文章目录
- 简介
- 划分依据
- ID3算法
- C4.5算法
- CART算法
- 处理连续值
- 剪枝
- 应用示例
简介
决策树（Decision Tree）是⼀种树形结构，每个节点表示⼀个属性上的判断，每个分⽀代表⼀个判断结果的输出，最后每个叶节点代表⼀种分类结果，本质是⼀颗由多个判断节点组成的树。
类似if-else结构，通过若干判断（决策）来确定分类结果，比如打网球数据集中，包括天气、温度、湿度、风力四个特征，标签是play，表示是否适合打网球，属于二分类问题。
那我们便可以通过如下决策树进行预测是否适合打网球，先判断天气，再判断温度······，树中中间结点表示决策条件，叶子节点表示决策结果。
但是一个显然的问题是，我们应该如何确定判断条件的先后？比如上图中是先判断天气，若天气晴天再判断温度，再判断风力等，如果交换判断条件，将会直接影响分类结果。也就是我们需要定义划分依据，确定当前使用哪个特征值来作为划分依据，有了划分依据便可以构建决策树。划分依据包括ID3算法、C4.5算法和CART算法。
划分依据
ID3算法
ID3算法全称Iterative Dichotomiser 3，使用信息增益来作为划分依据，信息增益（information gain）就是划分数据集前后熵（information entropy）的差值。
物理学中，熵用来度量混乱程度。也就是说，熵越大则越乱，熵越小则越有序。我们希望决策条件划分出来的结果尽可能的属于同一类，即结点的“纯度”越来越高。
假设样本集合
共有
类，
表示样本集合
中第
类样本所占比例，
的信息熵
的定义如下：
由于比例
取值(0,1)，而log函数在(0,1)间为负，添加负号，使熵的值为正。
的值越小，则
的纯度越高。 比如对于outlook特征值，14天中有5天Sunny、5天Rain、4天Overcast，则
特征
对数据集
的信息增益
，定义为集合
的信息熵
与特征
给定条件下
的信息条件熵
之差，即：
其中特征
有
个取值，即用
对数据集
来划分会产生
个分支，用
表示第
个分支中数据集
在特征
上取到第
个值的样本。信息增益表示得知特征X的信息⽽使得类Y的信息熵减少的程度。
比如特征
取值
时，5天
中有2天正例（yes，适合打网球），3天负例，则
同理有：
则特征
的信息增益
同样的，计算其他特征的信息增益：
最大，所以选择
作为决策条件，根据其3个取值，将数据集
划分为3个数据集
、
、
，然后分别在新数据集中，计算剩余特征的信息增益，选信息增益最大的作为下一个决策条件，以此类推。当数据集全部属于一个类时，则作为叶节点，不再往下划分。 最终得到决策树如下：
但是ID3有存在缺点，总是偏向于取值更多的特征值。比如若将
作为特征值，则
即
的信息增益最大，因为取值多的特征值对应条件熵趋于0，导致信息增益很大，有些情况下，这些特征值并不会提供太大价值。
C4.5算法
C4.5算法使用信息增益率作为划分依据，避免了ID3的缺点。增益率定义为：
也就是将信息增益
除以一个固定值（intrinsic value）
，如果特征值的取值数目越多，则
越大。
比如：
C4.5算法不是直接选择增益率最大的特征，而是在信息增益超过平均增益的特征中，再筛选增益高的特征。
CART算法
CART（classification and regression tree）算法使用基尼指数（Gini Index）作为划分依据。
不再使用熵来定义数据集的纯度，而是使用基尼值来度量数据集纯度：
仍以打网球数据集
为例，14天中有5天不适合打网球，9天适合打网球，则数据集纯度：
基尼值反映随机抽取两个样本，其类别不一致的概率。即基尼值越小，数据集纯度越高。定义基尼指数：
若根据outlook来划分，14天中有5天Sunny（2正3负）、5天Rain（3正2负）、4天Overcast（4正0负），则：
同理，算其他特征的基尼指数：
也就是说，选择基尼指数最小的
特征作为决策条件，然后划分新数据集，往下迭代。
CART全称为分类和回归树，还可以实现回归任务，将基尼指数换成误差平方和，最后预测值与真实值满足一定误差内便可接受。因为一个特征的纯度越高，则方差越小，表示分布集中，即每次选择误差平方和最小的特征作为决策条件即可，照葫芦画瓢，不再赘述。
上述3种算法都是单变量决策，也就是判断条件只有一个（A）。实际上还有多变量决策树，也就是判断条件是多个（A&B），不再选择一个特征，而是一组特征。相应的决策树会更复杂，开销越更大，比如OC1算法，这里不多介绍。
（
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处理连续值
打网球数据集中全是离散值，那对于连续值又该如何处理？
比如下表数据集，A和B是两个连续值特征，Y是标签。
A | B | Y |
|---|---|---|
1 | 2 | yes |
3 | 6 | no |
4.6 | 8 | no |
6 | 4 | yes |
假定特征
在数据集
上有
个不同取值，排序后记为
，将每相邻2个取值的均值作为一个分割点
：
比如对于特征值A来说，排序后得到{1，3，4.6，6}，分割点
。
比如对于特征值B来说，排序后得到{2，4，6，8}，分割点
。 也就是将连续值离散化，得到上述3个离散值，根据是否小于该值来划分，只有C4.5算法和CART算法可以使用连续值，再选择基尼指数最小的分割点来分割该特征，然后再选择基尼指数小的特征作为划分依据。
比如对应分割点
，特征A分为2个子集
，记为
和
，计算基尼指数：
类似的，计算其他分割点：
故说特征A可以选分割点2或5.4，
。
对于特征B：
故特征B应选分割点5，
。
然后决策选择特征A还是特征B作为划分依据：
故选择特征B作为划分依据。
剪枝
剪枝主要是为了解决过拟合的问题，包括预剪枝和后剪枝两种。
- 预剪枝
预剪枝是在划分决策树之前进行剪枝，列举几种方法。
（1）指定结点所包含的最⼩样本数⽬。当结点总样本数⼩于该值时则不再分。 （2）指定树的深度。当树的最⼤深度大于该值时则往下不再划分。 （3）指定叶子节点个数。当叶子节点树大于该值则不再划分。 （4）指定叶子节点所含最小样本数。当叶子节点所含样本小于该值时，则会和兄弟叶子节点一起被剪枝。
往往使用预剪枝更多。
- 后剪枝
后剪枝是在已⽣成的决策树上进⾏剪枝。
得到决策树后，便可以验证精度，然后依次将某些中间结点剪枝掉，再计算精度，若精度提高了则剪枝该结点，反之不剪枝。
应用示例
使用sklearn中封装的DecisionTreeClassifier()函数构建决策树，包括主要参数：
- criterion 划分依据，可取gini（默认）或"entropy"，即CART算法或ID3算法。
- min_samples_split 结点所包含的最⼩样本数⽬，默认2，即预剪枝方法（1）。
- max_depth 决策树最⼤深度，即预剪枝方法（2）。
- max_leaf_nodes 最大叶子节点数，即预剪枝方法（3）。
- min_samples_leaf 叶⼦节点最少样本数，默认1，即预剪枝方法（4）。
- random_state 随机数种⼦。
例1. ID3算法 在Kaggle中下载打网球数据集，最后使用在线Graphviz可视化决策树。
代码语言：javascript复制import pandas as pd
from sklearn.feature_extraction import DictVectorizer
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier, export_graphviz
# 读数据
data = pd.read_csv('D:\play_tennis.csv')
x = data[['outlook', 'temp', 'humidity', 'wind']]
y = data['play']
# 数据处理
transfer = DictVectorizer(sparse=False)
x = transfer.fit_transform(x.to_dict(orient="records")) # 转为onehot
# 创建模型
estimator = DecisionTreeClassifier(criterion="entropy",max_depth=3) # 使用ID3,最大深度3
estimator.fit(x, y) # 训练
# 数据太少了，就没有测试和评估
# 可视化，保存为.dot文件
export_graphviz(estimator, out_file="D:\tennis.dot",
feature_names=['Outlook_overcast', 'Outlook_rain', 'Outlook_sunny', 'Temperature_cool',
'Temperature_hot', 'Temperature_mild', 'Humidity_high', 'Humidity_normal', 'Windy_waek',
'Windy_strong'])
例2. CART算法-分类 使用自带鸢尾花数据集，4特征3分类。
代码语言：javascript复制from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.metrics import classification_report
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier, export_graphviz
iris = load_iris() # 读数据集
x = iris.data
y = iris.target
# 划分训练集测试集
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, random_state=20221020)
# 创建模型
estimator = DecisionTreeClassifier(max_depth=4, min_samples_split=3) # 最大深度4，最小样本数3
estimator.fit(x_train, y_train) # 训练
y_pred = estimator.predict(x_test) # 测试
print(classification_report(y_test, y_pred)) # 评估
# 可视化
export_graphviz(estimator, out_file="D:\iris.dot",
feature_names=["sepal length", "sepal width", "petal length", "petal width"])
例3. CART算法-回归
代码语言：javascript复制import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor,export_graphviz
np.random.seed(20221021)
X = np.linspace(0, 5, 100) # 生成数据
y = X ** 2 5 np.random.randn(100)
x = X.reshape(-1, 1)
# 创建模型
estimator = DecisionTreeRegressor(max_depth=5, max_leaf_nodes=10) # 最大深度5，最多叶子10
estimator.fit(x, y) # 训练
y_pred = estimator.predict(x) # 测试
# 可视化
export_graphviz(estimator, out_file="D:\乌七八糟\refression.dot", feature_names=["x"])
plt.scatter(X, y, color='lightblue')
plt.plot(x, y_pred, color='red')
plt.show()
回归效果其实并不好，不是过拟合就是阶梯状。
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