1. 为什么会出现平衡二叉树这种数据结构？
之前学习了二叉排序树，假如现有数列：1,2,3,4,5，要用这个数列创建一棵二叉排序树，结果是这样的：
二叉排序树
看起来就怪怪的，其实就是斜着放的单链表。这棵树存在以下问题：
- 左子树全部为空，其实就是一个单链表；
- 其实查询比单链表更慢，因为在检索的时候要判断左子树是否为空，因为不能发挥二叉排序树的优势。
为了解决上面的问题，平衡二叉树(AVL树)就应运而生了。
2. 什么是平衡二叉树？
- 平衡二叉树又叫AVL树，也叫平衡二叉搜索树，可以保证较高的查询效率；
- 它是一棵空树，或者是左右子树的高度差的绝对值不会超过1，并且左右两棵子树都是一棵平衡二叉树；
- 平衡二叉树常用的实现算法有红黑树，AVL，替罪羊树，Treap，伸展树等；
3. 如何创建平衡二叉树？
(1). 左旋转思路：
假如现有数列：4,3,6,5,7,8，创建出来的二叉树排序数如下图：
二叉排序树
节点4的左子树高度为1，右子树高度为3，高度差是2，所以不是平衡二叉树。如果要将其变成平衡二叉树该怎么做呢？因为其右子树的高度更高，要分点儿给左子树，所以方法叫做左旋转。具体步骤如下：
- 创建一个新节点newNode，值为根节点的值，即：
Node newNode = new Node(4)； - 当前节点currentNode(节点4)的左子树(节点3)作为新节点的左子树，即：
newNode.left = currentNode.left； - 当前节点(节点4)的右子树(节点6)的左子树(节点5)作为新节点的右子树，即：
newNode.right = currentNode.right.left； - 把当前节点(节点4)的值换成右子节点(节点6)的值，即现在二叉树的效果如下：
二叉树
- 当前节点的右子树(节点6)的右子树(节点7)作为当前节点的右子树，即：
currentNode.right = currentNode.right.right，设置完后效果如下：
二叉树
- 最后一步，新节点作为当前节点的左子树，即：
currentNode.left = newNode，最后效果如下：
平衡二叉树
(2). 右旋转：
过程和左旋转类似，只不过是将左旋转步骤中的左右颠倒一下。
- 创建新节点，值为当前根节点的值；
- 当前节点的右子树作为新节点的右子树；
- 当前节点左子树的右子树作为新节点的左子树；
- 把当前节点的值换成左子节点的值；
- 当前节点的左子树的左子树作为当前节点的左子树；
- 新节点作为当前节点的右子树。
(3). 代码实现左/右旋转：
首先创建如下的AVL树类：
代码语言：javascript复制public class AvlTree {
// 根节点
private Node root;
/**
* 给外部调用的添加节点的方法
*
* @param value
*/
public void add(int value) {
add(new Node(value));
}
/**
* 添加节点
*
* @param node
*/
public void add(Node node) {
if (root == null) {
root = node;
} else {
root.add(node);
}
}
/**
* 中序遍历
*/
public void infixOrder() {
if (root != null) {
root.infixOrder();
} else {
throw new IllegalArgumentException("二叉排序树为空");
}
}
/**
* 节点类
*
* @author zhu
*
*/
class Node {
int value;
Node left;
Node right;
public Node(int value) {
this.value = value;
}
/**
* 添加节点
*
* @param node
*/
public void add(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
// 如果传入的节点值比当前节点值小
if (node.value < this.value) {
// 如果当前节点左边没有节点
if (this.left == null) {
// 就把node挂在当前节点左边
this.left = node;
} else {
// 当前节点左边有节点，那就递归
this.left.add(node);
}
} else { // 往右边添加
if (this.right == null) {
// 就把node挂在当前节点右边
this.right = node;
} else {
// 当前节点右边有节点，那就递归
this.right.add(node);
}
}
}
/**
* 中序遍历
*/
public void infixOrder() {
// 往左递归
if (this.left != null) {
this.left.infixOrder();
}
// 输出当前节点
System.out.println(this.value);
// 向右递归
if (this.right != null) {
this.right.infixOrder();
}
}
}
public Node getRoot() {
return root;
}
public void setRoot(Node root) {
this.root = root;
}
}目前这棵树只有最基本的添加节点和中序遍历的方法。因为是否要进行旋转，需要根据树的高度来进行判断，所以在Node内部类中新增如下方法，用来获取树的高度：
代码语言：javascript复制/**
* 返回以当前节点为根节点的树的高度
*
* @return
*/
public int height() {
// 左右子树不为空的时候就递归，直到它为空为止，然后取左右子树中高度较大的值作为树的高度，最后加1是自身也算一个高度
return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) 1;
}
/**
* 返回当前节点左子树的高度
*
* @return
*/
public int leftHeight() {
return left == null ? 0 : left.height();
}
/**
* 返回当前节点右子树的高度
*
* @return
*/
public int rightHeight() {
return right == null ? 0 : right.height();
}接下来测试一下获取树的高度的代码是否正确：
代码语言：javascript复制public static void main(String[] args) {
int[] arr = {4,3,6,5,7,8};
// int[] arr = {10,12,8,9,7,6}; // 需要右旋转的树
AvlTree avlTree = new AvlTree();
for (int i=0; i<arr.length; i ) {
avlTree.add(arr[i]);
}
System.out.printf("树的高度：%srn" ,avlTree.getRoot().height());
System.out.printf("根节点左子树的高度：%srn", avlTree.getRoot().leftHeight());
System.out.printf("根节点右子树的高度：%srn", avlTree.getRoot().rightHeight());
}如果正常的话，会打印出：
代码语言：javascript复制树的高度：4
根节点左子树的高度：1
根节点右子树的高度：3接下来，就按照上面左/右旋转的步骤，在Node内部类中写两个方法就好了，如下：
代码语言：javascript复制/**
* 左旋转
*/
public void leftRotate() {
// 1. 创建新节点，值为当前节点的值
Node newNode = new Node(value);
// 2. 当前节点左子树作为新节点的左子树
newNode.left = left;
// 3. 当前节点的右子树的左子树作为新节点的右子树
newNode.right = right.left;
// 4. 把当前节点的值换成右子节点的值
value = right.value;
// 5. 当前节点的右子树的右子树作为当前节点的右子树
right = right.right;
// 6. 新节点作为当前节点的左子树
left = newNode;
}
/**
* 右旋转，和左旋转对称
*/
public void rightRotate() {
Node newNode = new Node(value);
newNode.right = right;
newNode.left = left.right;
value = left.value;
left = left.left;
right = newNode;
}写好之后怎么用呢？在Node内部类中的add方法中，每添加完一个节点，就判断一下是否需要进行左右旋转，如果需要，就调用左右旋转的方法，如下：
代码语言：javascript复制public void add(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
// 如果传入的节点值比当前节点值小
if (node.value < this.value) {
// 如果当前节点左边没有节点
if (this.left == null) {
// 就把node挂在当前节点左边
this.left = node;
} else {
// 当前节点左边有节点，那就递归
this.left.add(node);
}
} else { // 往右边添加
if (this.right == null) {
// 就把node挂在当前节点右边
this.right = node;
} else {
// 当前节点右边有节点，那就递归
this.right.add(node);
}
}
// 添加完一个节点后，如果(右子树高度 - 左子树高度) > 1，左旋转
if (rightHeight() - leftHeight() > 1) {
leftRotate();
}
// 添加完一个节点后，如果(左子树高度 - 右子树高度) > 1，右旋转
if (leftHeight() - rightHeight() > 1) {
rightRotate();
}
}这样每次添加一个节点后，都会判断是否需要旋转。同样是刚才测试的代码，再次运行，就会发现树的高度、左右子树的高度都发生变化了。
(4). 双旋转：
假如现有数列：10,11,7,6,8,9，用上面的测试代码跑一下，发现结果如下：
树的高度：4
根节点左子树的高度：1
根节点右子树的高度：3没错，即使进行了左右旋转，它仍然不是平衡二叉树。这种情况，需要进行双旋转。怎么进行双旋转呢？
就是当进行右旋转的时候，进行如下操作：
- 如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的左子树的高度，就先对它的左节点进行左旋转；
当进行左旋转的时候，进行如下操作：
- 如果它的右子树的左子树高度大于它的右子树的右子树的高度，就先对它的右节点进行右旋转；
代码就是在刚才add方法中加的两个if中再加一层判断，如下：
代码语言：javascript复制// 添加完一个节点后，如果(右子树高度 - 左子树高度) > 1，左旋转
if (rightHeight() - leftHeight() > 1) {
if (right != null && right.leftHeight() > right.rightHeight()) {
right.rightRotate();
}
leftRotate();
return;
}
// 添加完一个节点后，如果(左子树高度 - 右子树高度) > 1，右旋转
if (leftHeight() - rightHeight() > 1) {
if (left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()) {
left.leftRotate();
}
rightRotate();
}加上这段逻辑，数列10,11,7,6,8,9形成的二叉树也是平衡的了。
