Gerber统计量：更稳健的相关性指标（附代码）

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本期遴选论文 来源：The Journal of Portfolio Management February 2022 标题：The Gerber Statistic: A Robust Co-Movement Measure for Portfolio Optimization 作者：Sander Gerber, Harry M. Markowitz, Philip A. Ernst, Yinsen Miao, Babak Javid and Paul Sargen

组合优化中，计算各资产之间的相关性，即协方差矩阵是非常关键的一步。在Sander Gerber与Harry M. Markowitz的最新论文中，提出了一种新的相关性度量指标Gerber统计量，相对传统的协方差矩阵，这个统计量的表现来的更加稳健。

如何计算Gerber statistics

假设有个证券标的，个时间。令表示标的在时间的收益率。对于在时间，任意两个标的组合，我们将它们的收益对根据以下公式转换为联合变量 :

也就是说，当标的同向涨跌超过一定幅度，为1，此时称为concordant；逆向涨跌超过一定幅度，为-1，此时称为discordant；其他情况，为0。上式中，标的涨跌判断的阈值的计算方法如下：

其中为常数，一般取（也有可能取数学公式: 或），为标的的收益率的标准差。

综上，我们定义Gerber统计量：如果用表示上式中concordant的数量，表示discordant的数量，那边上式可以改写为：

从上等可以看出，如果设为0，那么等式4计算的就是Kendall's Tau相关系数。

Gerber矩阵

有了Gerber统计量，我们就有了Gerber矩阵，我们用表示。在矩阵中，第行列的值表示标的的Gerber统计量。同时，我们用表示所有标的在过去一段时间的收益率矩阵；用表示中收益率超过一定阈值（上限）的矩阵，即：

那么各标的过去收益率超过上限阈值的次数就等于：

同样用表示中收益率低于下限阈值的矩阵，即：那么各标的过去收益率低于下限阈值的次数就等于：最后定义同向变动次数矩阵：

逆向变动次数矩阵：

那按照等式4定义的Gerber统计量，Gerber矩阵可以写为：

其中为Hadamard除法（位置对应），且Gerber协方差矩阵为：

其中是收益率标准差构成的对角矩阵。

解决矩阵非半正定的问题

在实证研究中，我们发现根据等式9计算的Gerber协方差矩阵经常为非半正定矩阵。由此作者改进了Gerber统计量的计算方法。我们可以对任意两个资产，根据各自的上下限阈值把一个区域分为如下的9个部分：

那么等式4可以改下为如下等式10：

而上式的分母于等式11的分母等价，在实践过程中，由等式11计算的Gerber协方差矩阵均为半正定。

Gerber统计量与Pearson相关系数的比较

1、相关系数基于所有历史数据进行计算，而不管两者是否是同向涨跌，这其中可能包括了部分噪音，导致相关系数对较小的同向涨跌比较敏感。

2、而Gerber统计量，正如等式11的分母所示，仅包含了显著涨跌的数据，这使得Gerber统计量比Pearson相关系数更稳健。

实证分析

数据

作者使用了1998年1月至2020年12月，多个股票债券指数及商品期货，具体如下：

S&P 500 index (U.S. large-cap stocks; Ticker SPX)
Russell 2000 index (U.S. small-cap stocks; Ticker RTY)
MSCI EAFE index (captures large and mid-cap equities across twenty-one developed
countries excluding U.S. and Canada; Ticker MXEA)
MSCI Emerging Markets index (captures large and mid-cap equities across twenty-seven emerging markets; Ticker MXEF)
Bloomberg Barclays U.S. Aggregate Bond index (includes Treasuries, government-related and corporate securities; Ticker LBUSTRUU)
Bloomberg Barclays U.S. Corporate High Yield Bond index; Ticker LF98TRUU
Real estate FTSE NAREIT all equity REITs index; Ticker FNERTR
Gold; Ticker XAU
S&P GSCI Goldman Sachs Commodity index; Ticker SPGSCI

比较的方法

文中对以下三个计算协方差矩阵的方法进行比较：

1、HC：传统通过历史收益率计算协方差矩阵的方法。

2、SM：Ledoit and Wolf (2004)提出的一种将历史收益率协方差矩阵与某个固定矩阵加权的方法：

3、GS：如等式9计算的Gerber协方差矩阵。

组合优化

组合优化的目标函数为考虑交易费率的期望收益最大化，限制条件为组合波动率小于限定目标看，且只允许做多。

Maximize:

Subject to:

结果

作为一个自定义参数，当越大，上下限阈值的绝对值越大，噪音就越低。作者测试了不同的取值，在不同波动率目标下，年化收益率的比较。可以看出，无论取什么值，年化波动目标设置为多少，在HC、SM及GS三个方法中，GS的表现总是最好。