我们今天讲另外一种特殊的树，“堆”（Heap）。堆这种数据结构的应用场景非常多，最经典的莫过于堆排序了。堆排序是一种原地的、时间复杂度为
的排序算法。
前面我们学过快速排序，平均情况下，它的时间复杂度为
。尽管这两种排序算法的时间复杂度都是
，甚至堆排序比快速排序的时间复杂度还要稳定，但是，在实际的软件开发中，快速排序的性能要比堆排序好，这是为什么呢？
现在，你可能还无法回答，甚至对问题本身还有点疑惑。没关系，带着这个问题，我们来学习今天的内容。等你学完之后，或许就能回答出来了。如何理解“堆”？
如何理解“堆”？
前面我们提到，堆是一种特殊的树。我们现在就来看看，什么样的树才是堆。我罗列了两点要求，只要满足这两点，它就是一个堆。
- 堆是一个完全二叉树；
- 堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。
我分别解释一下这两点。
第一点，堆必须是一个完全二叉树。还记得我们之前讲的完全二叉树的定义吗？完全二叉树要求，除了最后一层，其他层的节点个数都是满的，最后一层的节点都靠左排列。
第二点，堆中的每个节点的值必须大于等于（或者小于等于）其子树中每个节点的值。实际上，我们还可以换一种说法，堆中每个节点的值都大于等于（或者小于等于）其左右子节点的值。这两种表述是等价的。
对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做“大顶堆”。对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫做“小顶堆”。
如何实现一个堆？
要实现一个堆，我们先要知道，堆都支持哪些操作以及如何存储一个堆。
我之前讲过，完全二叉树比较适合用数组来存储。用数组来存储完全二叉树是非常节省存储空间的。因为我们不需要存储左右子节点的指针，单纯地通过数组的下标，就可以找到一个节点的左右子节点和父节点。
我画了一个用数组存储堆的例子，你可以先看下。
从图中我们可以看到，数组中下标为 i 的节点的左子节点，就是下标为 i∗2 的节点，右子节点就是下标为 i∗2 1 的节点，父节点就是下标为
的节点。
知道了如何存储一个堆，那我们再来看看，堆上的操作有哪些呢？我罗列了几个非常核心的操作，分别是往堆中插入一个元素和删除堆顶元素。（如果没有特殊说明，我下面都是拿大顶堆来讲解）。
1. 往堆中插入一个元素
往堆中插入一个元素后，我们需要继续满足堆的两个特性。
如果我们把新插入的元素放到堆的最后，你可以看我画的这个图，是不是不符合堆的特性了？于是，我们就需要进行调整，让其重新满足堆的特性，这个过程我们起了一个名字，就叫做堆化（heapify）。
堆化实际上有两种，从下往上和从上往下。这里我先讲从下往上的堆化方法。
堆化非常简单，就是顺着节点所在的路径，向上或者向下，对比，然后交换。
我这里画了一张堆化的过程分解图。我们可以让新插入的节点与父节点对比大小。如果不满足子节点小于等于父节点的大小关系，我们就互换两个节点。一直重复这个过程，直到父子节点之间满足刚说的那种大小关系。
我将上面讲的往堆中插入数据的过程，翻译成了代码，你可以结合着一块看。
代码语言：javascript复制public void insert(int data) {
if (this.count < this.getLength()) {
this.arr[ this.count] = data;
int i = this.count;
while (i / 2 > 0 && arr[i / 2] < arr[i]) {
// 自下往上堆化
this.swap(i / 2, i);
i /= 2;
}
}
}2. 删除堆顶元素
从堆的定义的第二条中，任何节点的值都大于等于（或小于等于）子树节点的值，我们可以发现，堆顶元素存储的就是堆中数据的最大值或者最小值。
假设我们构造的是大顶堆，堆顶元素就是最大的元素。当我们删除堆顶元素之后，就需要把第二大的元素放到堆顶，那第二大元素肯定会出现在左右子节点中。然后我们再迭代地删除第二大节点，以此类推，直到叶子节点被删除。
这里我也画了一个分解图。不过这种方法有点问题，就是最后堆化出来的堆并不满足完全二叉树的特性。
实际上，我们稍微改变一下思路，就可以解决这个问题。你看我画的下面这幅图。我们把最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比方法。对于不满足父子节点大小关系的，互换两个节点，并且重复进行这个过程，直到父子节点之间满足大小关系为止。这就是从上往下的堆化方法。
因为我们移除的是数组中的最后一个元素，而在堆化的过程中，都是交换操作，不会出现数组中的“空洞”，所以这种方法堆化之后的结果，肯定满足完全二叉树的特性。
我把上面的删除过程同样也翻译成了代码，贴在这里，你可以结合着看。
代码语言：javascript复制public void removeMax() {
if (this.count > 0) {
// 最后一位覆盖顶部
this.arr[1] = this.arr[this.count];
this.arr[this.count] = null;
this.count--;
heapify(1, this.count);
}
}
/**
* 对下标为 i 进行从上到下堆化，范围为到 n
*
* @param i
* 指定下标
* @param n
* 范围
*/
private void heapify(int i, int n) {
while (true) {
int maxPosi = i;
maxPosi = (i * 2 <= n && this.arr[maxPosi] < this.arr[i * 2]) ? i * 2
: maxPosi;
maxPosi = (i * 2 1 <= n && this.arr[maxPosi] < this.arr[i * 2 1]) ? i * 2 1
: maxPosi;
if (i == maxPosi) {
break;
}
this.swap(maxPosi, i);
i = maxPosi;
}
}我们知道，一个包含 n 个节点的完全二叉树，树的高度不会超过 log2n。堆化的过程是顺着节点所在路径比较交换的，所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比，也就是 O(logn)。插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化，所以，往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是 O(logn)。
如何基于堆实现排序？
前面我们讲过好几种排序算法，我们再来回忆一下，有时间复杂度是 O(n2) 的冒泡排序、插入排序、选择排序，有时间复杂度是 O(nlogn) 的归并排序、快速排序，还有线性排序。
这里我们借助于堆这种数据结构实现的排序算法，就叫做堆排序。这种排序方法的时间复杂度非常稳定，是 O(nlogn)，并且它还是原地排序算法。如此优秀，它是怎么做到的呢？
我们可以把堆排序的过程大致分解成两个大的步骤，建堆和排序。
- 建堆
我们首先将数组原地建成一个堆。所谓“原地”就是，不借助另一个数组，就在原数组上操作。建堆的过程，有两种思路。
第一种是借助我们前面讲的，在堆中插入一个元素的思路。尽管数组中包含 n 个数据，但是我们可以假设，起初堆中只包含一个数据，就是下标为 1 的数据。然后，我们调用前面讲的插入操作，将下标从 2 到 n 的数据依次插入到堆中。这样我们就将包含 n 个数据的数组，组织成了堆。
第二种实现思路，跟第一种截然相反，也是我这里要详细讲的。第一种建堆思路的处理过程是从前往后处理数组数据，并且每个数据插入堆中时，都是从下往上堆化。而第二种实现思路，是从后往前处理数组，并且每个数据都是从上往下堆化。
我举了一个例子，并且画了一个第二种实现思路的建堆分解步骤图，你可以看下。因为叶子节点往下堆化只能自己跟自己比较，所以我们直接从最后一个非叶子节点开始，依次堆化就行了。
代码语言：javascript复制private void buildHeap(int n) {
// 每个数据从上到下的堆化
for (int i = n / 2; i > 0; i--) {
this.heapify(i, n);
}
}2. 排序
建堆结束之后，数组中的数据已经是按照大顶堆的特性来组织的。数组中的第一个元素就是堆顶，也就是最大的元素。我们把它跟最后一个元素交换，那最大元素就放到了下标为 n 的位置。
这个过程有点类似上面讲的“删除堆顶元素”的操作，当堆顶元素移除之后，我们把下标为 n 的元素放到堆顶，然后再通过堆化的方法，将剩下的 n−1 个元素重新构建成堆。堆化完成之后，我们再取堆顶的元素，放到下标是 n−1 的位置，一直重复这个过程，直到最后堆中只剩下标为 1 的一个元素，排序工作就完成了。
堆排序的过程，我也翻译成了代码。结合着代码看，你理解起来应该会更加容易。
代码语言：javascript复制public void sort() {
// i 表示要进行排序的数据个数
int i = this.count;
this.buildHeap(i);
while (i > 1) {
// 交换位置
this.swap(1, i);
i--;
// 完成堆化 和 顶部元素为最大
this.heapify(1, i);
}
}内容小结
今天我们讲了堆这种数据结构。堆是一种完全二叉树。它最大的特性是：每个节点的值都大于等于（或小于等于）其子树节点的值。因此，堆被分成了两类，大顶堆和小顶堆。
堆中比较重要的两个操作是插入一个数据和删除堆顶元素。这两个操作都要用到堆化。插入一个数据的时候，我们把新插入的数据放到数组的最后，然后从下往上堆化；删除堆顶数据的时候，我们把数组中的最后一个元素放到堆顶，然后从上往下堆化。这两个操作时间复杂度都是 O(logn)。
除此之外，我们还讲了堆的一个经典应用，堆排序。堆排序包含两个过程，建堆和排序。我们将下标从 n/2 到 1 的节点，依次进行从上到下的堆化操作，然后就可以将数组中的数据组织成堆这种数据结构。接下来，我们迭代地将堆顶的元素放到堆的末尾，并将堆的大小减一，然后再堆化，重复这个过程，直到堆中只剩下一个元素，整个数组中的数据就都有序排列了。
我的代码
https://gitee.com/kaiLee/struct/tree/master/src/main/java/com/s11/heap
参考
28 | 堆和堆排序：为什么说堆排序没有快速排序快？ https://time.geekbang.org/column/article/69913
