离散均匀分布的期望和方差(均值和方差的性质)

2022-07-28 19:04:08 浏览数 (1)

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

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      • 性质
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      • 性质
      • 协方差&相关系数
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  • 离散分布期望、方差
  • 连续分布期望、方差

预备定义

数学期望

定义

E [ g ( x ) ] = { ∑ i g ( x i ) p ( x i ) , 离散场合 ∫ − ∞ ∞ g ( x ) p ( x ) d x , 连续场合 E[g(x)]=begin{cases}sumlimits_ig(x_i)p(x_i),&text{离散场合} \ \ int_{-infty}^infty{g(x)p(x)mathrm{d}x},&text{连续场合}end{cases} E[g(x)]=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​i∑​g(xi​)p(xi​),∫−∞∞​g(x)p(x)dx,​离散场合连续场合​

性质

  1. 常数期望为其自身；
  2. E ( a X b ) = a E ( X ) b E(aX b)=aE(X) b E(aX b)=aE(X) b;
  3. 多维随机变量亦满足线性性质；
  4. 级数（积分）收敛，则期望存在；反之不存在，如Cauchy分布。

方差

定义

方差： D ( X ) = E [ X − E ( X ) ] 2 = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 D(X)=E[X-E(X)]^2=E(X^2)-[E(X)]^2 D(X)=E[X−E(X)]2=E(X2)−[E(X)]2,

标准差： D X sqrt{DX} DX ​,

标准化的随机变量： X − E X D X frac{X-EX}{sqrt{DX}} DX ​X−EX​.

性质

  1. 常数方差为零；
  2. D ( a X b ) = a 2 D ( X ) D(aX b)=a^2D(X) D(aX b)=a2D(X)；
  3. 极值性质：若 c ≠ E ( X ) cneq E(X) c​=E(X), 则 D ( X ) = E [ X − E ( X ) 2 ] = E ( X − c ) 2 − ( c − E X ) 2 < E ( X − c ) 2 ; D(X)=E[X-E(X)^2]=E(X-c)^2-(c-EX)^2<E(X-c)^2; D(X)=E[X−E(X)2]=E(X−c)2−(c−EX)2<E(X−c)2;
  4. 切比雪夫不等式（描述随机变量的变化情况）： P { ∣ X − E X ∣ ⩾ ε } ⩽ D X ε 2 P{|X-EX|geqslantvarepsilon}leqslantfrac{DX}{varepsilon^2} P{ ∣X−EX∣⩾ε}⩽ε2DX​，或表示为 P { ∣ X − E X ∣ < ε } ⩾ 1 − D X ε 2 P{|X-EX|<varepsilon}geqslant1-frac{DX}{varepsilon^2} P{ ∣X−EX∣<ε}⩾1−ε2DX​.

协方差&相关系数

协方差
  • c o v ( X , Y ) = E [ ( X − E X ) ( Y − E Y ) ] = E ( X Y ) − E X ⋅ E Y mathrm{cov}(X, Y) = E[(X-EX)(Y-EY)]=E(XY)-EXcdot EY cov(X, Y)=E[(X−EX)(Y−EY)]=E(XY)−EX⋅EY.
  • D ( X Y ) = D ( X ) D ( Y ) 2 c o v ( X , Y ) D(X Y)=D(X) D(Y) 2mathrm{cov}(X, Y) D(X Y)=D(X) D(Y) 2cov(X, Y).
相关系数
  • r i j = c o v ( X , Y ) D X ⋅ D Y r_{ij}=frac{mathrm{cov}(X, Y)}{sqrt{DX}cdot sqrt{DY}} rij​=DX ​⋅DY ​cov(X, Y)​,
  • 显然，相关系数也是标准化的两随机变量 X − E X D X frac{X-EX}{sqrt{DX}} DX ​X−EX​和 Y − E Y D Y frac{Y-EY}{sqrt{DY}} DY ​Y−EY​的协方差；
  • 定义常数与任何随机变量的相关系数为 0 0 0.
性质
  1. ∣ r ∣ ⩽ 1 |r|leqslant1 ∣r∣⩽1;
  2. r = 0 r=0 r=0，不相关；
  3. 以下四个条件等价：
  • c o v ( X , Y ) = 0 mathrm{cov}(X, Y)=0 cov(X, Y)=0;
  • X X X与 Y Y Y不相关；
  • E ( X Y ) = E X ⋅ E Y E(XY)=EXcdot EY E(XY)=EX⋅EY;
  • D ( X Y ) = D X D Y D(X Y)=DX DY D(X Y)=DX DY.
  1. 若 X X X与 Y Y Y独立，则 X X X与 Y Y Y不相关，反之不成立；
  2. 二元正态分布的不相关性与独立性等价。

离散分布期望、方差

分布名称

密度函数 p ( x ) p(x) p(x)

数学期望 E ( X ) E(X) E(X)

方差 D ( X ) D(X) D(X)

退化分布(单点分布)

p c = 1 p_c=1 pc​=1

c c c

0 0 0

伯努利分布(两点分布)

p k = p k ( 1 − p ) 1 − k , k = 0 , 1 p_k=p^{k}(1-p)^{1-k}, k=0, 1 pk​=pk(1−p)1−k, k=0, 1

p p p

p ( 1 − p ) p(1-p) p(1−p)

二项分布

b ( k ; n , p ) = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k b(k; n, p)=binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} b(k; n, p)=(kn​)pk(1−p)n−k

n p np np

n p ( 1 − p ) np(1-p) np(1−p)

泊松分布

p ( k ; λ ) = λ k k ! e − λ p(k; lambda)=frac{lambda^k}{k!}mathrm{e}^{-lambda} p(k; λ)=k!λk​e−λ

λ lambda λ

λ lambda λ

几何分布

g ( k ; p ) = ( 1 − p ) k − 1 p g(k; p)=(1-p)^{k-1}p g(k; p)=(1−p)k−1p

1 / p 1/p 1/p

( 1 − p ) / p 2 (1-p)/p^2 (1−p)/p2

超几何分布

p k = ( M k ) ( N − M n − k ) ( N n ) p_k=frac{binom{M}{k}binom{N-M}{n-k}}{binom{N}{n}} pk​=(nN​)(kM​)(n−kN−M​)​

n M N frac{nM}{N} NnM​

n M N ( 1 − M N ) ⋅ N − n N − 1 frac{nM}{N}left(1-frac MNright)cdot frac{N-n}{N-1} NnM​(1−NM​)⋅N−1N−n​

帕斯卡分布

p k = ( k − 1 r − 1 ) p r ( 1 − p ) k − r , k = r , r 1 , ⋯ p_k=binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}, k=r,r 1,cdots pk​=(r−1k−1​)pr(1−p)k−r, k=r,r 1,⋯

r p frac rp pr​

r ( 1 − p ) p 2 frac{r(1-p)}{p^2} p2r(1−p)​

负二项分布

p k = ( − r k ) p r ( p − 1 ) k , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ p_k=binom{-r}{k}p^r(p-1)^k, k=0,1,2,cdots pk​=(k−r​)pr(p−1)k, k=0,1,2,⋯

r ( 1 − p ) p frac {r(1-p)}p pr(1−p)​

r ( 1 − p ) p 2 frac{r(1-p)}{p^2} p2r(1−p)​

连续分布期望、方差

分布名称

密度函数 p ( x ) p(x) p(x)

数学期望 E ( X ) E(X) E(X)

方差 D ( X ) D(X) D(X)

均匀分布

p ( x ) = { 1 b − a , a ⩽ x ⩽ b 0 , 其他 p(x)=begin{cases}dfrac1{b-a},&aleqslant x leqslant b\0,&text{其他}end{cases} p(x)=⎩⎨⎧​b−a1​,0,​a⩽x⩽b其他​

a b 2 frac{a b}2 2a b​

( b − a ) 2 12 frac{(b-a)^2}{12} 12(b−a)2​

正态分布(Gauss分布)

p ( x ) = 1 2 π σ 2 e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 p(x)=dfrac{1}{sqrt{2pisigma^2}}mathrm{e}^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}} p(x)=2πσ2 ​1​e−2σ2(x−μ)2​

μ mu μ

σ 2 sigma^2 σ2

指数分布

p ( x ) = { λ e − λ x , x ⩾ 0 0 , x < 0 p(x)=begin{cases}lambdamathrm{e}^{-lambda x},& x geqslant 0\0,&x<0end{cases} p(x)={ λe−λx,0,​x⩾0x<0​

1 λ frac1lambda λ1​

1 λ 2 frac1{lambda^2} λ21​

伽玛分布( Γ Gamma Γ分布)

p ( x ) = { λ r Γ ( r ) x r − 1 e − λ x , x ⩾ 0 0 , x < 0 p(x)=begin{cases}dfrac{lambda^r}{Gamma{(r)}}x^{r-1}mathrm{e}^{-lambda x},& x geqslant 0\0,&x<0end{cases} p(x)=⎩⎨⎧​Γ(r)λr​xr−1e−λx,0,​x⩾0x<0​

r λ frac rlambda λr​

r λ 2 frac{r}{lambda^2} λ2r​

卡方分布( χ 2 chi^2 χ2分布)

p ( x ) = { 1 2 n / 2 Γ ( n 2 ) x n 2 − 1 e − x 2 , x ⩾ 0 0 , x < 0 p(x)=begin{cases}dfrac{1}{2^{n/2}Gamma{(frac n2)}}x^{frac n2-1}mathrm{e}^{-frac x 2},& x geqslant 0\0,&x<0end{cases} p(x)=⎩⎨⎧​2n/2Γ(2n​)1​x2n​−1e−2x​,0,​x⩾0x<0​

n n n

2 n 2n 2n

柯西分布

p ( x ) = 1 π ⋅ λ λ 2 ( x − μ ) 2 p(x)=dfrac1picdotdfrac{lambda}{lambda^2 (x-mu)^2} p(x)=π1​⋅λ2 (x−μ)2λ​

不存在

不存在

t t t分布

p ( x ) = Γ ( n 1 2 ) n π Γ ( n 2 ) ( 1 x 2 n ) − n 1 2 p(x)=dfrac{Gammaleft(frac {n 1}2right)}{sqrt{npi}Gammaleft(frac n2right)}left(1 dfrac{x^2}{n}right)^{-frac{n 1}{2}} p(x)=nπ ​Γ(2n​)Γ(2n 1​)​(1 nx2​)−2n 1​

0 ( n > 1 ) 0 (n>1) 0 (n>1)

n n − 2 ( n > 2 ) frac n{n-2} (n>2) n−2n​ (n>2)

发布者：全栈程序员栈长，转载请注明出处：https://javaforall.cn/128769.html原文链接：https://javaforall.cn

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