}{4!}(vhat{q})^4 frac{1}{5!}(vhat{q})^5-frac{1}{6!}(vhat{q})^6-frac{1}{7!}(vhat{q})^7 ...
right)
end{align*}
$`
这里有一点不同的是，我们计算四元数的幂次的时候需要谨慎，可以先手动计算一下：
`$begin{align*}
(vhat{q})^2&=0-(vhat{q})cdot (vhat{q}) 0 0 (vhat{q})times(vhat{q})=-|v|^2
(vhat{q})^3&=-|v|^2(vhat{q})
(vhat{q})^4&=|v|^4
(vhat{q})^5&=|v|^4(vhat{q})
(vhat{q})^6&=-|v|^6
(vhat{q})^7&=-|v|^6(vhat{q})
&...
end{align*}
$`
代入四元数的指数部分进行计算可得：
`$begin{align*}
e^q&=e^{s vhat{q}}
&=e^sleft(
1 vhat{q}-frac{1}{2!}|v|^2-frac{1}{3!}|v|^2(vhat{q}) frac{1}{4!}|v|^4 frac{1}{5!}|v|^4(vhat{q})-frac{1}{6!}|v|^6-frac{1}{7!}|v|^6(vhat{q}) ...
right)
&=e^sleft(
cos|v| frac{vhat{q}}{|v|}sin|v|
right)
end{align*}
$`
这就是四元数的指数运算。
四元数的指数表示
区分于上一个章节中的四元数的指数运算，这个章节我们是要用一个指数形式去表示任意给定的一个四元数。因为在上一个章节中我们发现，一个四元数的指数形式是另外一个四元数，因此，理论上说我们可以用一个指数形式来表示任意的一个四元数。我们首先还是参考一下复数的指数表示：
`$z=x iy=sqrt{x^2 y^2}left(frac{x}{sqrt{x^2 y^2}} ifrac{y}{sqrt{x^2 y^2}}right)=sqrt{x^2 y^2}e^{ifrac{y}{|y|} arccosleft(frac{x}{sqrt{x^2 y^2}}right)}
$`
类似地，一个四元数可以表示为：
`$q=s vhat{q}=sqrt{s^2 |v|^2}left(
frac{s}{sqrt{s^2 |v|^2}} frac{vhat{q}}{|v|}frac{|v|}{sqrt{s^2 |v|^2}}
right)=sqrt{s^2 |v|^2}e^{hat{q}frac{v}{|v|} arccosleft(frac{s}{sqrt{s^2 |v|^2}}right)}
$`
比较有意思的是，如果我们取q=s ix jy kz 中的y=0,z=0时，我们发现v=pm|v|,hat{q}=i ，这样一来，四元数的指数表示形式就和复数的指数表示形式完全对应上了。
四元数的对数
在上一个章节中，如果我们把一个四元数表示成一个指数的形式，就会很大程度上方便我们去计算一个四元数q=s vhat{q} 的对数：
`$begin{align*}
log(q)&=logleft(sqrt{s^2 |v|^2}e^{hat{q}frac{v}{|v|} arccosleft(frac{s}{sqrt{s^2 |v|^2}}right)}right)
&=logleft(sqrt{s^2 |v|^2}right) hat{q}frac{v}{|v|} arccosleft(frac{s}{sqrt{s^2 |v|^2}}right)
end{align*}
$`
这样就得到了四元数的对数的二元表示形式。
四元数的幂次
了解了四元数的指数和对数的计算模块之后，我们可以计算一个四元数的幂次。正是由于四元数的指数表示形式，使得我们可以将四元数的幂次简单的转化成乘法的表示形式：
`$q^t=leftsqrt{s^2 |v|^2}e^{hat{q}frac{v}{|v|} arccosleft(frac{s}{sqrt{s^2 |v|^2}}right)}right^t=
left(s^2 |v|^2right)^{frac{t}{2}}e^{hat{q}frac{vt}{|v|} arccosleft(frac{s}{sqrt{s^2 |v|^2}}right)}
$`
那么这就得到了四元数的幂次表达形式。
欧拉角旋转四元数
在上一篇文章中我们提到过，每一个四元数其实都可以对应于三维空间的一个向量旋转，一个四元数q作用在一个空间向量v 上就会旋转得到一个新的空间向量：
`$v'=qvq^*
$`
`$q=left(cosfrac{alpha}{2}-j sinfrac{alpha}{2}right)left(cosfrac{beta}{2} i sinfrac{beta}{2}right)left(cosfrac{gamma}{2} k sinfrac{gamma}{2}right)
$`
关于更多的旋转四元数的内容，可以阅读一下参考链接3中的内容。
向量变换四元数
这个问题的定义是比较清晰的，如果给定空间中的两个不同的向量，能否直接获得这两个向量之间变换的四元数呢？如果用公式来表示就是：已知textbf{v}_1,textbf{v}_2 两个空间向量，求q使得textbf{v}_2=qtextbf{v}_1q^* 。关于这个问题的求解，在参考链接3中也是有介绍的，这里再简单提一下计算方法：
`$textbf{u}=textbf{v}_1timestextbf{v}_2
costheta=frac{textbf{v}_1cdottextbf{v}_2}{|textbf{v}_1||textbf{v}_2|}
q=cosfrac{theta}{2} i sinfrac{theta}{2}textbf{u}cdot i j sinfrac{theta}{2}textbf{u}cdot j k sinfrac{theta}{2}textbf{u}cdot k
$`
这个算法的本质，其实就是先用向量叉乘找到旋转轴，然后计算两个向量之间的夹角，最后再使用四元数的绕旋转轴旋转指定角度的公式计算，就可以得到对应的空间向量变换的四元数。
总结概要
本文主要介绍四元数Quaternion的一些基本运算法则。四元数的概念，更像是复数的一个推广，在图形学和工程学中有大量的应用，在蛋白质结构预测软件AlphaFold和MEGA-Protein中都大量的使用了四元数的计算。而大部分的四元数的教材中写的计算法则，经常把各类乘法混在一起使用，阅读起来非常难受，因此只好自己总结一下四元数的相关运算。并且跟我们所熟悉的复数运算有一定的对比，更加容易去理解四元数的概念。
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参考链接
- https://www.qiujiawei.com/understanding-quaternions/
- http://www.songho.ca/math/taylor/taylor_tri.html
- https://cloud.tencent.com/developer/article/2147861
