大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。
关键字：概念, 前缀表达式, 前缀记法, 中缀表达式, 中缀记法, 波兰式, 后缀表达式, 后缀记法, 逆波兰式
它们都是对表达式的记法，因此也被称为前缀记法、中缀记法和后缀记法。它们之间的区别在于运算符相对与操作数的位置不同：前缀表达式的运算符位于与其相关的操作数之前；中缀和后缀同理。
举例： (3 4) × 5 – 6 就是中缀表达式 – × 3 4 5 6 前缀表达式 3 4 5 × 6 – 后缀表达式
中缀表达式（中缀记法） 中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。 虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的，因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。
前缀表达式（前缀记法、波兰式） 前缀表达式的运算符位于操作数之前。
前缀表达式的计算机求值： 从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。 例如前缀表达式“- × 3 4 5 6”： (1) 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈； (2) 遇到 运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3 4的值，得7，再将7入栈； (3) 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈； (4) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。 可以看出，用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。
将中缀表达式转换为前缀表达式： 遵循以下步骤： (1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2； (2) 从右至左扫描中缀表达式； (3) 遇到操作数时，将其压入S2； (4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级： (4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈； (4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1； (4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较； (5) 遇到括号时： (5-1) 如果是右括号“)”，则直接压入S1； (5-2) 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃； (6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边； (7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2； (8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。 例如，将中缀表达式“1 ((2 3)×4)-5”转换为前缀表达式的过程如下：
扫描到的元素 | S2(栈底->栈顶) | S1 (栈底->栈顶) | 说明 |
|---|---|---|---|
5 | 5 | 空 | 数字，直接入栈 |
– | 5 | – | S1为空，运算符直接入栈 |
) | 5 | – ) | 右括号直接入栈 |
4 | 5 4 | – ) | 数字直接入栈 |
× | 5 4 | – ) × | S1栈顶是右括号，直接入栈 |
) | 5 4 | – ) × ) | 右括号直接入栈 |
3 | 5 4 3 | – ) × ) | 数字 |
| 5 4 3 | – ) × ) | S1栈顶是右括号，直接入栈 |
2 | 5 4 3 2 | – ) × ) | 数字 |
( | 5 4 3 2 | – ) × | 左括号，弹出运算符直至遇到右括号 |
( | 5 4 3 2 × | – | 同上 |
| 5 4 3 2 × | – | 优先级与-相同，入栈 |
1 | 5 4 3 2 × 1 | – | 数字 |
到达最左端 | 5 4 3 2 × 1 – | 空 | S1中剩余的运算符 |
因此结果为“- 1 × 2 3 4 5”。
后缀表达式（后缀记法、逆波兰式）
后缀表达式与前缀表达式类似，只是运算符位于操作数之后。
后缀表达式的计算机求值： 与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右： 从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。 例如后缀表达式“3 4 5 × 6 -”： (1) 从左至右扫描，将3和4压入堆栈； (2) 遇到 运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3 4的值，得7，再将7入栈； (3) 将5入栈； (4) 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈； (5) 将6入栈； (6) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
将中缀表达式转换为后缀表达式： 与转换为前缀表达式相似，遵循以下步骤： (1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2； (2) 从左至右扫描中缀表达式； (3) 遇到操作数时，将其压入S2； (4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级： (4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈； (4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）； (4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较； (5) 遇到括号时： (5-1) 如果是左括号“(”，则直接压入S1； (5-2) 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃； (6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边； (7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2； (8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。 例如，将中缀表达式“1 ((2 3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：
扫描到的元素 | S2(栈底->栈顶) | S1 (栈底->栈顶) | 说明 |
|---|---|---|---|
1 | 1 | 空 | 数字，直接入栈 |
| 1 |
| S1为空，运算符直接入栈 |
( | 1 | ( | 左括号，直接入栈 |
( | 1 | ( ( | 同上 |
2 | 1 2 | ( ( | 数字 |
| 1 2 | ( ( | S1栈顶为左括号，运算符直接入栈 |
3 | 1 2 3 | ( ( | 数字 |
) | 1 2 3 | ( | 右括号，弹出运算符直至遇到左括号 |
× | 1 2 3 | ( × | S1栈顶为左括号，运算符直接入栈 |
4 | 1 2 3 4 | ( × | 数字 |
) | 1 2 3 4 × |
| 右括号，弹出运算符直至遇到左括号 |
– | 1 2 3 4 × | – | -与 优先级相同，因此弹出 ，再压入- |
5 | 1 2 3 4 × 5 | – | 数字 |
到达最右端 | 1 2 3 4 × 5 – | 空 | S1中剩余的运算符 |
因此结果为“1 2 3 4 × 5 -”（注意需要逆序输出）。
编写Java程序将一个中缀表达式转换为前缀表达式和后缀表达式，并计算表达式的值。其中的toPolishNotation()方法将中缀表达式转换为前缀表达式（波兰式）、toReversePolishNotation()方法则用于将中缀表达式转换为后缀表达式（逆波兰式）：
注： (1) 程序很长且注释比较少，但如果将上面的理论内容弄懂之后再将程序编译并运行起来，还是比较容易理解的。有耐心的话可以研究一下。(2) 此程序是笔者为了说明上述概念而编写，仅做了简单的测试，不保证其中没有Bug，因此不要将其用于除研究之外的其他场合。
代码语言：javascript复制package qmk.simple_test;
import java.util.Scanner;
import java.util.Stack;
/**
* Example of converting an infix-expression to
* Polish Notation (PN) or Reverse Polish Notation (RPN).
* Written in 2011-8-25
* @author QiaoMingkui
*/
public class Calculator {
public static final String USAGE = "== usage ==n"
"input the expressions, and then the program "
"will calculate them and show the result.n"
"input 'bye' to exit.n";
/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
System.out.println(USAGE);
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
String input = "";
final String CLOSE_MARK = "bye";
System.out.println("input an expression:");
input = scanner.nextLine();
while (input.length() != 0
&& !CLOSE_MARK.equals((input))) {
System.out.print("Polish Notation (PN):");
try {
toPolishNotation(input);
} catch (NumberFormatException e) {
System.out.println("ninput error, not a number.");
} catch (IllegalArgumentException e) {
System.out.println("ninput error:" e.getMessage());
} catch (Exception e) {
System.out.println("ninput error, invalid expression.");
}
System.out.print("Reverse Polish Notation (RPN):");
try {
toReversePolishNotation(input);
} catch (NumberFormatException e) {
System.out.println("ninput error, not a number.");
} catch (IllegalArgumentException e) {
System.out.println("ninput error:" e.getMessage());
} catch (Exception e) {
System.out.println("ninput error, invalid expression.");
}
System.out.println("input a new expression:");
input = scanner.nextLine();
}
System.out.println("program exits");
}
/**
* parse the expression , and calculate it.
* @param input
* @throws IllegalArgumentException
* @throws NumberFormatException
*/
private static void toPolishNotation(String input)
throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {
int len = input.length();
char c, tempChar;
Stack<Character> s1 = new Stack<Character>();
Stack<Double> s2 = new Stack<Double>();
Stack<Object> expression = new Stack<Object>();
double number;
int lastIndex = -1;
for (int i=len-1; i>=0; --i) {
c = input.charAt(i);
if (Character.isDigit(c)) {
lastIndex = readDoubleReverse(input, i);
number = Double.parseDouble(input.substring(lastIndex, i 1));
s2.push(number);
i = lastIndex;
if ((int) number == number)
expression.push((int) number);
else
expression.push(number);
} else if (isOperator(c)) {
while (!s1.isEmpty()
&& s1.peek() != ')'
&& priorityCompare(c, s1.peek()) < 0) {
expression.push(s1.peek());
s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), s1.pop()));
}
s1.push(c);
} else if (c == ')') {
s1.push(c);
} else if (c == '(') {
while ((tempChar=s1.pop()) != ')') {
expression.push(tempChar);
s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar));
if (s1.isEmpty()) {
throw new IllegalArgumentException(
"bracket dosen't match, missing right bracket ')'.");
}
}
} else if (c == ' ') {
// ignore
} else {
throw new IllegalArgumentException(
"wrong character '" c "'");
}
}
while (!s1.isEmpty()) {
tempChar = s1.pop();
expression.push(tempChar);
s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar));
}
while (!expression.isEmpty()) {
System.out.print(expression.pop() " ");
}
double result = s2.pop();
if (!s2.isEmpty())
throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression.");
System.out.println();
if ((int) result == result)
System.out.println("the result is " (int) result);
else
System.out.println("the result is " result);
}
/**
* parse the expression, and calculate it.
* @param input
* @throws IllegalArgumentException
* @throws NumberFormatException
*/
private static void toReversePolishNotation(String input)
throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {
int len = input.length();
char c, tempChar;
Stack<Character> s1 = new Stack<Character>();
Stack<Double> s2 = new Stack<Double>();
double number;
int lastIndex = -1;
for (int i=0; i<len; i) {
c = input.charAt(i);
if (Character.isDigit(c) || c == '.') {
lastIndex = readDouble(input, i);
number = Double.parseDouble(input.substring(i, lastIndex));
s2.push(number);
i = lastIndex - 1;
if ((int) number == number)
System.out.print((int) number " ");
else
System.out.print(number " ");
} else if (isOperator(c)) {
while (!s1.isEmpty()
&& s1.peek() != '('
&& priorityCompare(c, s1.peek()) <= 0) {
System.out.print(s1.peek() " ");
double num1 = s2.pop();
double num2 = s2.pop();
s2.push(calc(num2, num1, s1.pop()));
}
s1.push(c);
} else if (c == '(') {
s1.push(c);
} else if (c == ')') {
while ((tempChar=s1.pop()) != '(') {
System.out.print(tempChar " ");
double num1 = s2.pop();
double num2 = s2.pop();
s2.push(calc(num2, num1, tempChar));
if (s1.isEmpty()) {
throw new IllegalArgumentException(
"bracket dosen't match, missing left bracket '('.");
}
}
} else if (c == ' ') {
// ignore
} else {
throw new IllegalArgumentException(
"wrong character '" c "'");
}
}
while (!s1.isEmpty()) {
tempChar = s1.pop();
System.out.print(tempChar " ");
double num1 = s2.pop();
double num2 = s2.pop();
s2.push(calc(num2, num1, tempChar));
}
double result = s2.pop();
if (!s2.isEmpty())
throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression.");
System.out.println();
if ((int) result == result)
System.out.println("the result is " (int) result);
else
System.out.println("the result is " result);
}
/**
* calculate the two number with the operation.
* @param num1
* @param num2
* @param op
* @return
* @throws IllegalArgumentException
*/
private static double calc(double num1, double num2, char op)
throws IllegalArgumentException {
switch (op) {
case ' ':
return num1 num2;
case '-':
return num1 - num2;
case '*':
return num1 * num2;
case '/':
if (num2 == 0) throw new IllegalArgumentException("divisor can't be 0.");
return num1 / num2;
default:
return 0; // will never catch up here
}
}
/**
* compare the two operations' priority.
* @param c
* @param peek
* @return
*/
private static int priorityCompare(char op1, char op2) {
switch (op1) {
case ' ': case '-':
return (op2 == '*' || op2 == '/' ? -1 : 0);
case '*': case '/':
return (op2 == ' ' || op2 == '-' ? 1 : 0);
}
return 1;
}
/**
* read the next number (reverse)
* @param input
* @param start
* @return
* @throws IllegalArgumentException
*/
private static int readDoubleReverse(String input, int start)
throws IllegalArgumentException {
int dotIndex = -1;
char c;
for (int i=start; i>=0; --i) {
c = input.charAt(i);
if (c == '.') {
if (dotIndex != -1)
throw new IllegalArgumentException(
"there have more than 1 dots in the number.");
else
dotIndex = i;
} else if (!Character.isDigit(c)) {
return i 1;
} else if (i == 0) {
return 0;
}
}
throw new IllegalArgumentException("not a number.");
}
/**
* read the next number
* @param input
* @param start
* @return
* @throws IllegalArgumentException
*/
private static int readDouble(String input, int start)
throws IllegalArgumentException {
int len = input.length();
int dotIndex = -1;
char c;
for (int i=start; i<len; i) {
c = input.charAt(i);
if (c == '.') {
if (dotIndex != -1)
throw new IllegalArgumentException(
"there have more than 1 dots in the number.");
else if (i == len - 1)
throw new IllegalArgumentException(
"not a number, dot can't be the last part of a number.");
else
dotIndex = i;
} else if (!Character.isDigit(c)) {
if (dotIndex == -1 || i - dotIndex > 1)
return i;
else
throw new IllegalArgumentException(
"not a number, dot can't be the last part of a number.");
} else if (i == len - 1) {
return len;
}
}
throw new IllegalArgumentException("not a number.");
}
/**
* return true if the character is an operator.
* @param c
* @return
*/
private static boolean isOperator(char c) {
return (c==' ' || c=='-' || c=='*' || c=='/');
}
}下面是程序运行结果（绿色为用户输入）：
== usage ==
input the expressions, and then the program will calculate them and show the result.
input ‘bye’ to exit.
input an expression:
3.8 5.3
Polish Notation (PN): 3.8 5.3
the result is 9.1
Reverse Polish Notation (RPN):3.8 5.3
the result is 9.1
input a new expression:
5*(9.1 3.2)/(1-5 4.88)
Polish Notation (PN):/ * 5 9.1 3.2 – 1 5 4.88
the result is 69.88636363636364
Reverse Polish Notation (RPN):5 9.1 3.2 * 1 5 – 4.88 /
the result is 69.88636363636364
input a new expression:
1 ((2 3)*4)-5
Polish Notation (PN):- 1 * 2 3 4 5
the result is 16
Reverse Polish Notation (RPN):1 2 3 4 * 5 –
the result is 16
input a new expression:
bye
program exits
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