目录
【实验目的】
【实验原理】
【实验设备】
【实验内容及结果】
1.编程实现教材p247, 4-4(4)题的单边拉普拉斯变换；
2.编程实现教材p249,4-12(4)题的拉普拉斯反变换；
3.求如教材p249,4-15（b）图所示的系统函数；
4.求如教材p252,4-32 题系统函数的冲激响应时域表达式，并画出其零极点图。
【实验感悟】
【实验目的】
(1)了解连续时间系统复频域分析的基本实现方法。
(2)掌握相关函数的调用格式及作用。
【实验原理】
1.拉普拉斯变换
从傅里叶变换到拉普拉斯变换,将频率。变换为复数s ,只能描述振荡的重复频率，而s包含了振荡幅度的变化率和振荡重复频率双重含义。拉普拉斯变换是变量t的函数至变量s的函数的一种映射变换,拉普拉斯正,反变换式可分别表示如下：
运用MATLAB的进行拉普拉斯变换的调用格式是:
复频域分析法中,拉普拉斯反变换可以采用部分分式展开法和直接的拉普拉斯反变换法。所谓部分分式展开法,是将像函数分解为若干简单变换式之和,然后逐项反变换求取原函数的方法。这种方法适用于像函数是有理函数的情况。利用MATLAB进行这两种分析的基本原理为:
(1) 部分分式展开法 设像函数是有理函数
若F(s)的部分分式展开式为
式中的参数
为待定系数利用MATLAB的residue函数可以求待定系数与极点即
与
并将结果数据以分数形式输出。
(2)直接的拉普拉斯反变换法
经典的拉普拉斯变换分析法﹐即先从时域变换到复频域,在复频域经过处理后,再利用拉普拉斯反变换从复频域变换到时域,完成对时域问题的求解。涉及的函数有 laplace函数和ilaplace函数。
2.系统函数及其应用
系统零状态响应的拉普拉斯变换与激励信号的拉普拉斯变换之比称为系统函数，以H(s)表示。系统函数H(s)分母多项式的根构成极点﹐分子多项式的根构成零点。若H(s)的极点落于左半s平面,则h(t)波形呈衰减形式;若H(s)的极点落在右半s平面，则h(t)呈增长态势;落于虚轴上的一阶极点对应的h(t)呈等幅震荡或阶跃形式;而虚轴上的二阶及其二阶以上极点将使h(t)呈增长形式。H(s)零点分布的情况只影响到时域函数的幅度和相位;s平面中零点变动对于t平面波形的形式没有影响。
3．频率响应
系统的幅频特性与相频特性,能直观地反映出系统的滤波特性。而频率响应与系统的零,极点分布有关。由建立在信号的拉普拉斯变换与其傅里叶变换之间的关系上的几何作图法,可根据系统函数H(s)画出系统的对数幅频特性与相频特性。
【实验设备】
(1)计算机。
(2)MATLAB软件。
【实验内容及结果】
1.编程实现教材p247, 4-4(4)题的单边拉普拉斯变换；
代码语言：javascript复制clc
syms t s
Fs1=laplace(t*exp(-2*t));%对函数进行单边拉普拉斯变换
%结果如下：
>> Fs1
Fs1 =
1/(s 2)^22.编程实现教材p249,4-12(4)题的拉普拉斯反变换；
代码语言：javascript复制clc
syms s t;
Fs=(s^2 4*s 5/(s^2 3*s 2));%函数表达式
ft=ilaplace(Fs)%用ilaplace函数求拉普拉斯反变换
%结果如下：
>> test
ft =
5*exp(-t) - 5*exp(-2*t) 4*dirac(1, t) dirac(2, t)3.求如教材p249,4-15（b）图所示的系统函数；
代码语言：javascript复制close all;clear all;clc;
syms s;
z1 = 1/s;
z2 =1;
z3 = 1/s;
z4 =1;
z=(((z4 z3)*z2)/(z4 z3 z2))/(z1 ((z4 z3)*z2)/(z4 z3 z2))*(z4/(z3 z4));%写出Hs的表达式
Hs=simplify(z)
%结果如下：
Hs =
s^2/(s^2 3*s 1)4.求如教材p252,4-32 题系统函数的冲激响应时域表达式，并画出其零极点图。
代码语言：javascript复制clear;
syms s t;
b=[30,30,-60]; %分子多项式系数
a=[1,2,-5,-6];%分母多项式系数
zs=roots(b);
ps=roots(a);
plot(real(zs),imag(zs),'go' ,real(ps),imag(ps),'mx' , 'markersize',12);%绘制图像
grid;legend('零点','极点');
title('零极点图');
[k p]=residue(b,a)
Hs=30*(s 2)*(s-1)/(s 1)*(s 3)*(s-2);%定义系统函数方程
Ht=ilaplace(Hs)%求Hs的拉普拉斯反变换得其时域表达式
%结果如下：
>> test
k =
12.0000
8.0000
10.0000
p =
-3.0000
2.0000
-1.0000
Ht =
360*exp(-t) - 240*dirac(1, t) 30*dirac(2, t) 30*dirac(3, t)
【实验感悟】
通过本次实验，我学习到了连续时间系统复频域分析的基本实现方法，掌握了通过laplace函数实现函数的拉普拉斯变换，还有通过部分分式展开发和直接的拉普拉斯反变换法实现求拉普拉斯反变换，掌握了ilaplace命令求反变换，还有利用命令residue求待定系数和极点的方法，通过查阅官方文档，我还知道了residue的具体用法，即[r,p,k] = residue(b,a) 计算以如下形式展开的两个多项式之比的部分分式展开的留数、极点和单独项
residue 的输入是由多项式 b = [bm ... b1 b0] 和 a = [an ... a1 a0] 的系数组成的向量。输出为留数 r = [rn ... r2 r1]、极点 p = [pn ... p2 p1] 和多项式 k。
此外，我还学会了matlab求解系统函数的方法，并且利用parallel计算并联环节，利用series计算串联环节，通过feedback计算反馈环节。以及函数零极点图的绘制方法等。加深了我对于连续时间系统复频域分析的理解。
