二值图几何性质 —— 通过投影计算轮廓朝向

2022-08-09 16:41:20 浏览数 (1)

本文记录《机器视觉》 第三章第三节 —— 投影，一些学习笔记和个人理解，其中核心内容为二值图的投影。

  • 根据 转动惯量 节的结论，我们只需要使用一阶矩和二阶矩，就可以计算出：物体的位置和朝向。为了计算物体的一阶矩和二阶矩，我们并不需要知道原始图像，因为，原始图像的投影已经提供了充足的信息。这是一个有趣的结论，因为，图像投影的形式更加紧凑，并且，可以用来设计快速算法。
  • 考虑一条经过原点并且与 x 轴之间的夹角为 theta 的直线。现在，我们构建一条新的直线，这条线和原来的直线垂直，并且和原来的直线相交于：和原点之间距离为 t 的一点。我们用 s 来表示：从两条线的交点开始、沿着新的直线所“走过”的路程。沿着新的直线对 b(x,y) 进行积分，就给出了一个投影值，也就是说：
p_{theta}(t)=int_{L} b(t cos theta-s sin theta, t sin theta s cos theta) d s
  • 这个积分是在直线 L 所在的图像“区域”上进行的。
  • 例如竖直方向的投影（即：theta = 0 ) 为：
v(x)=int_{L} b(x, y) d y
  • 水平方向的投影(即：0=π/2 )为：
h(y)=int_{L} b(x, y) d x
  • 由于：
A=iint_{I} b(x, y) d x d y
  • 因此我们有：
A=int v(x) d x=int h(y) d y
  • 此外还有：
bar{x} A=iint_{I} x b(x, y) d x d y=int x v(x) d x
bar{y} A=iint_{I} y b(x, y) d x d y=int y h(y) d y
  • 因此，投影的一阶矩等于原始图像的一阶矩。
  • 为了计算朝向，我们还需要计算图像的二阶矩。通过投影，我们可以很容易地计算出：这些二阶矩中的其中两个，也就是说：
iint_{I} x^{2} b(x, y) d x d y=int x^{2} v(x) d x
iint_{I} y^{2} b(x, y) d x d y=int y^{2} h(y) d y
  • 但是，只使用水平投影和竖直投影，我们无法求出：对xy b(x,y) 的积分。我们可以添加对角投影(即：theta=π/4 )来解决这个问题：
d(t)=int bleft(frac{1}{sqrt{2}}(t-s), frac{1}{sqrt{2}}(t s)right) d s
  • 根据 x=tcostheta-ssintheta,y=tsintheta scostheta ，有：
t=(x y) / sqrt{2} ， s=(y-x) / sqrt{2}
  • 因此有：
iint_{I} frac{1}{2}(x y)^{2} b(x, y) d x d y=iint_{I} t^{2} bleft(frac{1}{sqrt{2}}(t-s), frac{1}{sqrt{2}}(t s)right) d s d t
  • 进一步可以得到：
iint_{I} frac{1}{2}(x y)^{2} b(x, y) d x d y=int t^{2} d(t) d t
  • 由于：
iint_{I} frac{1}{2}(x y)^{2} b(x, y) d x d y=iint_{I}left(frac{1}{2} x^{2} x y frac{1}{2} y^{2}right) b(x, y) d x d y
  • 因此可以得到：
iint_{I} x y b(x, y) d x d y=int t^{2} d(t) d t-frac{1}{2} int x^{2} v(x) d x-frac{1}{2} int y^{2} h(y) d y
  • 因此，通过使用“水平”、“竖直”和“对角线”三个方向的投影，我们可以计算出一阶矩和二阶矩，并且，最终确定图像区域的位置和朝向。

参考资料

  • 伯特霍尔德・霍恩著 BERTHOLDKLAUSPAULHORN. 机器视觉M. 中国青年出版社, 2014.
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