实变函数期末复习笔记

如有错误，敬请指正！

Chap1 集合

什么叫两个集合对等

若A,B是非空集合，且存在双射phi:Arightarrow B，称A与B对等，记为Asim B，规定varnothing sim varnothing.

简述 Bernstein 定理

设A,B是两个非空集合，如果A对等于B的一个子集，B又对等于A的一个子集，那么A对等于B.

Chap2 点集

简单描述 Cantor 集的构造过程

将[0,1]三等分，去掉中间的开区间(frac{1}{3},frac{2}{3}),将剩下的两个区间[0,frac{1}{3},]和[frac{2}{3},1]，记为E_1
再把这两个闭区间三等分，去掉中间的开区间(frac{1}{9},frac{2}{9})和(frac{7}{9},frac{8}{9})，剩下2^2个区间，记为E_2
dots
当进行到第n次时，得到2^n个长度为3^{-n}的互不相交的区间，去掉了2^{n-1}个区间，记这2^n个区间为E_n
如此进行下去，就从[0,1]中去掉了可数多个无公共端点的开区间，余下的区间称为 Cantor 三分集

Chap3 测度论

给出外测度的定义

Ein mathbb{R}^n,E的外测度定义为

m^{star}(E)=inf{sum_{i=1}^{infty}|I_i|:bigcup_{i=1}^{infty}I_isupset E}

其中 I_i 是开区间

可测集的定义

设E为mathbb{R}^n中点集，如果对任一点集T，都有

m^{star}(T)=m^{star}(Tcap E) m^{star}(Tcap E^c)

则称E是L可测的，E称为可测集

Chap4 可测函数

给出可测函数的定义

设f(x)是定义在可测集Esubsetmathbb{R}^n上的实函数，如果对于任何有限实数a，E[f>a]f(x)为定义在

简述 Luzin 定理

设f(x)是E上a.e.有限的可测函数，则对任意delta>0F_deltasubset E，使f(x)在F_delta上是连续函数，且m(Everb||F_delta)<delta

Luzin 定理的逆定理

设f(x)是可测集E上的函数，则对任意delta>0F_deltasubset E，使f(x)在F_delta上连续且m(Everb||F_delta)<deltaf(x)在E上a.e.有限

Chap5 积分论

Lebegue 积分如何建立

用数学语言分步骤描述，一般可测函数的 Lebegue 积分是怎样通过简单分数的 Lebegue 积分、非负可测函数的 Lebegue 积分建立起来的

TODO

一般可测的 Lebegue 可积的定义

TODO

Levi 定理

设Esubset mathbb{R}^n为可测集，{f_n}_{n=1}^{infty}为E上的一列非负可测函数，当xsubset E时，对任一整数n有f_n(x)le f_{n 1}(x)，令f(x)=limlimits_{n to infty}f_n(x)，xin E，则

limlimits_{nto infty}int_Ef_n(x)dx=int_Ef(x)dx

逐项积分定理

设Esubset mathbb{R}^n为可测集，{f_n}_{n=1}^{infty}为E上的一列非负可测函数，则 h

int_E(sum_{n=1}^{infty}f_n(x))dx = sum_{i=1}^{infty}int_Ef_n(x)dx

Fatou 引理

设Esubset mathbb{R}^n为可测集，{f_n}_{n=1}^{infty}为E上的一列非负可测函数，则

int_E varliminf_{n to infty}f_n(x)dx le varliminf_{n to infty}int_Ef_n(x)dx

Lebegue 控制收敛定理

设Esubset mathbb{R}^n为可测集，{f_n}_{n=1}^{infty}为E上的一列非负可测函数，F是E上非负L可积函数，如果对于任意正整数n，|f_n(x)|le F(x)a.e.于E，且limlimits_{n to infty}f_n(x)=f(x)a.e.于 E，则

$$ limlimits_{n to infty}int_E|f_n(x)-f(x)|dx = 0 \ limlimits_{n to infty}int_E f_n(x)dx=int_Ef(x)dx $$

Riemann 可积的充要条件

设f_n(x)在[a,b]上有界，则f(x)在[a,b]上R可积的充要条件是f(x)在[a,b]上a.e.连续，即f(x)的不连续点全体成一零测度集。

f(x)的下方图形

设f(x)是Esubsetmathbb{R}^n上的非负函数，则mathbb{R}^{n 1}中的点集{(x,z):xin E, 0le z le f(x)}称为f(x)在E上的下方图形，记为G(E,f)

非负可测函数的几何意义定理

设f(x)是Esubsetmathbb{R}^n上的非负函数，则

$$ f(x)是 E 上可测函数充要条件是 G(E,f)是mathbb{R}^n 上的非负函数) \ 当 f(x)在 E 上可测时，int_Ef(x)dx=mG(E,f) $$

Fubini 定理

设f(P)=f(x,y)在Atimes B subset mathbb{R}^{p q}上可积，则对a.e.的xin A，f(x,y)作为y的函数在B上可测，且

int_{Atimes B}f(P)dP = int_Adxint_Bf(x,y)dy

Chap6 微分与不定积分

单调递增函数的 Lebegue 定理的三个结论

设f(x)为[a,b]上的单调增函数，则

1.f(x)在[a,b]

$[a,b]$上有界变差函数的定义

设f(x)为[a,b]上的有限函数，如果对于[a,b]中的一切分划T，使

{sum_{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|}

成一有界数集，则f(x)为[a,b]上的有界变差函数

有界变差函数的 Jordan 分解定理

在[a,b]上的任一有界变差函数f(x)都可以表示成两增函数之差

绝对连续函数的定义

设F(x)为[a,b]上的有限函数，如果对于任意的varepsilon>0delta>0[a,b]中互不相交的任意有限个开区间(a_i,b_i) i=1,2,3cdots,n，只要

sum_{i=1}^n(b_i-a_i)<delta

就有

sum_{i=1}^n|F(b_i)-F(a_i)|<varepsilon

称F(x)为[a,b]上的绝对连续函数

int subset

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