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luogu P4783 【模板】矩阵求逆
题目描述
求一个 N × N N×N N×N的矩阵的逆矩阵。答案对 1 0 9 7 10^9 7 109 7取模。
1.逆矩阵的定义
假设 A A A 是一个方阵，如果存在一个矩阵 A − 1 A^{-1} A−1，使得 A − 1 A = I A^{-1}A=I A−1A=I 并且 A A − 1 = I AA^{-1}=I AA−1=I
那么，矩阵 A 就是可逆的， A − 1 A^{-1} A−1 称为 A 的逆矩阵
2.逆矩阵求法 —— 初等变换法（高斯-约旦消元）
0.高斯-约旦消元
详见P3389 【模板】高斯消元法题解部分
高斯约旦消元与高斯消元区别：
代码语言：javascript复制高斯消元 -> 消成上三角矩阵
高斯-约旦消元 -> 消成对角矩阵 约旦消元法的精度更好,代码更简单,没有回带的过程
代码语言：javascript复制void Gauss_jordan(){
/***** 行的交换&加减消元 *****/
for(re int i=1,r;i<=n; i){
//正在处理第i行
r=i;
for(re int j=i 1;j<=n; j)
if(fabs(a[j][i])>fabs(a[r][i])) r=j;
if(fabs(a[r][i])<eps){
puts("No Solution");return;
}
if(i!=r) swap(a[i],a[r]);
for(re int k=1;k<=n; k){
//每一行都处理
if(k==i) continue;
double p=a[k][i]/a[i][i];
for(re int j=i;j<=n 1; j) a[k][j]-=p*a[i][j];
}
}
//上述操作后会剩下对角矩阵,答案要除以系数
for(re int i=1;i<=n; i) printf("%.2lfn",a[i][n 1]/a[i][i]);
}1.矩阵求逆
思路
- 求 A A A的逆矩阵，把 A A A和单位矩阵 I I I放在一个矩阵里
- 对 A A A进行加减消元使 A A A化成单位矩阵
- 此时原来单位矩阵转化成逆矩阵
原理 A − 1 ∗ [ A I ] = [ I A − 1 ] A^{-1} * [AI] = [I A^{-1}] A−1∗[AI]=[IA−1]
举个栗子 求 [ 2 − 1 0 − 1 2 − 1 0 − 1 2 ] left[ begin{matrix} 2 & -1 & 0 \ -1 & 2 & -1 \ 0 & -1 & 2 end{matrix} right] ⎣⎡2−10−12−10−12⎦⎤
首先 [ 2 − 1 0 1 0 0 − 1 2 − 1 0 1 0 0 − 1 2 0 0 1 ] begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \ -1 & 2 & -1 & 0 & 1 & 0 \ 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 end{bmatrix} ⎣⎡2−10−12−10−12100010001⎦⎤ 对左边进行消元可得 [ 2 − 1 0 1 0 0 0 3 2 − 1 1 2 1 0 0 0 4 3 1 3 2 3 1 ] left[ begin{matrix} 2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & frac{3}{2} & -1 & frac{1}{2} & 1 & 0 \ 0 & 0 & frac{4}{3} & frac{1}{3} & frac{2}{3} & 1 end{matrix} right] ⎣⎡200−12300−134121310132001⎦⎤ 此时已消成上三角矩阵，高斯消元开始回代，但约旦会消成对角矩阵 [ 2 0 0 3 2 1 1 2 0 3 2 0 3 4 3 2 3 4 0 0 4 3 1 3 2 3 1 ] left[ begin{matrix} 2 & 0 & 0 & frac{3}{2} & 1 & frac{1}{2} \ 0 & frac{3}{2} & 0 & frac{3}{4} & frac{3}{2} & frac{3}{4} \ 0 & 0 & frac{4}{3} & frac{1}{3} & frac{2}{3} & 1 end{matrix} right] ⎣⎡200023000342343311233221431⎦⎤ 最后每行除以系数 [ 1 0 0 3 4 1 2 1 4 0 1 0 1 2 1 1 2 0 0 1 1 4 1 2 3 4 ] left[ begin{matrix} 1 & 0 & 0 & frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4} \ 0 & 1 & 0 & frac{1}{2} & 1 & frac{1}{2} \ 0 & 0 & 1 & frac{1}{4} & frac{1}{2} & frac{3}{4} end{matrix} right] ⎣⎡10001000143214121121412143⎦⎤ 此时右半边即为所求
2.细节
- 开long long（不要冒风险，乘法很容易溢出）
- 模意义下除以一个数等于乘上逆元，可用快速幂求逆元（费马小定理）
C o d e Code Code
代码语言：javascript复制#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define re register
#define il inline
#define ll long long
using namespace std;
il ll read(){
ll s=0,f=0;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') f=(c=='-'),c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9') s=(s<<3) (s<<1) (c^'0'),c=getchar();
return f?-s:s;
}
const int N=405,mod=1e9 7;
int n;
ll a[N][N<<1];
il ll qpow(ll x,ll k){
ll ans=1;
while(k){
if(k&1) ans=ans*x%mod;
x=x*x%mod;
k>>=1;
}
return ans%mod;
}
il void Gauss_j(){
for(re int i=1,r;i<=n; i){
r=i;
for(re int j=i 1;j<=n; j)
if(a[j][i]>a[r][i]) r=j;
if(r!=i) swap(a[i],a[r]);
if(!a[i][i]){
puts("No Solution");return;}
int kk=qpow(a[i][i],mod-2); //求逆元
for(re int k=1;k<=n; k){
if(k==i) continue;
int p=a[k][i]*kk%mod;
for(re int j=i;j<=(n<<1); j)
a[k][j]=((a[k][j]-p*a[i][j])%mod mod)%mod;
}
for(re int j=1;j<=(n<<1); j) a[i][j]=(a[i][j]*kk%mod);
//更新当前行 如果放在最后要再求一次逆元,不如直接放在这里
}
for(re int i=1;i<=n; i){
for(re int j=n 1;j<(n<<1); j) printf("%lld ",a[i][j]);
printf("%lldn",a[i][n<<1]);
}
}
int main(){
n=read();
for(re int i=1;i<=n; i)
for(re int j=1;j<=n; j)
a[i][j]=read(),a[i][i n]=1;
Gauss_j();
return 0;
}网上浏览一圈头都要炸掉，线性代数太可怕了，定义好多 最后只看懂了这种方法
有什么问题欢迎评论区指出 ：）
参考文章
线性代数之——矩阵乘法和逆矩阵
逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)
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