本文记录泊松分布。
泊松分布
- 假设已知事件在单位时间 (或者单位面积) 内发生的平均次数为 lambda, 则泊松分布描述了：事件在单位时间 (或者单位面积) 内发生的具体次数为 k 的概率。
- 概率质量函数： p(X=k | lambda)=frac{e^{-lambda} lambda^{k}}{k !} .
- 期望: mathbb{E}[X]=lambda
- 方差: operatorname{Var}[X]=lambda
泊松分布的来源
- 泊松分布单位时间发生的次数为X，平均次数为lambda
- 设所观察的这段时间为[0,1),取一个很大的自然数n，把时间段[0,1)分为等长的n段：
- 我们做如下两个假定:
- 在每段 l_{i} 内, 恰发生一个事故的概率，近似的与这段时间的长 frac{1}{n} 成正比，可设为 frac{lambda}{n} 。当n很大时， frac{1}{n} 很小时，在 l_{i} 这么短暂的一段时间内，要发生两次或者更多次事故是不可能的。因此在 l_{i} 这段时间内不发生事故的概率为 1-frac{lambda}{n} 。
- l_{i}, ldots, l_{n} 各段是否发生事故是独立的 把在 [0,1) 时段内发生的事故数 X视作在n个划分之后的小时段 l_{i}, ldots, l_{n} 内有事故的时段数，则按照上述两个假定， X 应服 从二项分布 Bleft(n, frac{lambda}{n}right) 。于是，我们有
- 注意到当 n rightarrow infty 取极限时，我们有
- 因此
从上述推导可以看出：泊松分布可作为二项分布的极限而得到。一般的说，若 X sim B(n, p) ,其中n很大， p很小，因而 n p=lambda 不太大时， X的分布接近于泊松分布 P(lambda) 。这个事实有时可将较难计算的二项分布转化为泊松分布去计算。
Python 实现
scipy包支持模拟泊松分布
查表
查累积概率。查询 lambda =100，发生次数小于等于120的概率：
代码语言：javascript复制from scipy import stats
p = stats.poisson.cdf(120, 100)
print(p)
>>>
0.9773306709216473随机数生成
生成服从
=50的泊松分布随机数100个：
代码语言：javascript复制from scipy import stats
# 设置random_state时，每次生成的随机数一样。不设置或为None时，多次生成的随机数不一样
sample = stats.poisson.rvs(mu=50, size=100, random_state=3)
print(sample)
>>>
[51 45 60 40 34 53 54 45 45 49 51 46 48 61 47 53 47 48 45 49 52 45 43 50
50 54 54 47 47 46 36 72 54 55 52 37 42 41 54 54 55 58 53 53 51 43 58 38
63 50 44 53 48 43 53 45 67 37 51 42 54 47 59 55 54 55 55 46 60 43 54 45
59 44 58 45 51 58 56 47 54 33 55 50 58 49 60 37 51 43 50 52 52 45 42 44
49 54 52 48]
参考资料
- http://www.huaxiaozhuan.com/数学基础/chapters/2_probability.html
- https://baike.baidu.com/item/泊松分布/1442110?fr=aladdin
- https://blog.csdn.net/lanhezhong/article/details/105765526
