概率论基础 - 15 - 伽马分布

本文记录伽马分布。

整数次数的伽马分布

若事件服从泊松分布，泊松分布参数为lambda，则事件第i 次发生和第i k 次发生的时间间隔t的分布为伽玛分布。

概率密度函数

p(t ; lambda, k)=frac{t^{(k-1)} lambda^{k} e^{(-lambda t)}}{Gamma(k)}

其中 t 为时间间隔。

期望

mathbb{E}[t]=frac{k}{lambda}

方差

operatorname{Var}[t]=frac{k}{lambda^{2}}

上面的定义中 k 必须是整数。

更一般的伽马分布

事实上，若随机变量 X 服从伽马分布，则其概率密度函数为：

p(X ; alpha, beta)=frac{beta^{alpha}}{Gamma(alpha)} X^{alpha-1} e^{-beta X}, quad X>0

期望

mathbb{E}[X]=frac{alpha}{beta}

方差

operatorname{Var}[X]=frac{alpha}{beta^{2}}

当 alpha leq 1 时, p(X ; alpha, beta) 为递减函数。当 alpha>1 p(X ; alpha, beta) 为单峰函数。

整数次数伽马分布的理解

已知Gamma分布的密度函数为:

f(x, alpha, lambda)=frac{lambda^{alpha} x^{alpha-1} e^{-lambda x}}{Gamma(alpha)}, x>0

则其在时间 (t, infty) 上的积分为

即有：

令 alpha 为 n, quad n=0,1,2, cdots , 有

int_{t}^{ infty} f(x, n, lambda) cdot d x=int_{t}^{ infty} f(x, n-1, lambda) cdot d x frac{(lambda t)^{n-1} cdot e^{-lambda t}}{(n-1) !}

叠加求和, 得:

int_{t}^{ infty} f(x, n, lambda) cdot d x=sum_{k=0}^{n-1} frac{(lambda t)^{k} cdot e^{-lambda t}}{k !}

Gamma分布上述积分形式即可理解为: 第 n 个事件恰好发生在时间 (t, infty) 的概率, 相当于在时间 (0, t) 内发生恰好发生 0,1,2, cdots, n-1 个事件的概率总和。
也可以反过来说，伽马分布是n个独立的指数分布随机变量的和。

伽马函数

伽玛函数（Gamma Function）作为阶乘的延拓，是定义在复数范围内的亚纯函数，通常写成 Gamma(x) 。在x取值为正整数时与阶乘是统一的。

在实数域上伽玛函数定义为:

Gamma(x)=int_{0}^{ infty} t^{x-1} e^{-t} mathrm{~d} t(x>0)

在复数域上伽玛函数定义为:

Gamma(z)=int_{0}^{ infty} t^{z-1} e^{-t} mathrm{~d} t

其中 operatorname{Re}(z)>0

除了以上定义之外，伽马函数公式还有另外一个写法:

Gamma(x)=2 int_{0}^{ infty} t^{2 x-1} e{-t{2}} mathrm{~d} t

我们都知道 int_{0}^{ infty} e{-t{2}} mathrm{~d} t=frac{sqrt{pi}}{2} 是一个常用积分结果上述公式可以用 Gammaleft(frac{1}{2}right)=2 int_{0}^{perp infty} e{-t{2}} mathrm{~d} t=sqrt{pi} 来验证

伽马函数还可以定义为无穷乘积:

参考资料

http://www.huaxiaozhuan.com/数学基础/chapters/2_probability.html
https://www.zhihu.com/question/34866983
https://www.jianshu.com/p/6ee90ba47b4a
https://baike.baidu.com/item/伽玛函数/3540177?fromtitle=伽马函数&fromid=11217190&fr=aladdin

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