七十七、 二叉树的层次遍历和最大深度

2022-08-17 09:07:50 浏览数 (1)

「@Author：Runsen」

在讲解二叉树的时候，提到二叉树的遍历除了前中后序遍历，还有层次遍历。

前中后序这三种遍历方法以及可以通过递归的方式实现了，那么今天就来讲讲层次遍历吧!

LeetCode 第 102题：二叉树的层次遍历

给你一个二叉树，请你返回其按 层序遍历 得到的节点值。（即逐层地，从左到右访问所有节点）。

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示例： 
二叉树：[3,9,20,null,null,15,7], 
#     3
#   / 
#  9  20
#    /  
#   15   7
返回其层次遍历结果： 
[
 [3],
 [9,20],
 [15,7]
]

对于这道二叉树题目，我们要遍历每一层的每一个节点，可以考虑分别用BFS（广度优先搜索）和DFS（深度优先搜索）来解决，下面先简单介绍BFS，后续文章继续深入。

有两种通用的遍历树的策略：

深度优先搜索算法（英语：Depth-First-Search，简称DFS）是一种用于遍历或搜索树或图的算法。沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。当节点的所在边都己被探寻过，搜索将回溯到发现节点的那条边的起始节点。

深度优先搜索策略又可以根据根节点、左孩子和右孩子的相对顺序被细分为先序遍历，中序遍历和后序遍历。

宽度优先搜索算法(又称广度优先搜索 英语：Breadth-First Search, 简称BFS )

我们按照高度顺序一层一层的访问整棵树，高层次的节点将会比低层次的节点先被访问到，最短路径问题常用此算法。

本题就是用广度优先搜索，对二叉树按照层进行搜索，搜索逻辑如下图所示：

根据我们熟悉的BFS搜索方法，二叉树的层次遍历，关键要用到队列，父结点出，就要判断子结点是否为空，非空则马上进入队列,类似广度优先queue队列。

把每个没有搜索到的点依次放入队列，然后再弹出队列的头部元素作为当前遍历节点，并进行记录。接下来对此节点的所有相邻节点进行搜索，将所有有效且未被访问过的节点压入队列中。

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# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None
from collections import deque

class Solution(object):
    def levelOrder(self, root):
        res = []
        if root is None:
            return res
        q = deque([root])
        res.append([root.val])
        while q:
            size = len(q)
            level = []
            for i in range(size):
                node = q.popleft()
                if node.left != None:
                    q.append(node.left)
                    level.append(node.left.val)
                if node.right != None:
                    q.append(node.right)
                    level.append(node.right.val)
            if level:
                res.append(level)
        return res

LeetCode 第 107题：二叉树的层次遍历 II

给定一个二叉树，返回其节点值自底向上的层次遍历。（即按从叶子节点所在层到根节点所在的层，逐层从左向右遍历）

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#给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7], 
#     3
#   / 
#  9  20
#    /  
#   15   7
# 返回其自底向上的层次遍历为： 
# [
#  [15,7],
#  [9,20],
#  [3]
#]
# Related Topics 树 广度优先搜索

和LeetCode 第 102题：二叉树的层次遍历完全一样，就是最后的结果改为return res[::-1]

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class Solution:
    def levelOrderBottom(self, root: TreeNode) -> List[List[int]]:
        res = []
        if root is None:
            return res
        q = deque([root])
        res.append([root.val])
        while q:
            size = len(q)
            level = []
            for i in range(size):
                node = q.popleft()
                if node.left != None:
                    q.append(node.left)
                    level.append(node.left.val)
                if node.right != None:
                    q.append(node.right)
                    level.append(node.right.val)
            if level:
                res.append(level)
        return res[::-1]

LeetCode 第 104题：二叉树的最大深度

给定一个二叉树，找出其最大深度。

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# 二叉树的深度为根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。 
# 说明: 叶子节点是指没有子节点的节点。 
# 示例： 
#给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7]， 
#     3
#   / 
#  9  20
#    /  
#   15   7 
# 返回它的最大深度 3 。 
# Related Topics 树 深度优先搜索

看到该题目，首先想到的是使用递归来实现，递归的基本条件是访问到根节点（左右子树为空）；递归条件是访问左子树或右子树；中间处理逻辑是将子树深度 1，即为最终深度。

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# class TreeNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None

class Solution:
 # 简化的递归
 def maxDepth(self, root: TreeNode) -> int:
        if not root:
            return 0
        return max(self.maxDepth(root.left), self.maxDepth(root.right)) 1
 def maxDepth(self, root: TreeNode) -> int:  
  if not root: return 0 
  # 分别得到左右子树的最大深度
  left = self.maxDepth(root.left)    
  right = self.maxDepth(root.right)    
  return max(left, right)  1

LeetCode 第 110题：平衡二叉树

给定一个二叉树，判断它是否是高度平衡的二叉树。

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# 本题中，一棵高度平衡二叉树定义为： 
# 一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1。 
# 示例 1: 
# 给定二叉树 [3,9,20,null,null,15,7] 
#     3
#   / 
#  9  20
#    /  
#   15   7 
# 返回 true 。 
#示例 2: 
# 给定二叉树 [1,2,2,3,3,null,null,4,4] 
#
#        1
#      / 
#     2   2
#    / 
#   3   3
#  / 
# 4   4
# 返回 false 。 
# Related Topics 树 深度优先搜索

定义一个获取当前节点高度的方法, 可以参考上面：求二叉树的最大深度

左右两个子树的高度差的绝对值超过1，则为false

如果当前节点的左右子树满足高度差的绝对值不超过1，则需要继续判断其左右子树分别是否是平衡二叉树。

对于每个节点，左子树和右子树都是平衡树，并且得到左子树和右子树的高度，只要高度差小于1，则为true。

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# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode(object):
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.left = None
#         self.right = None

class Solution:
    def isBalanced(self, root: TreeNode) -> bool:
        if not root: return True
        return abs(self.depth(root.left) - self.depth(root.right)) <= 1 and 
            self.isBalanced(root.left) and self.isBalanced(root.right)

    def depth(self, root):
        if not root: return 0
        return max(self.depth(root.left), self.depth(root.right))

但是时间复杂度却是

O(n^2)

，可以采用DFS（深度优先搜索）

  • 对二叉树做深度优先遍历DFS，递归过程中：
  • 终止条件：当DFS越过叶子节点时，返回高度0；
  • 返回值：从底至顶，返回以每个节点root为根节点的子树最大高度(左右子树中最大的高度值加1 max(left,right) 1)；
  • 当我们发现有一例 左/右子树高度差 ＞ 1 的情况时，代表此树不是平衡树，返回-1；
  • 当发现不是平衡树时，后面的高度计算都没有意义了，因此一路返回-1，避免后续多余计算。

最差情况是对树做一遍完整DFS，时间复杂度为 O(N)。

代码语言：javascript复制
class Solution:
    def isBalanced(self, root: TreeNode) -> bool:
        return self.depth(root) != -1

    def depth(self, root):
        if not root: return 0
        left = self.depth(root.left)
        if left == -1: return -1
        right = self.depth(root.right)
        if right == -1: return -1
        return max(left, right)   1 if abs(left - right) < 2 else -1

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Reference

[1]传送门~: https://github.com/MaoliRUNsen/runsenlearnpy100

- END -

二叉树 编程算法

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