“ 前篇文章介绍了Butterworth滤波器的s函数及其推导，本篇将以一个2阶Butterworh滤波器实例具体介绍两部分内容：极点和传递函数的关系、s函数z变换的三种方法”
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2阶Butterworth滤波器实例
采样频率Fs=4000Hz，截止频率fc=80Hz，2阶Butterworth滤波的公式，如图1:
图1
取N=2，即2阶Butterworth滤波器的公式，如图2:
图2
该滤波器有两个极点：p1 和 p2；没有零点。
特别注意：一般来讲，s=jw，文章为了书写方便，令s=jw/wc
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极点和传递函数的关系
图2中的公式 H(s)，分母是两个矢量(s-p1) 和(s-p2)的乘积，1除以这两个矢量的模（即长度）的乘积，即传递函数 H(s) 的幅频曲线，如图3。
图3左图中：
红色虚线箭头 --> ：自变量 s=jw/wc 的矢量;
蓝色虚线箭头 --> ：极点p1的矢量;
绿色虚线箭头 --> ：极点p2的矢量;
蓝色实线箭头 —> ：s-p1的矢量;
绿色实线箭头 —> ：s-p2的矢量;
幅频曲线 = 1 /（蓝色实线箭头长度*绿色实线箭头长度），如图3。
图3
不断变换f的值（即不断变换 f/fc 或w/wc的值），相当于红色虚线箭头不断向上延伸，即得到幅频特性曲线，如图4动图。
图4
可见，f/fc（或w/wc）越大，传递函数的幅值越接近0。
当然，仅知道s表示的函数是不够的，需要将s函数进行z变换，从而将传递函数表示成以z表示的零点和极点，才可以构造实时的滤波器。
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s函数的z变换
将jw替换成z（即离散变换），常用三种方法，在此之前，先介绍几个概念，如图5。
图5
1）一阶向前差分法：
1.1) 利用泰勒公式理解：
图6
*对于离散信号，Δt很小，所以可以去掉高阶次。
1.2) 利用曲线导数理解：
图7
图8
2）一阶向后差分法：
2.1）利用泰勒公式理解：
图9
2.2）利用曲线导数理解：
图10
图11
3）双线性变换法：
3.1）利用泰勒公式理解：
图12
3.2）利用曲线导数理解：
图13
以上，即是将jw替换成z（即离散变换），常用的三种方法：
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下篇内容
对于Butterworth滤波器，Matlab和Python程序中常用的是第三种：双线性变换。但在双线性变换前，还有一个预畸变过程，将在接下来的文章中介绍。
有问题请指正，谢谢！
