模糊均值聚类（FCM）是用隶属度确定每个数据点属于某个聚类的程度的一种聚类算法。1973年，Bezdek提出了该算法，作为早期硬均值聚类（HCM）方法的一种改进。FCM把 n 个向量 xi(i=1,2,…,n)分为 c 个模糊组,并求每组的聚类中心，使得非相似性指标的价值函数达到最小。FCM 使得每个给定数据点用值在 0,1 间的隶属度来确定其属于各个组的程度。与引入模糊划分相适应,隶属矩阵 U 允许有取值在 0,1 间的元素。不过,加上归一化规定，一个数据集的隶属度的和总等于 1:
那么，FCM的价值函数（或目标函数）：
这里 uij 介于 0，1 间；ci 为模糊组 i 的聚类中心，dij=||ci-xj||为第 i 个聚类中心与第 j 个数据点间的欧几里德距离；且 m （属于1到无穷） 是一个加权指数。 构造如下新的目标函数，可求得使下式达到最小值的必要条件:其实就是拉格朗日乘子法：
对上式所有输入参量求导，使上式达到最小的必要条件为:
和
由上述两个必要条件，模糊 C 均值聚类算法是一个简单的迭代过程。在批处理方式运行时, FCM 用下列步骤确定聚类中心 ci 和隶属矩阵 U[1]: 步骤 1:用值在 0,1 间的随机数初始化隶属矩阵 U 步骤 2:用式(3)计算 c 个聚类中心 ci,i=1,…,c。 步骤 3:根据式(1)计算价值函数。如果它小于某个确定的阀值，或它相对上次价 值函数值的改变量小于某个阀值，则算法停止。 步骤 4:用(4)计算新的 U 矩阵和。返回步骤 2。 上述算法也可以先初始化聚类中心，然后再执行迭代过程。由于不能确保 FCM 收敛于一个最优解。算法的性能依赖于初始聚类中心。因此,我们要么用另外的快速算法确定初始聚类中心，要么每次用不同的初始聚类中心启动该算法，多次运行 FCM。
注：上面讨论不难看出二个参数比较重要：1.聚类的数目，2.控制算法的参数m，如果m过大，则聚类的效果很差，如果m过小，则算法接近Kmeans算法。
借用Matlab自带的fcm函数来做个例子
代码语言：javascript复制data = rand(100,2); % 数据
options = [2;100;1e-5;1]; % 控制参数
[center,U,obj_fcn] = fcm(data,2,options); % 聚类为2类
figure;
plot(data(:,1), data(:,2),'o');
title('Demo');
grid on;
hold on;
maxU = max(U);
index1 = find(U(1,:) == maxU);
index2 = find(U(2,:) == maxU);
line(data(index1,1),data(index1,2),'marker','*','color','g');
line(data(index2,1),data(index2,2),'marker','*','color','r');
plot([center([1 2],1)],[center([1 2],2)],'*','color','k')
hold off;
figure
plot(obj_fcn)
title('Objective Function Values')
xlabel('Iteration Count')
