回归-多项式回归算法

2022-10-06 14:13:56 浏览数 (1)

文章目录

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  • 简介
  • 原理
  • 代码
  • 过拟合

简介

多项式回归（Polynomial Regression）顾名思义是包含多个自变量的回归算法，也叫多元线性回归，多数时候利用一元线性回归（一条直线）不能很好拟合数据时，就需要用曲线，而多项式回归就是求解这条曲线。

也就是说一元回归方程是y=wx b

而多元回归方程是

y=w_nx^n w_{n-1}x^{n-1} ··· w_1x w_0

比如二元就是y=ax^2 bx c ，三元就是y=ax^3 bx^2 cx d

但是并不是元数越多越好，可能存在过拟合问题，在最后一节介绍。

一元线性回归可参考另一篇博客：回归-线性回归算法（房价预测项目）

原理

多元线性回归很复杂，特别是当特征数多元数多的时候，可视化难以想象。

用向量矩阵的来表达：

x=begin{pmatrix}begin{array}{ccccc}1& x_1 & x_1^2 &cdots& x_1^n\1& x_2 & x_2^2 &cdots& x_2^n\ vdots & vdots & vdots&ddots & vdots\ 1&x_k&x_k^2&cdots&x_k^n end{array}end{pmatrix}

，

​

比如一个特征量二元回归方程：k=1，n=2：

y=(begin{array}{ccc}1&x_1&x_1^2 end{array})begin{pmatrix} w_{01}\ w_{11}\w_{21}end{pmatrix}=w_{01} w_{11}x_1 w_{21}x_1^2

再如两个特征量二元回归方程：k=2，n=2：

y= x=begin{pmatrix}begin{array}{ccc}1& x_1 & x_1^2\1& x_2 & x_2^2 end{array}end{pmatrix}begin{pmatrix} w_{01}&w_{02}\ w_{11}&w_{12}\w_{21}&w_{22}end{pmatrix}=begin{pmatrix}begin{array}{cc}w_{01} w_{11}x_1 w_{21}x_1^2 & w_{02} w_{12}x_1 w_{22}x_1^2\w_{01} w_{11}x_2 w_{21}x_2^2& w_{02} w_{12}x_2 w_{22}x_2^2 end{array}end{pmatrix}
|y|=w_{01} w_{11}x_1 w_{21}x_1^2 w_{02} w_{12}x_2 w_{22}x_2^2

可以看出计算量其实是很大的。

使用最小二乘法作为损失函数，并选择优化算法：正规方程或梯度下降。

可参考：浅谈梯度下降算法（模拟退火实战）

代码

多元线性回归与一元线性回归其实只是x的维度不同，也就是说通过设置x的维度，调用线性模型LinearRegression即可进行求解，即对数据进行预处理，需要几次方即升到几维，如下2种方法。

  1. 使用hstack()或hstack()叠加 如果维数低，我们可以手动添加即可。
代码语言：javascript复制
import numpy as np

a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
b = np.array([[5, 6], [7, 8]])
print("水平方向叠加：", np.hstack((a, b)))
print("垂直方向叠加：", np.vstack((a, b)))
  1. 使用PolynomialFeatures()对特征预处理 如果维度多，可以用该函数计算生成x。 包括参数： degree：默认2，多项式特征的次数； interaction_only：默认default=False，若为True，则不含自己和自己相结合的特征项； include_bias：默认True，若为True，则包含一列为1的偏差项； order：默认‘C’，若为’F’则计算更快，但是后续的拟合慢。 包括属性： powers_：n维幂运算数组，根据degree的值而确定行，根据属性个数而确定列。 n_input_features_：输入特征的总数，即幂运算矩阵的列； n_output_features_：输出特征的总数，即幂运算矩阵的行。
代码语言：javascript复制
import numpy as np
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures

x = np.arange(6).reshape(3, 2)
print(x)
poly = PolynomialFeatures(degree=2)
poly.fit(x)
print(poly.powers_)
print("输入特征：", poly.n_input_features_)
print("输出特征：", poly.n_output_features_)
x = poly.transform(x)
print(x)

（插播反爬信息 ）博主CSDN地址：https://wzlodq.blog.csdn.net/

代码语言：javascript复制
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures

# 生成数据
X = np.linspace(-5, 5, 100)
Y = 2 * X ** 2   3 * X   5   np.random.randn(100) * 5
x = X.reshape(-1, 1)

# 数据预处理
# 法一、使用hstack直接添加x方
x1 = np.hstack([x, x ** 2])

# 法二、使用PolynomialFeatures计算二次方
poly = PolynomialFeatures()
poly.fit(x)
x2 = poly.transform(x)

model1 = LinearRegression()  # 创建模型1
model1.fit(x1, Y)  # 训练模型1
y_pred1 = model1.predict(x1)  # 测试1
plt.figure(figsize=(8, 4))
plt.subplot(1, 2, 1)  # 可视化1
plt.scatter(X, Y)
plt.plot(x, y_pred1, color='red')
plt.title("使用hstack()")

model2 = LinearRegression()  # 创建模型2
model2.fit(x2, Y)  # 训练模型2
y_pred2 = model2.predict(x2)  # 测试2
plt.subplot(1, 2, 2)  # 可视化2
plt.scatter(X, Y)
plt.plot(x, y_pred2, color='gold')
plt.title("使用PolynomialFeatures()")

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.show()

过拟合

正如前面所说的一样，多项式的幂次并不是越高越好，过高可能出现过拟合情况，导致泛化能力低，过低可能出现欠拟合情况，导致预测结果差，如下图所示。

代码语言：javascript复制
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures

# 生成数据
np.random.seed(20221005)
X = np.linspace(-np.pi, np.pi, 100)
Y = np.sin(X)   np.random.randn(100) * 0.4
x = X.reshape(-1, 1)
plt.scatter(x, Y, color="lightblue")

for idx, degree in enumerate([1, 3, 30, 100]):
    print(degree)
    poly = PolynomialFeatures(degree=degree)
    poly.fit(x)
    x1 = poly.transform(x)
    model = LinearRegression()
    model.fit(x1, Y)
    y_pred = model.predict(x1)
    plt.plot(x, y_pred, label=("%d次方" % degree))

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.legend()
plt.show()

可见并不是幂次越高越好，一般遵循“奥卡姆剃刀”定律，也就是简单平滑的曲线即可。当然了，也有很多方法度量和避免欠拟合与过拟合。

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线性回归

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