机器学习简介

2022-08-05 09:40:27 浏览数 (3)

本文介绍机器学习方法相关基本概念。

0. 机器学习

  1. 机器学习的对象是：具有一定的统计规律的数据。
  2. 机器学习根据任务类型，可以划分为：
    • 监督学习任务：从已标记的训练数据来训练模型。 主要分为：分类任务、回归任务、序列标注任务。
    • 无监督学习任务：从未标记的训练数据来训练模型。主要分为：聚类任务、降维任务。
    • 半监督学习任务：用大量的未标记训练数据和少量的已标记数据来训练模型。
    • 强化学习任务：从系统与环境的大量交互知识中训练模型。
  3. 机器学习根据算法类型，可以划分为：
    • 传统统计学习：基于数学模型的机器学习方法。包括SVM、逻辑回归、决策树等。 这一类算法基于严格的数学推理，具有可解释性强、运行速度快、可应用于小规模数据集的特点。
    • 深度学习：基于神经网络的机器学习方法。包括前馈神经网络、卷积神经网络、递归神经网络等。 这一类算法基于神经网络，可解释性较差，强烈依赖于数据集规模。但是这类算法在语音、视觉、自然语言等领域非常成功。
  4. 没有免费的午餐定理(No Free Lunch Theorem:NFL)：对于一个学习算法A，如果在某些问题上它比算法B好，那么必然存在另一些问题，在那些问题中B比A更好。 因此不存在这样的算法：它在所有的问题上都取得最佳的性能。因此要谈论算法的优劣必须基于具体的学习问题。

1.基本概念

特征空间
  1. 输入空间 ：所有输入的可能取值；输出空间 ：所有输出的可能取值。 特征向量表示每个具体的输入， 所有特征向量构成特征空间。
  2. 特征空间的每一个维度对应一种特征。
  3. 可以将输入空间等同于特征空间，但是也可以不同。绝大多数情况下，输入空间等于特征空间。 模型是定义在特征空间上的。
样本表示
  1. 通常输入实例用 overrightarrow{mathbf{x}} 表示, 真实标记用 tilde{y} 表示, 模型的预测值用 hat{y} 表示。 具体的输入取值记作 overrightarrow{mathbf{x}}_{1}, overrightarrow{mathbf{x}}_{2}, cdots ; 具体的标记取值记作 tilde{y} _ {1}, tilde{y} _ {2}, cdots ; 具体的模型预测取值记作 hat{y} _{1}, hat{y} _{2}, cdots 。
  2. 所有的向量均为列向量，其中输入实例 overrightarrow{mathbf{x}} 的特征向量记作 （假设特征空间为n维）：
overrightarrow{mathbf{x}}=left[begin{array}{c}x^{(1)} x^{(2)} vdots x^{(n)}end{array}right]

​ 这里 x^{(i)} 为 overrightarrow{mathbf{x}} 的第 i 个特征的取值。第 i 个输入记作 overrightarrow { mathbf{x} } _ {i} , 它的意义不同于 x^{(i)} 。 3. 训练数据由输入、标记对组成。通常训练集表示为： mathbb{D}=left{left(overrightarrow{mathbf{x}}_{1}, tilde{y}_{1}right),left(overrightarrow{mathbf{x}}_{2}, tilde{y}_{2}right), cdots,left(overrightarrow{mathbf{x}}_{N}, tilde{y}_{N}right)right} 。

  • 输入、标记对又称作样本点
  • 假设每对输入、标记对是独立同分布产生的。
  1. 输入 overrightarrow{mathbf{x}} 和标记 tilde{y} 可以是连续的，也可以是离散的。 tilde{y} 为连续的：这一类问题称为回归问题。 tilde{y} 为离散的， 且是有限的：这一类问题称之为分类问题。 overrightarrow{mathbf{x}} 和 tilde{y} 均为序列：这一类问题称为序列标注问题。

2. 监督学习

监督学习
  1. 监督学习中，训练数据的每个样本都含有标记，该标记由人工打标，所以称之为监督 。
  2. 监督学习假设输入 overrightarrow{mathbf{x}} 与标记 tilde{y} 遵循联合概率分布 p(overrightarrow{mathbf{x}}, y) ，训练数据和测试数据依联合概率分布 p(overrightarrow{mathbf{x}}, y) 独立同分布产生。 学习过程中，假定这个联合概率分布存在，但是具体定义未知。
  3. 监督学习的目的在于学习一个由输入到输出的映射，该映射由模型表示。 模型属于由输入空间到输出空间的映射的集合，该集合就是解空间。解空间的确定意味着学习范围的确定。
  4. 监督学习的模型可以为概率模型或者非概率模型： 概率模型由条件概率分布 p(y mid overrightarrow{mathbf{x}}) 表示。 非概率模型由决策函数 y=f(overrightarrow{mathbf{x}}) 表示。
  5. 监督学习分为学习和预测两个过程。 给定训练集 mathbb{D}=left{left(overrightarrow{mathbf{x}}_{1}, tilde{y}_{1}right),left(overrightarrow{mathbf{x}}_{2}, tilde{y}_{2}right), cdots,left(overrightarrow{mathbf{x}}_{N}, tilde{y}_{N}right)right} ，其中 overrightarrow{mathbf{x}}_{i} in mathcal{X} 为输入值， tilde{y}_{i} in mathcal{Y} 是标记值。假设训练数据与测试数据是依据联合概率分布 p(overrightarrow{mathbf{x}}, y) 独立同分布的产生的。 学习过程：在给定的训练集 mathbb{D} 上， 通过学习训练得到一个模型。该模型表示为条件概率分布 p(y mid overrightarrow{mathbf{x}}) 或 者决策函数 y=f(overrightarrow{mathbf{x}}) 预测过程：对给定的测试样本 overrightarrow{mathbf{x}}_{text {test }} , 给出其预测结果: 对于概率模型, 其预测值为: hat{y}_{text {test }}=arg _{y} max pleft(y mid overrightarrow{mathbf{x}}_{text {test }}right) 对于非概率模型，其预测值为： hat{y}_{text {test }}=fleft(overrightarrow{mathbf{x}}_{text {test }}right)
  6. 可以通过无监督学习来求解监督学习问题 p(y mid overrightarrow{mathbf{x}}) : 首先求解无监督学习问题来学习联合概率分布 p(overrightarrow{mathbf{x}}, y) 然后计算: p(y mid overrightarrow{mathbf{x}})=frac{p(vec{x}, y)}{sum_{y^{prime}} pleft(overrightarrow{mathbf{x}}, y^{prime}right)} 。
生成模型和判别模型
  1. 监督学习又分为生成方法和判别方法，所用到的模型分别称为生成模型和判别模型。
  2. 作为预测的模型。 即生成模型为:
p(y mid overrightarrow{mathbf{x}})=frac{p(overrightarrow{mathbf{x}}, y)}{p(overrightarrow{mathbf{x}})}

生成方法的优点：能还原联合概率分布

  1. 判别方法 ：直接学习决策函数 f(overrightarrow{mathbf{x}}) 或者条件概率分布 p(y mid overrightarrow{mathbf{x}}) 的模型。 判别方法的优点：直接预测，一般准确率更高，且一般比较简化问题。 判别方法有：逻辑回归，决策树。

3. 机器学习三要素

机器学习三要素：模型、策略、算法。

模型
  1. 模型定义了解空间。监督学习中，模型就是要学习的条件概率分布或者决策函数。 模型的解空间包含了所有可能的条件概率分布或者决策函数，因此解空间中的模型有无穷多个。 模型为一个条件概率分布： 解空间为条件概率的集合: mathcal{F}={p mid p(y mid overrightarrow{mathbf{x}})} 。其中: overrightarrow{mathbf{x}} in mathcal{X}, y in mathcal{Y} 为随机变量, mathcal{X} 为输入空间， mathcal{Y} 为输出空间。 通常 mathcal{F} 是由一个参数向量 vec{theta}=left(theta_{1}, cdots, theta_{n}right) 决定的概率分布族: mathcal{F}=left{p mid p_{vec{theta}}(y mid overrightarrow{mathbf{x}}), vec{theta} in mathbb{R}^{n}right} 。 其中: p_{vec{theta}} 只与 vec{theta} 有关，称 vec{theta} 为参数空间。 模型为一个决策函数： 解空间为决策函数的集合: mathcal{F}={f mid y=f(overrightarrow{mathbf{x}})} 。其中: overrightarrow{mathbf{x}} in mathcal{X}, y in mathcal{Y} 为变量, mathcal{X} 为输入空间, mathcal{Y} 为 输出空间。 通常 mathcal{F} 是由一个参数向量 vec{theta}=left(theta_{1}, cdots, theta_{n}right) 决定的函数族: mathcal{F}=left{f mid y=f_{vec{theta}}(overrightarrow{mathbf{x}}), vec{theta} in mathbb{R}^{n}right} 。 其中 f_{vec{theta}} 只与 vec{theta} 有关，称 vec{theta} 为参数空间。
  2. 解的表示一旦确定，解空间以及解空间的规模大小就确定了。 如：一旦确定解的表示为： f(y)=sum theta_{i} x_{i}=vec{theta} cdot overrightarrow{mathbf{x}} , 则解空间就是特征的所有可能的线性组合，其规模大小 就是所有可能的线性组合的数量。
  3. 将学习过程看作一个在解空间中进行搜索的过程，搜索目标就是找到与训练集匹配的解。
策略

策略考虑的是按照什么样的准则学习，从而定义优化目标。

损失函数
  1. 对于给定的输入 overrightarrow{mathbf{x}} , 由模型预测的输出值 hat{y} 与真实的标记值 tilde{y} 可能不一致。此时, 用损失函数度量錯误的程 度, 记作 L(tilde{y}, hat{y}) , 也称作代价函数。
  2. 平方损失函数 MSE : L(tilde{y}, hat{y})=(tilde{y}-hat{y})^{2} 绝对损失函数 MAE : L(tilde{y}, hat{y})=|tilde{y}-hat{y}| 对数损失函数： L(tilde{y}, hat{y})=-log p(tilde{y} mid overrightarrow{ hat{y}}) 其物理意义是：二分类问题的真实分布与模型分布之间的交叉熵
  3. 训练时采用的损失函数不一定是评估时的损失函数。但通常二者是一致的。 因为目标是需要预测未知数据的性能足够好，而不是对已知的训练数据拟合最好。
风险函数
  1. 通常损失函数值越小，模型就越好。但是由于模型的输入、标记都是随机变量, 遵从联合分布 p(overrightarrow{mathbf{x}}, y) , 因此 定义风险函数为损失函数的期望:

​ 其中 mathcal{X}, mathcal{Y} 分别为输入空间和输出空间。

  1. 学习的目标是选择风险函数最小的模型 。
  2. 求 R_{e x p} 的过程中要用到 p(overrightarrow{mathbf{x}}, y) ,但是 p(overrightarrow{mathbf{x}}, y) 是末知的。 实际上如果它已知，则可以轻而易举求得条件概率分布，也就不需要学习。
经验风险

经验风险也叫经验损失。

给定训练集

，模型关于D的经验风险定义为：

R_{e m p}=frac{1}{N} sum_{i=1}^{N} Lleft(tilde{y}_{i}, hat{y}_{i}right)

​

​ 经验风险最小化 (empirical risk minimization:ERM) 策略认为：经验风险最小的模型就是最优的模型。即：

  1. 经验风险是模型在 mathbb{D}上的平均损失。根据大数定律，当 N rightarrow infty 时 R_{e m p} rightarrow R_{e x p} 。 但是由于现实中训练集中样本数量有限，甚至很小，所以需要对经验风险进行矫正。
  2. 结构风险是在经验风险上叠加表示模型复杂度的正则化项（或者称之为罚项）。它是为了防止过拟合而提出的。 给定训练集 mathbb{D}=left{left(overrightarrow{mathbf{x}}_{1}, tilde{y}_{1}right),left(overrightarrow{mathbf{x}}_{2}, tilde{y}_{2}right), cdots,left(overrightarrow{mathbf{x}}_{N}, tilde{y}_{N}right)right} , 模型关于 mathbb{D} 的结构风险定义为： 其中： J(f) 为模型复杂度，是定义在解空间 mathcal{F} 上的泛函。 f 越复杂，则 J(f) 越大。 lambda geq 0 为系数，用于权衡经验风险和模型复杂度。
  3. 结构风险最小化 (structurel risk minimization:SRM) 策略认为：结构风险最小的模型是最优的模型。即：
  1. 结构风险最小化策略符合奥卡姆剃刀原理：能够很好的解释已知数据，且十分简单才是最好的模型
极大似然估计
  1. 极大似然估计就是经验风险最小化的例子。
  2. 已知训练集 mathbb{D}=left{left(overrightarrow{mathbf{x}}_{1}, tilde{y}_{1}right),left(overrightarrow{mathbf{x}}_{2}, tilde{y}_{2}right), cdots,left(overrightarrow{mathbf{x}}_{N}, tilde{y}_{N}right)right} , 则出现这种训练集的概率为: prod_{i=1}^{N} pleft(tilde{y}_{i} mid overrightarrow{mathbf{x}}_{i}right) 。 根据 mathbb{D} 出现概率最大，有:

​ 定义损失函数为： L(tilde{y}, hat{y})=-log p(tilde{y} mid overrightarrow{mathbf{x}}) ，则有：

即：极大似然估计 = 经验风险最小化 。

最大后验估计
  1. 最大后验估计就是结构风险最小化的例子。

已知训练集

，假设已知参数θ的先验分布为g(θ)，则出现这种训练集的概率为:

。

根据 D 出现概率最大：

定义损失函数为：

；定义模型复杂度为

；定义正则化系数为

。则有：

min sum_{i=1}^{N}left(-log pleft(tilde{y}_{i} mid overrightarrow{mathbf{x}}_{i}right)right) log frac{1}{g(theta)} rightarrow min sum_{i=1}^{N} Lleft(tilde{y}_{i}, hat{y}_{i}right) J(f)
rightarrow min frac{1}{N} sum_{i=1}^{N} Lleft(tilde{y}_{i}, hat{y}_{i}right) lambda J(f)

​

即：最大后验估计 = 结构风险最小化。

算法
  1. 算法指学习模型的具体计算方法。通常采用数值计算的方法求解，如：梯度下降法。

参考资料

  • http://www.huaxiaozhuan.com/统计学习/chapters/0_introduction.html
监督学习 无监督学习 机器学习 学习方法 神经网络

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