在统计力学和数学中，波兹曼分布（英语：Boltzmann distribution），或称吉布斯分布（英语：Gibbs distribution），是一种机率分布或机率测度，它给出一个系统处于某种状态的机率，本文介绍相关内容。
玻尔兹曼分布
在统计力学和数学中，波兹曼分布（英语：Boltzmann distribution），或称吉布斯分布（英语：Gibbs distribution），是一种机率分布或机率测度，它给出一个系统处于某种状态的机率，是该状态的能量及温度的函数。
- 该分布以下列形式表示：
- 其中 p_i是系统处于状态 i 的概率，ε_i是该状态的能量，kT 为波兹曼常数 k 和热力学温度 T 的乘积。符号{textstyle propto }表示正比例。
- 这里的“系统”一词具有非常广泛的涵义；它适用的范围可以从“足够数量”的原子集合（但不是单个原子）到一个宏观系统。因此，波兹曼分布可以解决非常广泛且多样的问题。该分布表明，能量较低的状态总是有较高的机率被占用。
- 两种状态的机率比称为波兹曼因子，其特征在于其仅取决于两状态之能量差：
- 广义波兹曼分布是熵的统计力学定义（吉布斯熵公式 {textstyle S=-k_{mathrm {B} }sum _{i}p_{i}log p_{i}}{textstyle S=-k_{mathrm {B} }sum _{i}p_{i}log p_{i}} ）和熵的热力学定义（ {textstyle mathrm {d} S={frac {delta Q_{text{rev}}}{T}}}{textstyle mathrm {d} S={frac {delta Q_{text{rev}}}{T}}} ，以及热力学基本关系）等价的充分必要条件。
分布形式
波兹曼分布是状态能量与系统温度的机率分布函数，给出了粒子处于特定状态下的机率。其具有以下形式：
- ，是系统所有状态的归一化总和，是规范的配分函数：
- 波兹曼分布是使熵最大化的分布
- 受制于约束条件时，{textstyle sum {p_{i}{varepsilon }_{i}}}等于特定的平均能量值
- 对于一个我们感兴趣的系统，若是知道系统中各状态的能量，可以直接计算此系统的配分函数。
- 的分布机率比为：
- 其中， p_{i} 为状态的机率， p_{j} 为状态扲机率，而 epsilon_{i} 和 epsilon_{j} 分别为状态 i 和状态 j 的能量。
- 的机率会等于处于状态i的粒子数除以系统中所有粒子的总数，即：
- 的粒子数比例表示成一以能量作为变数的函数：
参考资料
- https://zh.m.wikipedia.org/zh-hans/玻尔兹曼分布
- Gao, Xiang; Gallicchio, Emilio; Roitberg, Adrian. The generalized Boltzmann distribution is the only distribution in which the Gibbs-Shannon entropy equals the thermodynamic entropy. The Journal of Chemical Physics. 2019, 151 (3): 034113. PMID 31325924
