离散余弦变换

离散余弦变换类似于离散傅里叶变换，但是只使用实数。离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换。

离散余弦变换是一个线性的可逆函数 F: R^n rightarrow R^n ，其中 R 是实数集。

begin{array}{c} f_m = {1 over 2}(x_0 (-1)^m x_{n-1}) sum_{k=1}^{n-2} x_k cos({pi over n-1}mk) end{array}

边界条件：x_k 相对于 k = 0 点偶对称，并且相对于 k = n-1 点偶对称；对f_m 的情况也类似。

【注】DCT-1 不适用于 n lt 2 的情况，其他 DCT 类型都适用于所有的整数 n 。

begin{array}{c} f_m = sum_{k=0}^{n-1}x_k cos({pi over n}m(k {1 over 2})) end{array}

边界条件：x_k 相对于 k = -{1 over 2} 点偶对称，并且相对于 k = n-{1 over 2} 点奇对称；对 f_m 相对于 m = 0 点偶对称，并且相对于 m = n 点奇对称。

【注】DCT-2 是最常用的一种形式，通常直接被称为 DCT 。

begin{array}{c} f_m = {1 over 2}x_0 sum_{k=1}^{n-1}x_k cos({pi over n}(m {1 over 2})k) end{array}

边界条件：x_k 相对于 k = 0 点偶对称，并且相对于 k = n 点奇对称；对 f_m 相对于 m = -{1 over 2} 点偶对称，并且相对于 m = n - {1 over 2} 点偶对称。

begin{array}{c} f_m = sum_{k=0}^{n-1} x_k cos({pi over n}(m {1 over 2})(k {1 over 2})) end{array}

边界条件：x_k 相对于 k = -{1 over 2} 点偶对称，并且相对于 k = n - {1 over 2} 点奇对称；对 f_m 类似。

上述四种 DCT-1 ~ 4 是和偶数阶的实偶 DFT 对应的。原则上，还有四种 DCT（DCT-5 ~ 8）变换时和奇数阶的实偶 DFT 对应的，其分母中都有一个 n {1 over 2} 的系数。

0 人点赞