DCT 离散余弦变换

DCT 变换的全称是离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)，主要运用于数据或图像的压缩。本文记录相关内容。

概述

DCT变换的全称是离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)，主要运用于数据或图像的压缩。由于DCT能够将空域的信号转换到频域上，因此具有良好的去相关性的性能。DCT变换本身是无损的且具有对称性。对原始图像进行离散余弦变换，变换后DCT系数能量主要集中在左上角，其余大部分系数接近于零。将变换后的DCT系数进行门限操作，将小于一定值得系数归零，这就是图像压缩中的量化过程，然后进行逆DCT运算，可以得到压缩后的图像。

定义

一维 DCT 变换

其中，f(i)为原始的信号，F(u)是DCT变换后的系数，N为原始信号的点数，c(u)可以认为是一个补偿系数，可以使DCT变换矩阵为正交矩阵。

二维 DCT 变换

其中，f(i,j)为原始的信号，F(u,v)是DCT变换后的系数，N为原始信号的点数，c(u),c(v)可以认为补偿系数，可以使DCT变换矩阵为正交矩阵。

推导

这么神奇的定义其实是 DFT 变换推导而来

由来

在开始讲DCT变换之前，我们来看看DFT的变换公式

X[k]=sum_{n=0}^{N-1} x[n]left(cos left(frac{2 pi mathrm{kn}}{N}right)-mathrm{j} sin left(frac{2 pi mathrm{kn}}{N}right)right)

将上式拆开

X[k]=sum_{n=0}^{N-1} x[n]left(cos frac{2 pi mathrm{kn}}{N}right)-j sum_{n=0}^{N-1} x[n] sin left(frac{2 pi k n}{N}right)

实数部分为：

sum_{n=0}^{N-1} x[n]left(cos frac{2 pi mathrm{kn}}{N}right)

虚数部分为：

j sum_{n=0}^{N-1} x[n] sin left(frac{2 pi k n}{N}right)

取 cos left(frac{2 pi k n}{N}right)=cos (k t) ，实数部分：

R e[k]=sum_{n=0}^{N-1} x[n] cos (k t)

虚数部分

operatorname{Im}[k]=sum_{n=0}^{N-1} x[n] sin (k t)

当 x[n] 为实偶函数时，x[n] sin (k t) 为奇函数那么如果我们可以构造一个实偶函数在[-p, p] 的累加区间，岂不是这部分虚数就为 0 了？为了这个念想开始了 DCT 变换的构造

构造 DCT 变换

如果输入信号是实偶信号就可以不考虑虚部的 DFT 计算了，但是事实上没有那么多偶函数信号来用，那么只要信号是实数我们可以自己构造一组偶函数信号

对于一组给定的真实实信号 {x[0], x[1] ldots x[N-1]} ，将这部分信号向负数方向镜像延拓一倍，用x’ 表示：

{x’[-N],x’[-N 1],…,x’[-1],x’[0], x’[1] ldots x’[N-1]}

并且有：

其中，蓝色为原始信号，红色为延拓后的信号这样，我们就将一个实信号变成了一个实偶信号，那么，对这个延拓的信号的DFT变换怎么写呢，显然，信号的区间已经从之前的[0, N-1]，变成了[-N,N-1]，因此，DFT 变换变为：

X[k]=sum_{m=-N}^{N-1} x^{prime}[m] e^{frac{-j 2 pi m k}{2 N}}

但是，这样的插值之后也随之带来了一个问题，这个信号并不关于m=0偶对称，它关于 m=-frac{1}{2} 对称，因此，为了让信号仍然关于原点对称，把整个延拓的信号向右平移frac{1}{2}个单位

上式 DFT 变换调整为

X[k]=sum_{m=-N frac{1}{2}}^{N-frac{1}{2}} x^{prime}left[m-frac{1}{2}right] e^{frac{-j 2 pi m k}{2 N}}

此时信号已经为定义域关于 0 对称的实偶函数了，因此虚部系数为 0：

X[k]=sum_{m=-N frac{1}{2}}^{N-frac{1}{2}} x^{prime}left[m-frac{1}{2}right] e^{frac{-j 2 pi m k}{2 N}}=sum_{m=-N frac{1}{2}}^{N-frac{1}{2}} x^{prime}left[m-frac{1}{2}right] cos left(frac{2 pi m k}{2 N}right)

此时 m 定义域有小数也有负数的部分，仍然不是十分合理，根据偶函数性质进一步变换，得到：

sum_{m=-N frac{1}{2}}^{N-frac{1}{2}} x^{prime}left[m-frac{1}{2}right] cos left(frac{2 pi m k}{2 N}right)=2 * sum_{m=frac{1}{2}}^{N-frac{1}{2}} x^{prime}left[m-frac{1}{2}right] cos left(frac{2 pi m k}{2 N}right)

将变量进行替换，m=n frac{1}{2}，得到：

2 * sum_{n=0}^{N-1} x^{prime}[n] cos left(frac{2 pileft(n frac{1}{2}right) k}{2 N}right)=2 * sum_{n=0}^{N-1} x^{prime}[n] cos left(frac{left(n frac{1}{2}right) pi k}{N}right)

至此 DCT 变换的核心部分已经出现了，系数c(u)是为了工程上矩阵运算正交化方便取了：

用途

DCT变换是傅里叶变换的一种特殊情况，而真实数据绝大多数都是实数数据，进行DCT变换可以不再和虚数打交道，因此应用范围很广。
在数字图像领域 JPEG 图像压缩使用了 DCT变换。
DCT同时也在音频信号处理，数字水印方面也发挥着各种作用。

参考资料

https://www.jianshu.com/p/f8e36b00fcdf
https://zhuanlan.zhihu.com/p/85299446

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