大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。
两年前第一次接触到PID觉得很高深，很神奇；后来逐渐觉得单纯的PID小儿科了，又了解到专家PID，模糊PID，神经网络PID这些改进算法，再后来又知道了ADRC，便感控制领域浩如烟海，所学不过沧海一粟。然便纵真理无穷，进一寸自有一寸的欢喜。 不敢说看了几篇论文，听了几节报告，做了几次仿真，就吃透ADRC了，不过只是一些粗浅的理解，记录一行歪歪斜斜的足迹。以便回首过眼云烟之时，可以安慰自己一句，我已经飞过。
一、系统有关概念
1、系统的状态空间模型
描述一个系统，最常用的数学模型有：
- 微分方程
- 传递函数
- 状态空间
其中状态空间模型常用于对系统进行数学计算。状态空间模型用状态方程表示。 { x ˙ = A x B u y = C x D u ( 1 − 1 ) left{ begin{array}{c} dot{x}=Ax Bu \ y=Cx Du end{array} right. (1-1) { x˙=Ax Buy=Cx Du(1−1) ABCD是四个矩阵， x x x为状态向量，里面包含的状态变量个数一般等于系统阶数，且相互独立。 y y y为系统输出向量。 状态变量的选取一般是： x 1 = y , x 2 = d y d t , . . . , x n = d n − 1 y d t n − 1 x_1=y, x_2=frac{dy}{dt}, …, x_n=frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} x1=y,x2=dtdy,...,xn=dtn−1dn−1y
2、系统的状态观测
设计反馈的时候需要知道系统内部的状态变量 x x x。大部分情况下 x x x是不知道的，需要用一个观测器，通过系统的输入输出，去把它观测出来。如果在状态变量 x x x中包含了系统的扰动，那么在观测出来之后，就可以在控制器中把系统扰动尽可能消除。观测出的状态变量称为 x ^ hat{x} x^。那么状态观测器的任务，就是使得 x x x的状态估计 x ^ hat{x} x^尽可能接近 x x x。通常按照copycat的思路来设计状态观测去，即设计一个相同结构的系统 x ^ ˙ = A x ^ B u L ( y − y ^ ) dot{hat{x}}=Ahat{x} Bu L(y-hat{y}) x^˙=Ax^ Bu L(y−y^)，其中 L ( y − y ^ ) L(y-hat{y}) L(y−y^)这一项是矫正项。 L L L为矫正项增益矩阵。用数学公式表达如下： { e o b s = x − x ^ x ˙ = A x B u x ^ ˙ = A x ^ B y L ( y − y ^ ) ( 1 − 2 ) left{ begin{array}{c} e_{obs}=x-hat{x}\ dot{x}=Ax Bu\ dot{hat{x}}=Ahat{x} By L(y-hat{y}) end{array} right. (1-2) ⎩⎨⎧eobs=x−x^x˙=Ax Bux^˙=Ax^ By L(y−y^) (1−2)通过数学变换，可以得到： e o b s ˙ = ( A − L C ) e o b s ( 1 − 3 ) dot{e_{obs}}=(A-LC)e_{obs} (1-3) eobs˙=(A−LC)eobs (1−3)这个方程的解是 e o b s ( t ) = e ( A − L C ) t e o b s ( 0 ) ( 1 − 4 ) e_{obs}(t)=e^{(A-LC)t}e_{obs}(0) (1-4) eobs(t)=e(A−LC)teobs(0) (1−4)可以看出，（A-LC）这一项决定了观测器的收敛速度。当 e o b s e_{obs} eobs降到 0 的时候，也就意味着 x x x和 x ^ hat{x} x^相等，同时矫正项 L ( y − y ^ ) = 0 L(y-hat{y})=0 L(y−y^)=0。这就是状态观测器的数学模型。ADRC的核心是一个扩张状态观测器，它比一般的状态观测器多了一个总扰动的项，但基础是一样的。
二、ADRC控制器的结构
1、TD（跟踪微分器)
跟踪微分器实际上就是一个事先的过渡过程。提取含有随机噪声的输入信号及其微分，这两个值将被一起送入控制器。也就是说，TD的输入信号只有一个，即给定值，输出信号有两个。这样做的目的是解决PID控制器超调和响应速度之间的矛盾。 然而，微分运算对噪声有很严重的放大效果。由于真正意义上的微分环节（ G ( s ) = s G(s)=s G(s)=s）是无法在物理上实现的，因此通常用一阶惯性环节（ G ( s ) = s T s 1 G(s)=frac{s}{Ts 1} G(s)=Ts 1s）来代替。但是对于一阶惯性环节，要想追求逼近性好，就会不可避免的引入噪声的放大。因此，为了抑制高频噪声，考虑用一个二阶环节来取代一阶环节。当二阶系统处于临界阻尼状态，则过渡过程就不会产生超调。 G ( s ) = s ( T s 1 ) 2 G(s)=frac{s}{(Ts 1)^2} G(s)=(Ts 1)2s 式中，当时间常数T很小的时候有 lim T → 0 s ( T s 1 ) 2 = s lim_{T to 0} frac{s}{(Ts 1)^2}quad=s limT→0(Ts 1)2s=s，也有微分的效果。并且这个二阶系统对于高频噪声有很高的抑制能力。因此TD中采用的通常是这种结构。过渡过程的阶数一般根据系统来决定，与系统同阶或者比系统高一阶。
2、ESO（扩张状态观测器）
ESO是ADRC控制器的核心，可以用一个扩张状态方程来描述。通过扩张状态观测的方式把系统上和输入量（u）无关的所有杂项（扰动）全部观测出来，以便用控制器去补偿这些扰动。设计ESO的思路如下： 考虑一个二阶系统： y ¨ = a y ˙ b y c u d ( 2 − 1 ) ddot{ y}=adot{y} by cu d (2-1) y¨=ay˙ by cu d (2−1) d d d为扰动。显然二阶系统的状态变量有两个， x 1 x_1 x1和 x 2 x_2 x2。一般情况下如果要写出状态方程的话应该是二阶的，即有两个状态变量。为了将扰动 d d d也纳入状态观测器，建立第三个状态变量 x 3 x_3 x3，使其等于 a y ˙ b y d adot{y} by d ay˙ by d，即上式中除了输入 u u u之外的其他项（也可称作总扰动）。令 x 3 ˙ = h dot{x_3}=h x3˙=h，那么按照一般状态方程的写法，可以列写出上面这个二阶系统的状态方程： [ x 1 ˙ x 2 ˙ x 3 ˙ ] = [ 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ] [ x 1 x 2 x 3 ] [ 0 c 0 ] u [ 0 0 1 ] h ( 2 − 2 ) begin{bmatrix} dot{x_1} \ dot{x_2} \ dot{x_3} \ end{bmatrix} =begin{bmatrix} 0&1&0 \ 0&0&1 \0&0&0 \ end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ end{bmatrix} begin{bmatrix} 0 \ c \ 0 \ end{bmatrix}u begin{bmatrix}0 \0 \ 1 \ end{bmatrix}h (2-2) ⎣⎡x1˙x2˙x3˙⎦⎤=⎣⎡000100010⎦⎤⎣⎡x1x2x3⎦⎤ ⎣⎡0c0⎦⎤u ⎣⎡001⎦⎤h (2−2)和输出方程： y = [ 1 0 0 ] [ x 1 x 2 x 3 ] ( 2 − 3 ) y= begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ end{bmatrix}begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \ end{bmatrix} (2-3) y=[100]⎣⎡x1x2x3⎦⎤ (2−3)这个状态方程即被称为扩张状态方程。扩张状态观测器的设计和传统状态观测器类似，也是 { x ^ ˙ = A x ^ B u L ( y − y ^ ) E h y ^ = C x ^ ( 2 − 4 ) left{ begin{array}{c} dot{hat{x}}=Ahat{x} Bu L(y-hat{y}) Eh\ hat{y}=Chat{x} end{array} right. (2-4) { x^˙=Ax^ Bu L(y−y^) Ehy^=Cx^ (2−4)其中 E h Eh Eh这一项和模型有关，大部分情况下是未知的，因此通常这一项被直接忽略,不然放着也没用。由于有了矫正项 L ( y − y ^ ) L(y-hat{y}) L(y−y^) ( L (L (L状是态观测器的增益矩阵，记为 [ l 1 l 2 l 3 ] begin{bmatrix} l_1\ l_2 \ l_3\ end{bmatrix} ⎣⎡l1l2l3⎦⎤)，因此观测器中的矩阵A、B、C、D（为了区分记为 A 1 、 B 1 、 C 1 、 D 1 A_1、B_1、C_1、D_1 A1、B1、C1、D1）和状态方程中的矩阵A、B、C、D是不一样的。
通过一定的数学变换，状态观测器方程(2-4)可化为如下形式： x ^ ˙ = ( A − L C 1 ) x ^ [ B L ] [ u y ] dot{hat{x}}=(A-LC_1)hat{x} begin{bmatrix} B&L \ end{bmatrix}begin{bmatrix} u\y \ end{bmatrix} x^˙=(A−LC1)x^ [BL][uy]观测器中的系统矩阵 A 1 = A − L C 1 A_1=A-LC_1 A1=A−LC1，即 A 1 = [ − l 1 1 0 − l 2 0 1 − l 3 0 0 ] A_1=begin{bmatrix} -l_1&1&0 \ -l_2&0&1 \-l_3&0&0 \ end{bmatrix} A1=⎣⎡−l1−l2−l3100010⎦⎤，而新的输入矩阵； B 1 = [ B L ] B_1=begin{bmatrix} B&L \ end{bmatrix} B1=[BL]，即 B 1 = [ 0 − l 1 c − l 2 0 − l 3 ] B_1=begin{bmatrix}0& -l_1 \ c&-l_2 \0&-l_3 \ end{bmatrix} B1=⎣⎡0c0−l1−l2−l3⎦⎤为新的控制矩阵（ c c c是原二阶系统中输入 u u u的系数）， [ u y ] begin{bmatrix} u\y \ end{bmatrix} [uy]两个一起作为观测器输入；状态观测器的输出 y ^ hat{y} y^实际上包含3个分量，即 y ^ = C 1 [ x 1 ^ x 2 ^ x 3 ^ ] hat{y}=C_1begin{bmatrix} hat{x_1} \ hat{x_2} \ hat{x_3} \ end{bmatrix} y^=C1⎣⎡x1^x2^x3^⎦⎤那么在观测器的输出方程中， C 1 C_1 C1就是一个三阶单位矩阵，因为 y ^ = x ^ hat{y}=hat{x} y^=x^； D 1 D_1 D1是零矩阵。 为了让观测器系统稳定，需要进行极点配置。假设让这个三阶的状态观测器的三个极点全部位于左半平面的 − ω 0 -ω_0 −ω0处，则增益 L L L就需要特别设计。令 A 1 A_1 A1的特征值 = − ω 0 -ω_0 −ω0，可解得 l 1 = 3 ω 0 ， l 2 = 3 ω 0 2 ， l 3 = ω 0 2 l_1=3omega_0，l_2=3omega_0^2，l_3=omega_0^2 l1=3ω0，l2=3ω02，l3=ω02。 ω 0 ω_0 ω0即是观测器的带宽，应当根据实际系统来设计。如果带宽选择过小，可能会导致扩张状态 x 3 x_3 x3的观测 x 3 ^ hat{x_3} x3^的跟随性变差，带宽选择过大的话有可能会引入额外的噪声。 u u u的系数 c c c在设计的时候有可能是不知道的，但是仿真表明 c c c的选择即使跟真实的系统有偏差，ESO也能正常工作（但这一点目前尚无严格的理论证明）。至此，扩张状态观测器设计完成！！
3、NLSEF（控制器）
ADRC的控制器部分的输入包含两个部分，分别是TD的输出结果（输入信号及其微分）和ESO的输出（包含三个元素的状态向量 y ^ hat{y} y^）。因此它就有5个输入量。其中 y ^ hat{y} y^的第三个分量 x 3 ^ hat{x_3} x3^的作用，是通过观测，将复杂系统转化为纯积分器，简化控制。 依然是这个二阶系统 y ¨ = a y ˙ b y c u d ddot{ y}=adot{y} by cu d y¨=ay˙ by cu d扩张状态 x 3 = a y ˙ b y d x_3=adot{y} by d x3=ay˙ by d。假设状态观测器工作顺利， x 3 x_3 x3的观测值 x 3 ^ hat{x_3} x3^就等于真实的 x 3 x_3 x3，即满足 x 3 = x 3 ^ x_3=hat{x_3} x3=x3^那么将系统的输入，也即控制器的输出 u u u设计为 u = u 0 − x 3 ^ c u=frac{u_0-hat{x_3}}{c} u=cu0−x3^带入上面的二阶系统，可以得到 y ¨ = u 0 ddot{y}=u_0 y¨=u0即一个二阶积分器。设计一个PD控制器来控制 u 0 u_0 u0：(一般稳态的时候给定的目标值（reference）都是恒定的，即 r ˙ = 0 dot{r}=0 r˙=0， r ¨ ddot{r} r¨为前馈项，用于去除稳态误差。但很多时候都是把它忽略的，加上这一项之后有可能会影响响应速度) u 0 = K p ( r − x 1 ) K d ( r ˙ − x 2 ) r ¨ u_0=K_p(r-x_1) K_d(dot{r}-x_2) ddot{r} u0=Kp(r−x1) Kd(r˙−x2) r¨同样按照极点配置的方法，可得到 K p = ω c 2 K_p=ω_c^2 Kp=ωc2， K = 2 ω c K_=2ω_c K=2ωc。如此，控制器传递函数中阻尼系数 ξ = 1 ξ=1 ξ=1，处于临界阻尼，系统无超调。当然 K p 、 K d K_p、K_d Kp、Kd设计的方法很多，可以综合超调和响应速度来调节。
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