尽管表面拉普拉斯算法可能抵消的容积传导和对表面电位数据记录参考的不利影响，电生理学学科一直不愿采用这种方法进行数据分析。这种顾虑的原因是多方面的，往往涉及到对潜在转换性质的不熟悉、感知到的数学复杂性的威胁，以及对信号损失、密集电极排列需求或噪声敏感性的担忧。我们回顾了容积传导和允许任意选择脑电参考所引起的缺陷，以一种直观的方式描述了表面拉普拉斯变换的基本原理，并举例说明了常见参考模式（鼻子、连接乳突、平均）和用于频繁测量的EEG频谱（theta， alpha）以及标准ERP成分（如N1或P3）的表面拉普拉斯转换之间的差异。我们特别回顾了表面拉普拉斯算法普遍应用中的一些常见的局限，这些局限可以通过适当选择样条弹性参数和正则化常数进行球面样条内插来有效地解决。我们从实用主义的角度认为，这些局限不仅是没有根据的，而且一直使用表面电位对脑电图和ERP研究的进展构成了相当大的障碍。本文发表在International Journal of Psychophysiology杂志。
引言：
自Berger(1929)最初发现并发表第一篇论文以来，脑电图(EEG)已成为一种普遍存在的诊断工具和研究工具，在临床实践和基础神经科学中具有重要影响。在最近出现的各种各样的神经成像方法中，脑电图的独特之处在于，它能够直接地(即不依赖于中间反应系统)、实时地，无创地且以相对便宜的方式综合呈现神经元活动。因为EEG是一种时变的电场电压测量方法(即电位差)。一方面，它会受到现实的限制，即测量电位总是需要一个参考点（即，脑电图是依赖参考的）。另一方面，它会受到环境的限制，即产生于任何神经元结构的电场都会影响整个大脑和周围生理组织的电位（脑电信号是一种混合源信号，并受到容积传导的干扰）。这两个限制可以通过使用表面拉普拉斯变换(SL)——一种应用于EEG表面电位的简单数学变换来解决。
本文的主要目的是向不熟悉或目前对SL（表面拉普拉斯变换）方法持怀疑态度的脑电图研究人员介绍SL（拉普拉斯变换）方法的运用，并从实用主义的角度论证SL方法在脑电图研究中的常规使用。为此，我们首先直观地说明了EEG的参考问题及其对事件相关电位(ERP)数据分析的影响。其次，我们展示了SL转换的原理，建立在简单的一维和二维拉普拉斯的基础上，通过球面样条提供了SL计算的直观描述，以及EEG研究中实际应用的一般考虑。第三，我们比较了EEG和ERP测量中使用依赖参考的表面电位和与之相对应的SL，包括：alpha和theta功率、听觉P3(00)、视觉N1、失匹配负波(MMN)和类ERN激活(成分)。最后，我们重新讨论并直接解决了之前关于SL使用的局限，包括SL测量表征了不同于表面电位的空间尺度上的激活。然而，头皮记录脑电图现象的神经生理学和神经解剖学基础的具体细节，以及神经元激活模式如何通过头皮或颅内拉普拉斯估计得到不同的表征，超出了本文讨论的范围。
1.1 EEG参考的含义
图1：两个头皮电极的大脑矢状图(E1， E2)。
(A)给定一个负极指向E1的皮层偶极子，如果E2位点作为记录参考(Ref)，则E1位点的电压测量为负电位。
(B)对于同一个偶极子，如果用E1作为参考，则测得E2位点为正电位。然而，在这两种情况下，测量的电位差表明E2比E1更正。
脑电图信号反映了多个空间定向相似的同步激活皮层神经元的总和(>107)，它们的联合活动可以被概念化（或简化为）为头皮记录EEG在宏观尺度上的电流偶极子(图1)。表示偶极子强度的电位可以通过计算头皮上两个不同记录点之间的电压差进行测量，其中一个点作为另一个点的参考。(例如，在图1A中，E2位点作为E1位点的参考点，导致电流偶极子的负性电位值，其负极指向E1位点)。这个测量电位的绝对值没有物理意义，仅仅表征了两个记录点之间的电位差。因此，如果在相同的两个头皮位置测量相同的偶极子，但将‘激活’和参考位点的分配反转后（E2作参考改为E1作参考），就可以获得正性电位值(图1B)。除了符号的反转，这个正电位与先前测量的负电位具有相同的绝对值，并且两个测量值都能有效地表征潜在的电流偶极子。此外，选择任何一个作为参考，两个记录位点之间的相对差异的方向(或符号)完全不受影响(即E1 - E2 = - [E2 - E1])。
我们进一步注意到，无论偶极子强度如何，如果偶极子的方向和位置对两个记录位点的影响相等(例如，两个位点位于同一等电位线上)，则在任何两个位点之间都测量不到电位。当然，如果没有潜在的偶极子，也可以测量到零电位。重要的是，因为身体上的任何地方都不存在不活动的、沉默的、安静的或无限的记录位点，所以选择一个记录位点作为另一个的参考点本身就是随意的，而这种随意性并不能通过使用脑电图参考点的共识(即通常采用的鼻子、连接乳突或耳或平均参考)（我们有充分的理由使用特定的脑电图参考，比如提供一个常规的标准，可以方便地在不同的研究中进行比较，或者尝试强调一些用不同的参考可能不太清楚或模糊的大脑活动特征。然而，这些考虑并没有改变表面电位作为大脑激活的普遍指标的概念模糊性）来解决。EEG测量值或表面电位(SPs)，不能脱离它们的参考来理解。
图2：在一项连续识别记忆任务（健康成人的数据Kayser et al.， 2010）中，在中央凹呈现A常用词汇或B陌生面孔，记录脑电参考（NR:鼻尖参照;LM:连接乳突参考;AR:平均参考）对总平均（N=44）ERP[μV]波形（-100到1100ms，刺激前100ms为基线）的影响。右侧显示了所选位点的放大图，以突出各参考点ERP波形的实质性差异，尽管在所有位点都可以观察到这些差异。矩形放大图直接比较了TP9和TP10以连接乳突为参考的ERPs(即左右乳突)，显示了极性相反的对称活动。
这些基本原理同样适用于多通道脑电图蒙太奇，尽管随着记录位点和同时活跃的偶极子数量的增加，它们的含义变得更加复杂，因为偶极子在时间和空间上都在变化。图2显示了在扩展的10-20系统67通道脑电图蒙太奇中选择不同参考点对ERP数据的影响，它直接比较了三种常见的参考模式：鼻尖参考点(NR)、连接乳突参考点(LM；TP9和TP10位点的平均值)，以及平均参考(AR，所有67个位点的平均ERP活动；参考补充图S1，在10-20系统中，分别绘制每个参考点的ERP波形图，包括它们在中线位点的比较)。这些ERP记录了44名健康成人，在视觉连续识别记忆任务中，中央凹呈现常见英语名词或未知面孔黑白照片时的脑电活动。根据参考模式的不同，在任何给定的头皮位置，产生的波形在偏转的顺序上都有明显差异，从而影响其峰值振幅、峰值潜伏期和峰值位置。例如，对于词汇加工，T8位点的NR数据显示了在200和330ms处达到峰值的两个连续负性ERP偏转，随后是在600ms处达到峰值的一个较大的正性偏转。在同一位点，LM数据显示了一个在90ms处达到峰值的小负性偏转，随后在145ms处有一个正峰，以及在900 ms处有一个晚正峰。然而，AR数据显示，在T8位点只有一个在215ms达到峰值的负性ERP偏转，但没有显著的晚期负波或正波。再例如，对于面孔加工，NR和AR数据在PO4位点出现了早期的正负ERP偏转，分别在90ms和150ms处达到峰值，而在LM数据中几乎没有这种峰值序列，在150ms处根本没有出现负性偏转。然而，过了300ms以后，NR和LM数据在PO4上出现了几乎相同的波形，在600ms处有一个共同的正性最大值，而AR数据在290ms处有一个正性最大值。在任何给定的位点都可以观察到类似的差异(例如，图2A中PO4和图2B中T8的插图)。
与连接乳突和平均参考相比，鼻尖参考代表了一个单一的参考位置，这会导致ERP波形在所有采样点处为0(图Nose插图中的绿色水平线)。这提供了一个绝佳的机会来可视化参考对其他位点ERP信号的影响，请记住，相同的原理适用于所有参考，而不仅仅是鼻子参考NR。将NR波形按照TP9和TP10(LM)或所有记录位点(AR)的平均值重作参考，意味着从所有67个记录位点中减去这个新的参考波形。因此，在鼻子位点显示了倒转的LM和AR参考波形(红线和蓝线)，表明大量复杂的ERP活动被从鼻子参考的ERP中移除，而且被移除的ERP活动对特定的参考模式具有高度特异性。此外，通过比较这些单词和面孔的倒转参考波形(图2A和B中的Nose插图)，可以明显看出NR和AR参考波形也分别依赖于这两种刺激的类型(并扩展到任务、范式、条件、程序、反应需求等)。
一种特殊的情况是用相同位点的LM ERP波形来计算连接乳突参考（即TP9和TP10；图2中矩形插图）。通过去除任一位点的算数平均值，得到的参考ERP成为彼此的反向波形（相对于基线的对称ERP）。然而，TP9和TP10中完全消除了两个位点在任何其他参考中常见的ERP偏转，类似于在NR数据的Nose中看到的水平线。值得注意的是，这种参考效应在LM数据中不那么明显，因为它被留在这些位点的剩余波形所掩盖。
很容易看出，如何使用不同的脑电图参考将导致不同的ERP分析和结果。研究者可能会关注‘明确的’ERP偏转，倾向于根据其极性、峰潜伏期和峰位对其进行标记，测量某些特征(如基线至峰值或合并振幅、峰潜伏期)，进行统计检验，并将其定义为ERP成分。然而，如图2所示，这种分析策略是错误的，因为表面电位的重新参考并没有改变潜在的神经元发生源活动。即使采用多元数据分析方法也不能解决ERP偏转发生在何时何地的模糊性，因为这些方法依赖于数据的方差结构，而数据的方差结构直接受到参考选择的影响。例如，主成分分析(PCA)经常用于ERP分析，时间、空间或时空主成分分析相当常见。对于一个常用的因子提取方法——协方差关联矩阵，主成分分析通过去除总平均来确定方差结构(即总平均附近的方差)，每个EEG参考下的总平均都是不同的。因此，不管文献中是否有错误的说法，PCA或任何其他依赖于数据方差或绝对值的多变量过程并不能构成不依赖参考的方法(即，根据不同的EEG参考，它会产生不同的结果)。
但是平均参考呢？有人认为，如果通过许多不同的表面位置和各个方向测量（例如通过使用128个或更多通道的高密度脑电图蒙太奇）产生电信号的容积（例如颅骨），所记录的EEG活动的总和将接近于零，因此，这个活动的平均值将近似于一个非活动参考。另一个相关的论点与逆解算法的需求有关，即大脑内的净源活动在每个测量(采样)点之和为零。当然，由于缺少表面积，将脑电图电极置于颅骨内侧是不可能的，因此这一理论要求在实践中是不可能的。使用从所有头皮位置获得的测量值计算出的EEG参考所产生的另一个问题是，它将随每个EEG蒙太奇而变化，这取决于蒙太奇密度和使用的特定头皮位置。然而，在任何情况下，计算的平均参考像任何其他参考模式一样，是从每个测量时间点在每个记录位点获得的值中减去的一个单一值(常数)(例如，ERP的固定波形)。
图3：词汇（第1列）和面孔（第2列）的ERP波形选择（着色线，PO4:粗线， T8:细线）以及ERP差异波（面孔-词汇，第3列）如图2所示，比较了三种常用EEG参考（NR:鼻尖参照;LM:连接乳突参考;AR:平均参考，颜色如图2）。阴影区域和黑色虚线描绘了在每个子图中显示的两个ERP之间的差异(即，粗-细彩色线)。任何两个位点之间的相对ERP差异不受脑电图参考的影响，从每一列相同的差异波(虚线)中可以看出。很明显，任何对于量化彩色线偏转（峰和谷）的尝试在不同脑电图参考中会产生不同的结果，尽管它们在不同参考中的地形上是不变的。
尽管依赖参考的表面电位具有模糊性，根据所选择的参考点，每个记录点会产生不同的脑电图波形，但脑电地形图中信号之间的关系是固定的。这是上述原理的直接结果(图1)，即两个记录位点之间的相对差异不受记录参考选择的影响。因此，在给定的脑电图蒙太奇中，对于鼻子、乳突或平均参考，任何两个ERP波形之间的差异是完全相同的，哪怕它们在任何位点的ERP波形有独特的不同(图3)。扩展来说，在不同头皮位置记录的脑电活动之间的这种不依赖参考的关系也适用于ERP的差异波(即，在条件或组间差异)。然而，特定位点的条件(或组间)差异也会受到参考点选择的影响(参见图3中的列3，以面孔-词汇ERP差异波形为例)。这种不同记录位置的脑电活动之间的独特关系（即地形图）既是唯一的（即在任意两个位点之间只有一个差异）又不依赖参考，是表面拉普拉斯的核心（EEG地形图的独特性也是任何逆解的核心，如低分辨率的脑电磁断层扫描(LORETA)或脑电源分析(BESA)，呈现这些类似不依赖参考的转换；然而，与表面拉普拉斯不同的是，它们的逆解是非唯一的）。
1.2 什么是表面拉普拉斯变换
图4：同一时间点（采样）分别在9个（头皮）位置（标签A-I）测量的数据序列的一阶和（负）二阶（空间）导数，负值朝上。连续数据点之间的结果差异（一阶导数）被绘制在位置的中间（灰色方块）。类似的，连续差值（二阶导数）之间结果（负）差异被绘制在这些这些中间位置的中间（3点计算的中间部分，红色方块）。
容积传导的生物物理学原理是根据泊松方程将脑内产生的电流源与头皮上可观察到的宏观电位联系起来。一个表面拉普拉斯方程（通常也被称为拉普拉斯算子、头皮电流密度（SCD）或电流源密度（CSD）），是这个方程作为欧姆定律的向量形式的数学简化，将电导体内的电流发生器与每个电极上的场电位的（负）二阶空间导数联系起来。为了帮助理解，让我们考虑A-I标签的离散位置上的一系列值，这些位置沿单个方向扩展，并被等距隔开(图4)。在这种情况下，我们可以将该数据序列视为一个数值函数，它的特征是其振幅的瞬时变化等于每个数据点处切线的斜率（一阶导数=相邻点之间的差=梯度）。对结果数据序列重复此操作（二阶导数=这些差值的差），并反求这些二阶斜率，就会得到反映观察到的原始值之间的斜率变化率的数据序列。从图4中可以看出，虽然E处(绿线)的原始值是最大的，但C处和G处(红线)的斜率变化率明显较大，这是因为E处有振幅相似的相邻点(D、F点)。
从图4中也可以直观地看出，从所有其他位点的测量值中减去E点的值(相当于将数据序列重新以E点作参考)只会平移原始数据序列而不改变其形状。因此，它的一阶导数和二阶导数保持不变。这进一步表明，与原始数据相比，二阶导数的符号(或极性)不受减去常数(或给数据作参考)的影响。图4虽然不太明显，但也揭示了该数据变换的另一个特征：与原始数据相比，邻近位点振幅的变化更大，这被描述为信号的“边缘探测”特征（使用术语“边缘探测”可能不正确地将SL（表面拉普拉斯变换）变换简化为仅仅是模式识别算法。然而，表面拉普拉斯方程直接从泊松方程推导而来，代表了一种有生理学意义的数据转换，因为它提供了场地形图的简明简化）。
上面的例子说明了拉普拉斯变换在一维情况下的原理，这经常用于颅内脑电图的研究。对于组织的线性内插，Freeman和Nicholson(1975)最初提出了一种局部的“斜率的斜率”测量方法，如图4所示，但将计算简化为每个电极上的电位减去两个相邻点上的电位的一半。局部平滑可以通过将该算法扩展到四个最近邻，并根据距离对减去的电位进行加权来实现（Tenke et al.(1993)提出了一种混合算法，通过应用多个区分网格(例如，最近邻和次近邻3点计算)可以提高高分辨率数据的可解释性）。
图5：基于3-5近邻的67通道脑电蒙太奇局部Hjorth区分网格（参考图2）。每个头皮位置相互的和单独的（单方向的）邻近点被标记为蓝色和红色箭头。
将这种从一维数据数组扩展到二维曲面的最近邻算法，称为局部Hjorth。在这里，二阶空间导数的估计值同样是通过减去所有相邻点的电位，这些电位通过它们与在给定位置测量到的电位的反向距离加权。这需要为给定的EEG蒙太奇指定一个区分网格(即，每个记录点的相邻位点的数量和位置)，尽管可以定义任意数量的‘最近’位点(最多n-1个记录点)，最近邻位点的数量通常在3到5之间。图5显示了图2所示的67通道EEG蒙太奇的3-5个最近邻位点的局部Hjorth网格。例如，在这种情况下，Cz位点的表面拉普拉斯方程是由Cz和它的四个近邻位点(C1， C2， FCz， CPz)所测量的表面电位估计出来的。鉴于这些相邻位点与Cz位点的距离d相等，由于这些是标准10-10系统位置，Cz位点的表面拉普拉斯方程(局部Hjorth H)可以通过观测电位P计算出来（HCz = PCz - (PC1/d PC2/d PFCz/d PCPz/d)/4d=PCz - (PC1 PC2 PFCz PCPz)/4）。因此，整个67通道EEG蒙太奇的局部Hjorth推导可以通过一个通道到通道的变换矩阵来定义，该矩阵的对角线由1( 1.0)组成，每一行的其他列代表每个相邻位点各自的(负)权重值，如果不包括在一个给定位置的最近邻集合中，则为0；局部Hjorth估计简单地对应于在每个位点测量的电位的行总和乘以列权重值(在一维情况下，通过变换向量可以很容易地定义类似的形式)。由于该变换矩阵与实际的脑电图信号(即每个记录点的值)无关，因此对于给定的蒙太奇只需定义一次，就可以应用于使用该蒙太奇的任何脑电图数据集的任何时间点。
图6对比N1和P3的ERP地形图（使用如图2A所示的视觉词语刺激的波形峰值振幅）与它们的表面拉普拉斯估计，这些表面拉普拉斯估计来自于3-5个最近邻的局部Hjorth蒙太奇，以及另外3个使用8-9、24-25或66个（即全部）最近邻的局部Hjorth区分网格。虽然在不同的脑电图参考中每个记录点的ERP测量的整体振幅和极性在存在显著差异(图6A)，但它们的N1和P3的地形图却保持一致，均显示出左顶叶下区域为N1的最大负值，中顶叶区域为P3的最大正值（对于连接乳突参考，总体N1地形图严重偏向正值，这可能会吸引研究人员在这段时间内关注广泛的额中央区正波，并根据正性ERP成分解释这些数据。当使用较低密度的脑电图蒙太奇，或采用“感兴趣区域”方法，将“代表”记录位点的一个选定子集分离出来时，更加可能出现这种错误偏向。一个相关的例子是面部敏感N170在顶枕下外侧和Cz之间的倒置，在这里使用不同的脑电图参考已经产生了一个“独立”的成分，称为顶点正电位(VPP; e.g.， Joyce and Rossion，2005)）。因此，对于任何给定的区分网格，这些ERP地形图（NR，LM，AR或任何其它参考模式）将呈现相同的局部Hjorth估计(图6B)。根据最近邻位点的数量，表面电位梯度的表示多少有些不连贯，随着最近邻位点数量的增加，梯度会过渡的更加平滑。虽然容积传导会导致更平滑(或污迹斑斑)的表面电位地形图，将任何局部最小或最大值延伸到相邻的头皮位置(参见图6A中的等电位线)，但局部Hjorth估计的地形图模式明显更清晰，特别是那些基于更少的近邻位点的估计，导致左侧N1更聚焦，顶叶中部P3更加约束。对于脑电图蒙太奇边缘附近的位置，获得的表面拉普拉斯估计不太准确，在那里可用的近邻位点更少，从而阻止了对每个位点周围的场进行对称采样。然而，当引入额外的(最多达66个)最近邻位点时，这些不利影响显著减轻，这相当于一维情况下通过扩大区分跨度的平滑效应。虽然使用许多‘最近邻’位点可能是违反直觉的，似乎违反了局部Hjorth的目的，但与那些在更远距离的位置相比，信号区分的影响或权重对最接近的位点是更大的。(例如，任何被减去的电位都与它的距离成反比)。
图6：图6（A）鼻尖参考(NR)、连接乳突参考(LM)或共67个位点的平均参考(AR)下，词汇刺激（图2A）在N1峰潜伏期(144ms)和P3峰潜伏期(560ms)的总平均ERPs [μV]地形图。
（B）这些N1和P3地形图采用不同数量近邻位点（3-5个参考图5，8-9个，24-25个或66个）区分网格的局部Hjorth估计。所有的地形图都是使用球面样条表面拉普拉斯插值(m=2; λ=0; Perrin et al.，1989)从每个位点的ERP或局部Hjorth值创建的。
考虑到二阶空间导数的性质，与时域滤波相比，表面拉普拉斯算子的计算不受时域信号特性的直接影响(即时间点t的SL（表面拉普拉斯变换）估计不受t-1或t 1的SL估计的影响)。然而，由于EEG时间序列数据是高度交互相关的，因此连续时间点的SL估计也将是相似的(即，表面拉普拉斯并不对时间相关数据施加统计独立性)。此外，由于转换本身是一个线性操作，它不会干扰其他线性数据转换，包括跨时间段（试次）或被试的平均脑电图，基线校正，以及应用时域滤波(即，这些转换在表面拉普拉斯变换之前或之后应用于EEG数据都不会改变最终的结果)。重要的是，这一规则不适用于任何非线性变换，包括涉及校正数据(开方)的频谱估计(功率)的计算。因此，所有的非线性操作都必须在经过CSD（电流源密度）变换后的数据上进行(即在表面拉普拉斯变换之后)。
1.3 通过球面样条函数进行表面拉普拉斯估计
局部Hjorth的一个明显的局限性是，二阶空间导数来自一个离散的区分网格，不仅阻碍在EEG蒙太奇边缘的估计，而且阻碍在任何给定的位置的估计，因为估计取决于最近邻位点的数量和位置。这些不利影响是由脑电图蒙太奇的特点，即电极密度和间隔均匀性所导致的。然而，信号内插可以克服这些不足。目前已经提出了几种平滑脑电图表面重建和表面拉普拉斯估计的算法，从局部多项式估计到使用一个简单的球面或正在逐步实现的头皮表面头部模型的全局样条内插。在这些表面拉普拉斯技术中，一个流行的选择是由Perrin等人(1989)提出的通过球面样条进行内插。
1.3.1 样条弹性（Spline flexibility）
球面样条函数用于拟合每个记录位点的观测数据，然后可以提供在任何表面位置（中间）的（缺失）数据的连续估算（这也是在受影响的位点选择插入伪数据的方法，可以应用于整个记录阶段或更短的时间间隔（例如一个试次分段）。在这种情况下，插值估计是从所有其他位点记录的可用数据（无伪影的）中得出的。因此，估计的有效性取决于无伪影位点的数量、它们的数据质量（即信噪比）以及所选样条计算参数的适当性）。这些函数的一个基本特征是：样条弹性，即这些函数可以弯曲到最适合实际数据的程度，这会影响连续内插的平滑性。样条弹性由常数m决定，m是一个大于1的整数值。弹性最高的样条函数对应于m=2，越来越低弹性的样条函数对应更大的m值。图7上展示了样条内插的弹性对上述数据序列的影响，该数据序列是基于假设位置A-I（参考图4，位于一个球体表面的等距位置）的数据。m=2和m=3（红线和绿线）中弹性最高的样条曲线直接或近似地与观测到的数据点相交，但对于中等（m=4，蓝）或较小（m=5，橙）弹性的样条曲线却并非如此。与此同时，低弹性的样条曲线提供了更加平滑的估计，所有样条内插都提供了中间位置和阵列边界以外位置的估计。因此，与这些球面样条内插相对应的（负）二次空间导数（图7下）代表了连续表面拉普拉斯估计，它给位置之间提供了适当的梯度过渡，对于弹性更高的样条来说更加清晰和增强，但对于弹性更低的样条来说则更平滑和平缓。这些基于样条的表面拉普拉斯估计（m=5除外）的形状类似于离散的二阶空间导数（图4），并且所有基于样条的表面拉普拉斯估计也是不依赖于参考的（即向数据序列中添加常数是不变的）。
图7：使用不同弹性的球面样条（m = 2-5; λ = 10-5; Perrin et al.，1989）对离散数据值进行数据内插（绿色圆圈，上部，参考图4）和相应的表面拉普拉斯估计（负二阶空间导数，下部）。由于标记为A-I的9个位置的相等间距与10-10系统冠状面上9个位置的头皮表面距离相同，范围从T7到T8，因此可以将假设数据序列设想为顶点处具有负最大值的ERP地形图，相应单位为μV（表面电位）和μV/cm2（表面拉普拉斯）。
与局部Hjorth算法一样，在任何记录点（或中间表面位置）上的表面拉普拉斯估计仅依赖于在该位点测量的数据与所有其他位点（即近邻位点）测量的电位之间的关系，强度按它们到该位点（表面位置）的（球面）距离进行加权。因此，虽然所有的记录位点都会影响在任何表面位置的拉普拉斯估计，但它们的影响将取决于特定的表面位置。事实上，对于给定的样条弹性（以及下文讨论的其他固定计算参数），待估计的CSD（电流源密度）位置与所有EEG记录位点之间的（球面）距离是从表面电位计算CSD估计值的唯一决定因素。由于假设所有电极位点都在头皮表面上，且头皮被建模为一个球体，所以电极位置之间的距离（毫米）与它们的角距离成正比，角距离很容易用任意两个表面点之间夹角的余弦（即弧度）表示。例如，对于一个单位球体(半径r=1)，T7和T8之间的球面距离等于π(即180°或大圆周长的一半)，T7和Cz之间的球面距离等于π/2(90°)，T7和C5之间的球面距离等于π/8(即90°/4)（弧度也被用作计算局部Hjorth估计的距离度量）。因此，正确地将测量到的表面电位分配到它们的（近似的）表面位置是至关重要的，应用标准10-20系统位置模板（以及10-10和10-5的扩展版），或通过三维空间的任何坐标系统（笛卡尔坐标、极坐标、球面坐标）指定位置，所有这些都可以很容易地转换为反映单位球体表面的位置。
图8：A， B. 听觉N1的总平均ERP[μV]地形图(AR: 平均参考; 未发表的数据， N=164， 112ms峰值，音量强度范式中呈现的80dB声调)和相应的使用不同弹性的球面样条(m=2-5; λ=10-5; Perrin et al.，1989)的表面拉普拉斯估计(CSD: 电流源密度 [μV/cm2])。
（A）通过原始72通道EEG蒙太奇建立的地形图和（B）由31个头皮位置构成的子集。灰色圆圈标记头皮在冠状面上的位置。由于与样条曲线弹性变化相关的振幅范围存在较大差异，因此使用非对称标尺来优化表征ERP的头皮分布和CSD值；然而，正极端值和负极端值之间的比率对于每个标尺都是相同的，以防止其相对值的失真（绿色在所有标尺上表示0）。
C， D. 视觉N1和P3(同图2A中的AR)以及具有不同样条线灵活性(m=2-5; λ=10-5)的相应CSD地形图，使用根据每个地形图的数据范围调整的对称标尺。
假设图7中位置A-I表示球体表面上等距的位点，它们可以直接用于表示已知的头皮位置，例如那些10-10系统冠状面的标记，从左侧外侧颞叶（T7）到头顶（Cz）到右侧外侧颞叶（T8）。在此情况下，‘观测到’的负性表面电位的最大值出现在Cz，并向中部中央位点（C3/4）逐渐削弱，向颞叶位点（T7/8）急剧下降，这与一个负性最大值出现在刺激出现后100ms，位于中部额中央区位点的经典的听觉N1的ERP地形图类似。图8A显示了72通道EEG蒙太奇的完整的经典听觉N1地形图（平均参考），以及使用不同弹性（m = 2.5）的球面样条进行对应的表面拉普拉斯(CSD)估计。虽然ERP N1最大值在FCz处，但Cz值在9个中心颞区位点上均为最负值（图8A中的灰圈标记）。类似地，总体的N1最小值（最高正值）出现在双侧后颞顶叶位点（TP9/10或乳突），但当只考虑颞中央区位点时，则出现在T7和T8（即，测得的电位与图4和图7所示的数据序列一致）。同样地，这些位点上对应的表面拉普拉斯样条估计，尽管被整合到整体CSD地形中，但基本上重新强调了这些位点上的表面拉普拉斯样条模式（图7下），对于更高弹性的样条显示出更清晰和增强的过渡，而对于更低弹性的样条显示出更平滑和更渐进的分布（当将图8A与图7（以及图4）进行比较时，重要的是要记住，图7的数据表示三维表面中不包含前部和后部位点的额外测量值的一维简化。因此，尽管图7中的插值对于有限的数据阵列是最优的，但是在TP9和TP10附近的“真实”源的任何定位将必然需要额外的空间维度）。
样条弹性和SL平滑度之间的关系可以在对应于视觉N1的CSD地形图中观察到（图8C），这与使用不同数量的最近邻位点的局部Hjorth变换（图6B）是一致的。这也适用于视觉P3（图8D），其整体激活模式在不同的样条弹性下是一致的；然而，它广阔的头皮分布在弹性更高(m=2-3)的样条中变得更不连续。
重要的是，所有CSD（电流源密度）地形图都是头皮径向电流的无参考估计，它们的符号（极性）反映了头皮表面径向电流的流向（正值或源代表流向头皮的电流，负值或汇代表流出头皮的电流）。因此，源和汇的CSD模式提供了ERP地形图下的电流发生器的表示，这可以从任何EEG记录参考模式中获得。在听觉N1中，潜在的电流发生器模式由涉及两个听觉皮层的双侧半球偶极活动组成，这可以很容易地从CSD地形图中看出，特别是在那些具有中等样条弹性(m=3或m=4)的地形图当中。相反，这种模式对于表面电位是模糊的，会导致弥漫性的中线最大值。此外，尽管在使用不同的参考模式时保留了ERP值的相对地形分布，在听觉N1的情况下，连接乳突参考将在整个记录蒙太奇中很大程度上消除了正值，这可能进一步掩盖了潜在的双侧半球激活模式。另一个重要的发现是，CSD的地形图清楚地反映了两个半球之间的解剖学差异，包括位于脑侧裂内的颞平面后侧和颞横回（初级听觉皮层）之间的不对称，这影响了听觉N1下的神经元发生源的位置和方向。
1.3.2 蒙太奇密度
如上所述，蒙太奇密度是脑电图数据的另一个关键考虑因素，它同样影响表面电位和表面拉普拉斯估计。覆盖整个头部的电极间距离小于2cm的密集电极排列，通常优于电极间距离大于6cm的低密度脑电图蒙太奇。图8B显示了听觉N1地形图将空间采样从72个头皮位置减少到31个头皮位置的效果。从等电位线可以推断出，当前基于较少位点的平均参考略有改变。CSD估计也会受到影响，导致从信号中非系统地去除更高的空间频率（即空间整合）。当样条插值弹性更高时，这一效应最为显著（在80381个表面点上72通道和31通道地形的相关性，m=2时，r=0.5954；对于m=3， r= 0.8916），而弹性更低的样条插值在很大程度上保留了72通道的地形（对于m=4， r=0.9752；对于m=5， r=0.9754）。因此，样条弹性作为一个空间滤波器，可以用于增强感兴趣的信号，例如，通过选择一个弹性更低的样条用于比较群体和/或条件的时域ERP研究，或选择弹性更高的样条用于个体在频域中的EEG相干性的研究（Nunez及其团队通常使用的表面拉普拉斯算子（新奥尔良样条拉普拉斯算法）是基于三维空间中的表面电位内插，并通过减去径向上的二阶空间导数来计算二维表面拉普拉斯算子。该算法产生的CSD估计与使用弹性球面样条获得的CSD估计相当（m=2或m=3，取决于特定的样条平滑或正则化参数））。然而，低密度脑电图蒙太奇本身会施加一个空间低通滤波。
1.3.3 样条正则化
提高表面拉普拉斯估计的信噪比是普遍需要的，EEG/ERP记录的噪声会严重干扰表面拉普拉斯估计。为了解决这一问题，在计算表面拉普拉斯算子之前，需要采用正则化参数对内插后的表面电位进行平滑处理。对于球面样条的表面拉普拉斯估计，这个平滑常数被称为λ。Babiloni等人(1995)比较了各种样条等级(m=2-5)、蒙太奇密度(28-256头皮位点)和空间频率(0.05至0.23次/厘米)对噪声的影响，发现样条弹性强烈影响λ的最佳选择（也就是说，更大的样条弹性需要更大的平滑，最优值为10-9≤λ≤10-2），表明λ校正也起到了空间滤波的作用。相比之下，空间噪声和蒙太奇密度对λ的最优值确定只有中等程度的影响。重要的是，与“解析”表面拉普拉斯分布（直接从（算数）模拟的表面电位计算）相比，λ校正显著改善了球面样条表面拉普拉斯估计。
图9：表面拉普拉斯估计[μV/cm2]采用优化的不同球面样条等级（m=2-5）平滑。通过计算构成72通道ERP总体总平均地形图（图8A）的112ms处个体听觉N1地形图（N=164）的交叉验证（CV）标准，分别确定每个样条曲线弹性的λ最优值。因此，对于不同λ值的任何位点的164个地形图中的每一个，重复计算观测电位和估计电位之间的平方差之和（即，使用具有m弹性和λ平滑的71通道球面样条内插），以确定对应于特定m值的基础函数的最小值。
寻找一个最优的正则化常数对于实际的拉普拉斯计算是至关重要的，针对这一目的已经提出了各种各样的正则化技术。λ的最优值可以通过计算交叉验证(CV)标准从实际数据中得到，该标准可以使估计电位的预测误差最小化（即，利用球面样条插值从所有其他位点的数据中预测任意一个位点的数据）。图9比较了听觉N1的λ优化CSD（电流源密度）地形，揭示了空间低通滤波特性与更低弹性的样条（更大的m常数）和更强的正则化或平滑（更大的λ值）相关，可以在一定程度上相互补偿以获得最优的潜在估计。因此，不同样条等级的λ优化CSD与固定λ值的CSD（参考图8A，所有样条等级均采用默认平滑常数λ=0.00001，72通道为0.3775≤r≤0.9693，31通道为0.6054≤r≤0.9714）相比，得到的表面拉普拉斯估计更相似（地形间的相关为0.6872≤r≤0.9970）。
从实验数据估计一个最优正则化参数有一个不良的副作用：感兴趣的公认测量方法，包括不同的ERP成分，EEG频谱或时频测量可能与不同的最优λ值有关。这种担忧也出现在不同的实验条件、研究小组或个体受试者当中。因为在给定的研究或分析中修改样条计算算法是相当不可取的，作为经验法则，以前的“最优”λ值提供了一个适当的选择，消除了任意正则化参数选择的可能性。我们在一系列通用球面样条等级（m=4）的EEG/ERP应用中都发现使用λ值为10-5作为固定正则化常数，当与CV（交叉验证）最优值相比时会产生惊人相似的CV最小值（例如，对于图9中m=4的N1 sink地形，λ的最优值和默认值分别对应CV标准值9.4952和9.5264）。
1.3.4 样条迭代
对从脑电图蒙太奇中所包含的n个离散位置得到的头皮表面连续电位进行球面样条内插，其中包含一个求解n次的勒让德微分方程的递归项。为了获得这个迭代序列的有效解，以产生创建数据转换矩阵所需的足够精度，需要最少的迭代次数。一般来说，大量的迭代将产生更好的结果，然而，随着附加的迭代，任何改善都会变得越来越小，计算成本最终将超过它们的收益。Perrin等人(1989)使用19通道的EEG蒙太奇，注意到m=4的样条等级至少需要7次迭代才能获得10-6的精度。因为精度水平会受到样条等级和蒙太奇密度的影响，所以至少20次迭代，但最好是50次或更多，是一个不错的选择。重要的是，建立两个依赖于蒙太奇的转换矩阵(一个用于估计表面电位的头皮分布，另一个用于表面拉普拉斯)的耗时过程，将以蒙太奇密度的指数增加，因此对于一个给定的蒙太奇必须只做一次。一旦计算出这两个变换矩阵，就可以很容易地得到任意采样点（即任何离散的EEG/ERP地形图）的表面拉普拉斯估计（尽管表面拉普拉斯已经在各种商业软件包和免费的学术工具中应用，但所使用的特定算法并不总是明确的。此外，用户友好性、数据兼容性和导出CSD转换数据的可用性差异很大，关键算法参数（样条弹性、正则化和迭代常数）可能使用默认值，因此可能不受用户控制。Kayser和Tenke(2006a， Appendix)发布了Perrin等人（1989）提出的球面样条CSD估计的Matlab实现，该实现后来扩展到免费提供的CSD（电流源密度）工具箱，该工具箱提供了一种方便的方法来控制球面样条SL（表面拉普拉斯变换）变换的所有基本方面）。
2. 表面拉普拉斯地形特征
本节的目的是提供时域和频域的典型EEG测量中，表面电位和表面拉普拉斯估计之间的直接比较，这是该领域广泛应用的，因此大多数读者都很熟悉。我们的目标并非回顾文献中报道的具体结果，而是使用实验室记录的数据作为方便的例子，使表面拉普拉斯变换更透明、更不模糊，重点关注表面电位和表面拉普拉斯变换之间头皮分布的特征相似性和差异。因此，我们不会讨论这些不同测量方法的任何功能特性，明确地认识到任何给定的测量方法可能用于不同的认知范式，旨在服务于不同的临床目标和研究目标，并可能受到解释差异的影响，所有这些都超出了本文的范围。然而，我们注意到，表面拉普拉斯方法非常适合帮助解决现有的争议。
2.1 theta和alpha功率
图10：在一个听觉工作记忆任务中，个体被试在选定的前部(AFz， F3)后部(POz， P3)位点的频谱(3-15 Hz) (A)和相应的θ峰(5-6 Hz)和α峰(10-11 Hz)头皮分布（B， C；A中阴影频率范围的平均值）。图中显示的是220个8-s分段的平均快速傅里叶变换(FFT)振幅(72通道EEG蒙太奇， 256采样点/秒， 20% Hanning锥形窗口，分辨率0.125 Hz)，转换为共同表面电位[μV]参考(NR:鼻尖参考; LM:连接乳突参考; AR:平均参考)，也转换为电流源密度（CSD [μV/cm2]; 球面样条参数: m = 4， λ = 10-5，50次迭代; Perrin et al.，1989）。选择前部和后部位点以反映θ和α地形最大值以及附近（偏离最大值）位置（B和C中圆圈标记）。
定量脑电图方法代表了基础研究和临床研究的基石，有效地形成了广泛、多样化的研究议题，解决了与前部alpha的不对称性、默认模式网络激活、振荡频带功率和连通性、工作记忆或临床治疗结果等相关的问题。有效可靠的脑电图频谱分离对于所有这些问题都是至关重要的，特别是当主要关注相邻频段时，如theta(4-8 Hz)和alpha(8-13 Hz)。图10显示了执行听觉工作记忆范式的单个个体的脑电图振幅谱，这一范式需要在初始字母序列中识别探测字母的正确位置。在任务中进行跨度为数秒的试次时，无论是EEG参考还是表面拉普拉斯变换，额中线θ和顶叶α的振荡都构成了主导频率，它们可能对记忆和认知起着至关重要的作用。然而，theta的地形图最大值在AFz点，alpha的地形图最大值在POz点，在CSD（电流源密度）-转换频谱中最显著（图10A），导致了一个集中的CSD头皮分布（图10BC）。相比之下，表面电位频谱呈现出不太清晰、分布更广的地形，这可能包括了大量其他位点的频谱振幅（例如图10B中的鼻尖参考theta）。为了更好地比较，还绘制了附近位置的脑电图频谱（即F3处的theta和P3处的alpha）。在这些非最大值位点，CSD估计的频谱振幅最小。此外，在F3处可以观察到一个小的alpha峰，这在平均参考中最明显。在鼻尖参考数据的前部区域（Nose和Nz）可以看到低或零波幅（图10BC中的深蓝色区域）并非巧合，但在连接乳突参考数据的外侧下颞顶叶部位(TP9/10， P9/10)可以看到却是巧合，而且在平均参考数据中疑似没有零波幅。这些归因于容积传导，参考位置和算法（即平均参考的计算）的伪效应可以通过表面拉普拉斯大大削弱。
另一个重要的概念涉及到不同参考模式中的不同地形图。与切换不同参考后不会发生变化的ERP地形图（即图6A中N1和P3的地形相关系数均为r = 1.0）不同，EEG不同参考之间的频谱地形图差异很大(for theta， 0.0548≤r≤0.3707; for alpha， 0.6895≤r≤0.8697)，因为频谱估计是由非线性数据转换得到的。因此，频谱和所有基于功率谱的振荡测量(包括相位锁定、相干、事件相关的频谱扰动等)的地形图都会受到参考选择的影响，但都不会受到基于CSD的频谱测量的影响。
2.2 P3a和P3b
经典的P3(00)可能是研究最多的ERP成分，不仅因为它在ERP范式和研究群体中无处不在（虽然程度不同），而且它能够抵抗住常见的参考选择掩蔽，所有这些可能都有助于它的早期发现。它的标志性特征是中顶叶最大值，其他具有相似峰值潜伏期和不同地形图的ERP正成分也已经被识别，共同形成了一个系列的ERP成分，通常被称为晚期正成分（late positive complex）。P3a和P3b这两个子成分已经引起了大量的研究兴趣：P3b等同于经典的P300，被认为反映了努力的注意分配和随后的记忆加工，而P3a，比P3b更早达到峰值，有相对更大的额区中线最大值，被认为反映了刺激驱动的注意加工过程。由于它们在时间和空间上的重叠，除非采用适当的实验操作，否则很难将这两个成分分开；然而，也有人提出多元分析方法来实现二者的充分分离。
图11：在一项听觉新异oddball任务中（来自Tenke et al.， 2010的49个健康成人的数据），记录目标刺激（A）和新异刺激（B）在所选择中线位点（Cz， Pz）上的总平均波幅（-60 to 800 ms），以及相应的平均P3b(时间间隔320-420ms)和P3a(220-320ms)波幅（C-F; A和B中的阴影范围）地形图。比较了常用的表面电位[μV]参考(NR:鼻尖参考; LM:连接乳突参考; AR平均参考)和表面拉普拉斯变换(CSD [μV/cm2]; 球面样条参数: m=4， λ =10-5，50次迭代; Perrin et al.，1989)。所选的间隔和位点对应P3b和P3a的潜伏期峰值和地形最大值（C-F中的圆圈标记）。
一个常用的能够有效生成P3a和P3b的范式是oddball范式，它是从经典的2个刺激的目标探测任务中改进的3个刺激版本。参与者被要求对一系列不同音高的频繁音调（非目标刺激，80%概率）中的不频繁音调（目标刺激，10%概率）做出反应，以及由独特的环境声音组成的不频繁刺激（新异刺激，10%概率）做出反应，这些声音是可以被忽略的。在这个范式中，P3b主要出现在目标刺激时，而P3a主要出现在新异刺激时（因此也被称为新异P3）。图11显示了从49名健康成人在新异的oddball任务中记录下来的中线位置Cz和Pz点的目标和新异ERP。如上所述，目标刺激P3b在Pz点的波幅和潜伏期在不同的EEG参考中明显不同，与一般平均参考（图11A峰值潜伏期370ms）相比，连接乳突和鼻尖的ERP表现出更大且更早的峰值（峰值潜伏期340ms和350ms），尽管它们基于时间窗的P3b地形图所具有同样广泛的顶叶中部最大值（即，它们的地形间相关性均为r=1.0;图11D左列）。相应的CSD波形也在Pz处(375ms)有一个最大正值，但显示了更精细的顶区P3b分布，源沿着颞区向前延伸，但保留了中央位点(图11D，右列)。
同样地，新异刺激的P3a在Cz点的振幅和潜伏期在不同脑电图参考之间也有所不同，与P3b相比，鼻尖或连接乳突参考的ERPs峰值稍早（320ms和325ms），但对于平均参考来说则要早得多（260ms，图11B）。尽管如此，在鼻尖和乳突ERP的潜伏期也可以看到一个显著的偏转。同样，所有P3a的ERP地形图都显示了相同的广泛性头皮分布，在顶点处出现最大值（图11E，左列）。与此形成鲜明对比的是，相应的CSD波形在Cz处有一个明显的最正大值（255ms），沿顶叶中部向外侧和后方延伸（图11E，右列）。同时考虑两个条件（目标刺激和新异刺激）的时间进程，表面拉普拉斯估计揭示了有着单独的头皮分布的两个截然不同的正成分。P3a的相应CSD，根据其功能和地形特性被称为新异顶点源(NVS)，在不同的健康和精神疾病人群中是一种可靠的现象。显然，基于表面电位，P3a和P3b并不能做出如此明显的区分。
2.3 失匹配负波
听觉MMN是一种对听觉变化检测的前注意测量，与P3几乎一样普遍，因为它很容易在广泛的健康和临床人群中进行研究。虽然最近Giard等人(2014)强调了MMN ERP的CSD（电流源密度）转换的优点，但MMN提供了从差异波中导出的一个原型ERP成分的方便示例。MMN范式有效地构成了一个被动的oddball任务，即在一系列的频繁事件（标准）中嵌入了不频繁事件（偏差），但被试不需要对这些不频繁事件作出反应，这些不频繁事件与频繁事件在一个或多个物理刺激特性（频率、间隔、强度）上的特征是不同的。相反，被试的注意力通常会被导向一个不同的任务(例如，读书或看电影)，这也会影响MMN。MMN本身是在偏差和标准的ERP差异波中的一个显著的“负”偏转(即，成分的极性是由惯例决定的)，大约在150ms左右达到峰值，但明显地在N1峰之后，并显示一个广泛的额中央区最大值。然而，Giard et al.(1990)通过对定向注意(双耳分听)任务中获得的MMN数据进行表面拉普拉斯变换，发现了分别由额叶和颞叶神经发生源组成的两种不同的MMN成分的地形证据，这两种成分不能在表面电位中区分。
图12在一项频繁（声调）MMN范式中（未发表数据：8个健康成人，72通道EEG蒙太奇，256采样点/秒，更多细节于文章中），偏差-标准声调（A）在所选位点（TP9， FC3， Cz， FC6）的总平均差异波（-40 to 440ms），和对应的MMN地形图（B；时间间隔在-100-200ms平均波幅（图A中的阴影范围））。所选位点对应MMN的地形最小值和最大值（B中的圆圈标记）在ERP和CSD数据中存在差异（ERP参考和CSD转换同图11）。
图12中所示的MMN是在由偶尔被声调偏差刺激（80%：20%概率，300ms持续时间，600ms SOA）中断的重复标准刺激组成的声调系列中测量的。标准声调（485， 680， 953或1336 Hz）与反应简单辨别比例（. 67，.75）或困难辨别比例（. 90， .95）的偏差声调相结合，组成8个block，每个block包含120试次。每个block包含1个标准声调和4个偏差声调（每种比例下的高频率或低频率占5%），伪随机排列。在这8个block（960试次）当中记录了8名健康成年人的ERP，这些人被要求观看无声的电影片段(野生动植物场景)，并忽略音调。为了当前目的，所有的偏差刺激被汇集在一起，MMN从偏差-标准的差异波形中计算出来。
MMN振幅和潜伏期在不同部位的脑电图参考中也有所不同，在连接乳突的ERPs中，额中央区中部的MMN最大（Cz点峰值潜伏期150ms），而在平均参考中，该位置的MMN最小（160ms；图12A）。同时，外侧下颞顶叶（参考TP9）MMN反转在平均参考中最大，而在连接乳突参考中最小，这应该是因为这些ERP差异的地形不受EEG参考点选择的影响（即，对于所有的地形间相关性，r=1.0）。与表面电位MMN地形图相反，它的对应CSD显示了颞顶叶MMN最小值和中线额中央区外延（双侧半球）的MMN最大值，类似于图8和图9所示的听觉N1的CSD地形。事实上，尽管N1和MMN的振幅和潜伏期有很大差异，但在这个样本中，MMN和N1的地形图（连接乳突参考中的Cz点：峰值潜伏期125ms，峰值振幅3.1 μV）几乎是相同的（N = 8; for ERP， r = 0.9854; for CSD， r = 0.9480），这表明是相同神经元组织（即初级听觉皮层）促进了N1和MMN的产生。
2.4 反应相关额中叶负波
由错误选择反应引起的负的反应锁定ERP成分，被称为错误负波(Ne)或错误相关负波(ERN)，人们越来越关注与前扣带皮质激活有关的反映执行监控的内侧额叶负波。在没有错误反应的情况下，正确选择也可以诱发一种类似ERN的成分；然而，这种正确反应负波(CRN/Nc)实际上更小，并且大部分被表面电位所掩盖，并且只有在使用表面拉普拉斯方程时才被发现。值得注意的是，在一个经典的oddball范式中，在刺激锁定的CSD波形中可以观察到CRN。
图13：在被试需要对目标刺激进行左手或右手反应按键（数据来源于Kayser and Tenke， 2006b）的一项音调和发音oddball范式中，通过一个129通道测量传感网络EEG系统记录了反应锁定（A）和刺激锁定（C）总平均波形（N=17）。对于反应锁定和刺激锁定ERP的基线校正分别为-300到-100ms和-100到0ms。地形图对应于在反应后约50ms（B: 25-75 ms时间间隔的平均波幅; A中的阴影范围）和刺激开始后约500ms达到峰值（D: 420-580ms; C中阴影范围）的中部额叶反应相关负波（FRN）。反应锁定波形所选择位点（减A和C中插图的电极名称）为左侧中部中央区（43），左侧额中央区（13），右侧额中央区（107）和右侧中部中央区（94）；刺激锁定波形所选择位点为左侧和右侧中央区（38，88），中部额中央区（6）和中部中央顶区（62），这些近似于CSD的源和汇最大值（B和D中的圆圈标记，ERP参考和CSD转换同图11）。
图13显示了在以复合音或辅音-元音作为刺激的oddball范式中，在对17名健康成人的129通道脑电图记录中，SL（表面拉普拉斯变换）波形中存在CRN（正确反应负成分）现象，而ERP波形中实际不存在CRN现象。在不同的任务block中，参与者被要求按下左键或右键来对目标刺激（20%概率）进行反应。数据汇总了所有类型的音调和发音刺激，每只反应手包含大约50个试次(M±SD: 左手按键， 49.6±7.0，范围39-61; 右手按键， 47.8±9.7，范围24-63)。反应锁定的CSD显示了一个明显的中部额中央区负波(sink)汇，当左手反应时该负波仅出现在右侧半球（参考电极点107，在10-5系统中约为FCC2h位点），当右手反应时该负波仅出现在左侧半球（参考电极点13，约为FC1位点）（图13A，2，3列；图13B，4列）。这些单侧额中部的汇伴随着双侧顶中央区的源，也是在反应手的对侧半球更明显（参考位置94，大约CCP4，左手按键；位置43，大约CCP3，右手按键）。相比之下，反应锁定ERP显示几乎没有中部额区负波，尽管在连接乳突和平均参考下在位置107和13处可探测到轻微偏转。大部分反应锁定的ERP头皮地形图的特征是一个类似于顶叶P3b的广泛正波，特别是对于鼻尖参考，因为最负的电位在鼻尖。尽管如此，在这种地形中，不对称转换仍然可以从等电位线中推导出来，这与反应手对侧的额区负波一致（同样，每个反应手的地形在不同参考之间没有区别）。
刺激锁定的CSD在平均反应潜伏期（M±SD: 左手按键， 426±89 ms; 右手按键， 464±95 ms）后的一段时间间隔内（420-580ms，图13D，4列）显示出高度相似的源汇关系地形图，可以推算出刺激呈现后480至520ms范围内的CRN峰值潜伏期。在CSD波形中的额中央区中线部位（位置6，大约FFCz）观察到了强烈的汇活动（图13C，2列）；在ERPs中并未发现负波，尽管在P3b峰值约350ms的逐渐下降倾斜期间出现了可疑的偏转。虽然在刺激锁定ERP和CSD中，都是在中部顶叶位置观察到P3b的最大值（参考位置62，大约CPPz，图13C，3列），但只有CSD在随后的反应相关间隔期间表现出明显的双侧中央顶区源（参考位置38和88，大约在CCP3h和CCP4h，图13C，1列和4列，图13D，4列）。这种刺激锁定的中部额区汇和顶中央区源的模式与P3b的源地形图（参考图11D右侧列）完全不同，但与反应锁定的类似ERN的CSD地形图高度相似。在采用低密度脑电图蒙太奇的不同认知范式和研究人群中，在刺激锁定CSD波形中都可以可靠地观察到这种中部额叶的反应相关负波（FRN）；然而，它在很大程度上仍然隐藏在刺激锁定的ERP中。
3 常见的表面拉普拉斯问题
尽管人们意识到表面拉普拉斯算法在理论上的优势，首先是它独立于脑电图记录参考，并且能够增强脑电图信号的空间信息（即高分辨率EEG），但该领域一直存在的局限使得这些方法无法得到广泛和系统的应用。矛盾的是，目前为止，复杂的数据转换到在脑电图研究人员中更受欢迎，包括多元数据分解技术和反解，通常涉及组织导电性和神经发生源的几何或数量、方向和统计独立性的生物物理学假设。本节直接从实用主义角度讨论这些异议的有效性和含义，重点放在SP与SL的比较上。
3.1 表面电位有久经考验的历史
图14：神经元发生器（以一个偶极子为模型）的强度和方向与脑电图参考选择之间的相互作用示意图。假设有两种假设的脑电图参考模式，其中参考点(-)和记录点( )要么与一个偶极子(绿色)的方向位于一条直线上(A， C)，要么垂直于这个偶极子的方向(B， D)。
A. 两个强度相等但方向不同的偶极子将产生不同的表面电位，有利于方向最匹配参考和记录位置于同一直线的绿色偶极子。
B.如果参考和记录位置与绿色偶极子垂直排列，则相同的偶极子排列将有利于红色偶极子（即在参考点和记录点之间呈现无电位差）。
C. 当参考和记录位置与这两个强度不同但方向相同的偶极子平行排列，则他们会有利于绿色偶极子。
D. 然而，即使在这种情况下，参考和记录位置与这些偶极子方向垂直排列，也会使两个偶极子的表面电位相同（即，0）。
临床和基础脑电图研究有着近一个世纪的科学成功历史，利用表面电位在许多领域产生了大量突破性的发现。尽管绝大多数的电生理学家似乎认识到了参考问题，但这种对脑电图数据分析依赖性的直接影响被低估或忽略了。一般认为，只要应用相同的脑电图参考（平均或连接乳突），无论其具体问题或缺点如何，手头上的数据都会得到同等对待，所有组和/或条件差异都可以归因于实验操作，如果设计巧妙，将保证对结果进行实际和准确的解释。然而，这些假设是具有欺骗性的，如图2和图3所示，并由图14所示的原理图加以概括。
让我们假设一个特定的过程或功能（即条件、组或二者交互作用）是由神经发生源激活来表示的，这个激活可以由单个偶极子概括，而第二个过程是由不同的神经元激活来表示的，该激活会产生一个强度相同但方向不同的偶极子（图14A）。如果从两个头皮位置记录来自任一偶极子的表面电位，其中一个作为另一个的参考，放置在与两个偶极子中的一个方向一致的位置，则在同一条线的偶极子（绿色）中测量到的电位比在非同一条线偶极子（红色）中测量到的电位大。这将导致第一个过程（绿色）产生了比第二个过程（红色）更大的EEG信号的结论。相反，如果从与绿色偶极子方向垂直的两个头皮位置测量来自相同两个偶极子的表面电位(图14B)，则测量的红色偶极子表面电位将会更大。因此，该参考方案会导致相反的结论(即，第二个过程比第一个过程产生更大的脑电图信号)。即使这两个过程是由相同的偶极子（方向相同）表示的，但脑电图参考的选择会对测量的SP振幅产生不同程度的影响。尽管平行的参考排列会呈现绿色大于红色的结果（图14C），然而正交位置的参考排列则显示两种过程之间没有差异（0波幅）（图14D）。在时域、频域、时频的所有表面电位测量中都会出现这种分歧，然而，随着多个神经发生源在空间和时间上的重叠以及EEG测量的更大复杂性，这些分歧变得越来越复杂。毫无疑问，EEG和ERP研究中的许多误解和争议根源于不同参考模式的使用。
即使声明的研究目标是理解心理功能，而不是描述潜在的神经解剖学功能，大脑激活对于用来研究心理功能的EEG现象是很重要的，尤其是测量结果可以通过改变参考来逆转，因此这一事实足以引起关注。虽然对于一个给定的神经发生源系列可能有一个最佳的脑电图参考（图14C），但研究中通常不能事先确定神经发生源，而且发生源可能由不止一个偶极子组成。因此，从纯粹的实用主义角度来看，使用模糊的激活测量似乎是非常不可取的，应该用一个明确的测量来代替，只要这种替代方法不会引入相当大的成本来抵消这些好处。
3.2 低空间频率的信号丢失
反对（仅仅）使用表面拉普拉斯的最强烈论据之一是认为低空间频率（源自深部和/或分布式发生源）的脑电图信号会被空间高通滤波抑制。对于模拟的径向和切向偶极子，Perrin等人(1987)绘制了CSD和场电位的不同衰减（下降）作为发生源到头皮表面距离d（离心率）的函数。这种衰减对于CSD更明显（1/d3 versus 1/d），表明表面拉普拉斯强调了浅层的皮层发生源。然而，在这张最近转载的图中(Giard et al.，2014)，两个衰减曲线都由各自的峰值最大值进行了调整，因此，对于每种测量方法能够在多大程度上(或可靠程度上)代表或“看到”任何特定的深层或浅层发生源的大脑活动，我们无法得出结论（也就是说，没有直接的交叉测量比较）。换句话说，SP和SL测量之间的比较暗示了1)两种测量在反映信号最大值方面都一样好，2)较大的值（或值本身）反映一个信号。
Nunez和Srinivasan(2006)在他们具有里程碑意义的教科书中强调，与表面电位相比，分布式皮层源的空间带通滤波减少了大偶极层的表面拉普拉斯估计，而有利于较小的偶极层。采用4-shell头部模型的正演模拟作为径向偶极子层大小和不同脑-颅骨导电性的函数，发现头皮电位最大值出现在广泛偶极子层（延伸约7-10厘米），而表面拉普拉斯最大值出现在小偶极子层（约2.5cm）。然而，这些模拟基于三维样条内插，与基于高弹性球形样条（m=2-3）的曲面拉普拉斯估计密切相关。
图15：头皮测量值与皮层电位之比是偶极子层大小的函数。
A， B：在81通道10-10系统EEG蒙太奇中，顶点头皮电位（平均参考）由于不同角度范围的模拟偶极子层，在4-shell正解中形成了两个不同脑-颅骨导电率比值的表面球形帽，其导电率[S/m]为：脑= 0.33，颅骨= 0.0042 (A:比值= 78.6) or 0.0084 (B:比值= 39.3)， CSF = 1.0， scalp= 0.33。
C， D：使用不同弹性（m=2-7; λ=10-5; Perrin et al.， 1989）的球形样条进行对应的表面拉普拉斯估计（CSD:电流源密度）。注意，表面电位主要对广泛偶极层敏感，而球形样条表面拉普拉斯估计的灵敏度随样条弹性的变化而变化。
图15显示了大脑皮层偶极子层尺寸和两种不同脑-颅骨导电性的EEG表面测量之间的关系。使用4-shell正演解（径向偶极子位于头皮外表面下方14 mm处（85mm头半径），从Cz下方的中心偶极子（0cm）以“帽子尺寸”向下扩展到135°的宽圆，步长为3°（20cm））模拟一个完全均衡的81通道10-10系统EEG蒙太奇的头皮电位。使用具有不同弹性常数的球面样条插值（m = 2-7; λ = 10-5; Perrin et al.， 1989）从这些表面电位计算相应的CSD估计。这些模拟复制了Nunez和Srinivasan(2006)报告的表面电位（图15AB，最大值约8-9cm）和使用高样条弹性的表面拉普拉斯估计（图15CD中的红线和绿线，m=2或m=3；最大值约2.5-3cm）。他们还证实了不同空间频率的相对值（表面拉普拉斯变换充当一个空间滤波器）不受不同脑-颅骨导电率的影响。然而，最重要的是，基于越低弹性样条的表面拉普拉斯估计对更广泛的偶极层越敏感（图15CD，m=4-7的近似最大值分别为5，7，8，9cm）。因此，球面样条SL估计的灵敏度随样条弹性常数的变化而变化，m=7与表面电位的空间尺度密切对应，且这些关系也不受不同脑颅骨导电率的影响。
Nunez和Srinivasan(2006，2014)多次强调，头皮脑电图测量在不同的空间尺度上表现出不同的动态，并得出结论，未加工的表面电位和SL估计（高分辨率EEG）提供了关于新大脑皮层动力学的补充信息。然而，ERP成分在空间尺度上较为局限，P3b可能揭示了最广泛的头皮分布，同步振荡可能在更大的空间尺度上存在，包括前后部区域的节律性激活，这将被基于样条弹性的SL估计所抑制（即空间滤波）。例如，Srinivasan(1999)报道，由于成熟脑组织的内源性形成，成人和儿童之间alpha节律一致性的空间结构不同，成年人的整体大规模（＞20 cm）皮质动力学不能充分地用样条弹性SL估计表示。
因此，基于SL估计的功能连接和相干性测量只代能表较小的空间尺度（小于5cm），无法探测到这些长程振荡。然而，对广泛分布的正弦和余弦发生器源的模拟表明，当使用低弹性样条常数（m=5）时，与表面电位相比（鼻尖、连接乳突或平均参考），CSD测量的振幅和相位具有更好的表示。重要的是要进一步研究基于可以调整以匹配表面电位的空间尺度的低弹性样条曲线（图15）的SL估计是否适合于在不同的EEG应用中克服这些限制。重要的是，相干性估计还受到容积传导和记录参考的不利影响，特别是对于头皮覆盖不足（32或更少通道）的脑电图蒙太奇，这在临床和基础研究中仍然很常见。
最终，关键的问题是表面电位或拉普拉斯估计在多大程度上可以代表真正的大脑活动。在视觉范式下记录了大样本（N=130）的脑电图，我们发现，无论参考模式如何（平均、鼻尖、连接乳突和参考电极标准化技术[REST]），CSD在时域和时频域都比表面电位更准确地表征了后部对侧N1的半侧依赖不对称性。相反，表面电位也显示在更前部的位置存在显著的半侧依赖不对称性，这可能是由容积传导引起的。同样，通过对来自硬膜下和深层局部发生源的正弦波和余弦波的正演模拟，CSD测量的振幅谱的地形和相位信号保真度优于表面电位，即使对于深部发生源也是如此。此外，当与表面电位进行系统比较时，在静息时、任务执行期间或作为事件相关的去同步时观察到的后部alpha节律始终恰当地由CSD测量表示出来。
本教程综述中概述的注意事项表明，表面拉普拉斯变换的空间高通特性可以通过使用具有适当的弹性和正则化参数选择的球面样条来适应研究目标（参考图8，9，15）。事实上，低弹性样条和大量正则化可以用于在空间上低通一个几乎与表面电位地形相同的地形，然而，它仍然是不依赖参考的。虽然这可能看起来违背表面拉普拉斯算法的优势，但如果这是一个重要的问题，它将直接服务于维持脑电图信号中的低空间频率的需要。尽管这个目标与“解析”表面拉普拉斯分布的最小化表面拉普拉斯估计的观点不符，后者更适合于更高弹性的样条（m = 2或m = 3），采用表面拉普拉斯作为表面电位分析的补充这一建议暗示了更大的差异，因为它优先考虑了参考依赖的地形图，而没有考虑容积传导的影响。用低弹性球面样条(中等程度m=4)获得的表面拉普拉斯估计在空间尺度上操作，不仅适用于低密度脑电图记录，而且似乎对高密度脑电图也很有用。当然，低弹性样条曲线带来了放弃锐化EEG地形图的代价，这是表面拉普拉斯算子的优势之一，但这种障碍也适用于表面电位。
3.3 密集的空间采样是一个先决条件
对表面拉普拉斯函数最精确估计的追求激发了人们的一种普遍理解，即EEG信号的高空间采样对于避免空间混淆和其他地形歪曲是必要的。然而，这一前提要么完全否定了低密度脑电图（少于64和更多的通道）的有用性，要么忽略了表面拉普拉斯变换仍然比表面电位更有助于脑电图测量的证据。毫无疑问，需要根据每种应用的研究目标来确定其有用性，对于临床或基础研究问题以及关注个体或群体的数据可能会有所不同。
对于组间比较（N=17），我们已经证明31通道的EEG蒙太奇完全适合分析经典的听觉ERP成分（N1，N2，P3），与原始的129通道ERP相比，同样有效地揭示了这些位点的波形和地形。此外，对低密度蒙太奇缺失点的数据进行球面样条内插，可以得到高密度数据的合理近似估算。低密度CSD和高密度CSD之间的这种趋同的原因可以归因于对数据施加的空间低通滤波，通过平均许多个体的ERP，这将去除与总平均ERP无关的空间和时间噪声
其他低密度CSD应用的例子包括与聚焦的运动相关激活有关的基础和应用研究。特别是在临床环境中，高分辨率脑电图往往是不可行的，这时表面拉普拉斯变换可以最大限度地提高感兴趣测量的信噪比。在后一种情况下，表面拉普拉斯算子的优点被专门利用于个体数据。
另一个需要考虑的问题是，在存在高空间频率噪声时，低空间采样（少于30个通道）可能比高密度电极阵列（128或更多通道）获得的表面拉普拉斯估计更精确，甚至更好。在这种情况下，低空间密度和样条弹性的降低将有效地抵消脑电图记录噪声和其他信号质量的变化，包括电极放置或电解质桥接引起的地形畸变，并使CSD估计更加可靠。虽然这可能会以不那么精确为代价（参考图7），但这些估计对于总体研究目的来说还是更有用的。
因此，高密度脑电图记录对于表面拉普拉斯计算并不是必要的，它们本身也不能保证更好或更可靠的CSD估计。
3.4 对噪声的易感性
因为表面拉普拉斯变换本质上是根据信号差（即二阶空间导数）计算的，而差异通常比原始数据更加多变，因此可以推断表面拉普拉斯变换的代价之一是对数据中的噪声水平更加敏感。系统操作表明，表面拉普拉斯估计误差与模拟噪声水平的幅度和空间频率成比例增加。特别值得关注的是，由于表面拉普拉斯函数将在较低的空间频率上放大得更高，信号失真将由高频噪声引起，包括记录伪迹。虽然这些负面影响可以通过加强正则化和使用弹性更低样条来抵消，但这也将伴随着空间分辨率的损失，而使用表面拉普拉斯函数的目标之一是提高脑电图信号的空间分辨率。显然，这种考虑与上面讨论的低空间频率的信号损失构成了某种矛盾。对噪声负面影响的担忧似乎也与表面拉普拉斯算子实际上可以提高特定应用的信噪比的证据不符。
与前面一样，从实用主义的角度来看，关键问题是噪声水平的差异如何分别影响真实脑电图数据的SP和SL测量。在通过限制计算错误相关负波的试次数来降低信噪比后，发现表面拉普拉斯函数比相应的表面电位函数得到更好的结果。我们使用不同样本大小的非参数置换检验（N = 130， 80， 40， 20或10），通过评估半球依赖N1的不对称性来操纵噪声水平，不同样本大小并不影响CSD相比EEG和ERP的优越表现，尽管在所有数据转换中的总体统计显著性会随着样本量的减少而逐渐下降。
因此，虽然信噪比应该始终是一个普遍关注的问题，但似乎没有理由将这个问题作为拒绝表面拉普拉斯，而支持表面电位测量的理由。相反，现有的证据表明，在信噪比降低的条件下，表面拉普拉斯测量具有更好的表现。唯一需要注意的是，使用表面电位并不能防止数据质量差带来的问题。
3.5 蒙太奇边缘处的信号丢失以及其它EEG问题
除了上述问题外，许多其他局限也被反复引用，包括EEG蒙太奇边缘的表面拉普拉斯计算的困难、需要明确的记录位置的信息、以及需要量化表面拉普拉斯估计。虽然在边界位置的信息丢失可能是有限差分方法的代价，但通过使用球面样条和其他连续内插，这些边界位置和任何其他位置都可以很容易地得到表面拉普拉斯估计。
对于任何负责任的研究人员来说，关于脑电图信号在哪里被记录的精确信息似乎都是必须的，特别是当这些信号被用来推断大脑功能时。所需的精度水平取决于像10-20系统及其扩展一样简单的（固有的）头部模型。球形头部模型似乎适用于许多SL应用，尤其适用于从有限数量电极中获得的经典空间频率范围
表面拉普拉斯变换是一种不改变数据域的空间变换，因此，CSD值可以像表面电位值一样处理。事实上，表面拉普拉斯与其他多元方法的结合使用，如PCA或ICA，已经显示出相当大的优势。但是，如何确定和量化现有数据的适当措施并不能被视为一项合理的局限，因为在SP和SL数据中也存在类似的挑战。
4 结论
依赖于参考的表面电位在脑电图信号的所有关键问题上(极性、地形、潜伏期)都是模糊的。对这些数据的重要特征进行识别和量化的一般方法将导致不同的结果，这些差异的程度从微小的差异到截然相反的结果。表面拉普拉斯变换是一种独特的线性数据变换，它保持了脑电图信号的不变性(即，不依赖于参考)，从而解决了所有这些模糊性。如本文所述，球面样条内插提供了一种方便的方法来获得低密度和高密度脑电图蒙太奇头皮径向电流的连续估计。CSD分布代表了神经元发生源在时间上和空间上的模式，可以（应该）通过已经用于表面电位的分析方法进行分析。适当选择样条内插参数可以抵消表面拉普拉斯已知的局限性（空间高通），而且可以避免表面电位的陷阱。然而，对于超大偶极子层产生的脑电图现象，基于低弹性样条的SL估计在功能连接性和相干性背景下的适用性，以及在研究全局功能整合时，使用不同样条弹性的SL估计的方法是否足以替代同时使用平均参考和灵活SL估计的策略仍需进一步研究。其他疑似的缺陷，如对噪声的高敏感性和对深层发生源的不敏感性，并没有得到实验证据的支持。由于这些实际原因，许多脑电图和ERP研究继续优先使用表面电位似乎是违反直觉和适得其反的。
