2022-03-10 15:18:27
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1. 简介 切比雪夫多项式 是与棣莫弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。通常，第一类切比雪夫多项式以符号 T_n 表示，第二类切比雪夫多项式用 U_n 表示。切比雪夫多项式 T_n 或 U_n 代表 n 阶多项式。
棣莫弗定理
棣莫弗定理是一个关于复数和三角函数的公式，其内容为：对任意复数 x 和整数 n ，下列性质成立：
begin{array}{c}
(cos(x) isin(x))^n = cos(nx) isin(nx)
end{array}
切比雪夫多项式 分别是第一、第二类切比雪夫微分方程的解：
begin{array}{c}
(1-x^2)y^{''} - xy^{'} n^2y = 0 \
(1-x^2)y^{''} - 3xy^{'} n(n 2)y = 0
end{array}
2. 定义 2.1 第一类切比雪夫多项式 begin{array}{c}
T_0(x) = 1 \
T_1(x) = x \
T_{n 1}(x) = 2x T_n(x) - T_{n-1}(x)
end{array}
此时母函数表示为：
begin{array}{c}
sum_{n=0}^infty T_n(x)t^n = frac{1-tx}{1-2tx t^2}
end{array}
T_0(x) = 1 T_1(x) = x T_2(x) = 2x^2 - 1 T_3(x) = 4x^3 - 3x T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 1 T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 5x cdots 2.2 第二类切比雪夫多项式 begin{array}{c}
U_0(x) = 1 \
U_1(x) = 2x \
U_{n 1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x)
end{array}
此时母函数表示为：
begin{array}{c}
sum_{n=0}^infty U_n(x)t^n = frac{1}{1-2tx t^2}
end{array}
U_0(x) = 1 U_1(x) = 2x U_2(x) = 4x^2 - 1 U_3(x) = 8x^3 - 4x U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 1 U_5(x) = 32x^5 - 32x^3 6x cdots 3. 性质 T_n 和 U_n 都是区间 [-1,1] 上的正交多项式系。
第一类切比雪夫多项式
带权 frac{1}{sqrt{1-x^2}} ，满足
begin{array}{c}
int_{-1}^1 T_n(x) T_m(x) frac{dx}{sqrt{1-x^2}} = begin{cases}
0 & n ne m \
pi & n = m = 0 \
frac{pi}{2} & n = m ne 0
end{cases}
end{array}
第二类切比雪夫多项式
带权 sqrt{1-x^2} ，满足
begin{array}{c}
int_{-1}^1 U_n(x) U_m(x) sqrt{1-x^2} dx = begin{cases}
0 & n = m \
frac{pi}{2} & n ne m
end{cases}
end{array}
对每个非负整数 n ，T_{n}(x) 和 U_{n}(x) 都为 n 次多项式。并且当 n 为偶（奇）数时，它们是关于 x 的偶（奇）函数，在写成关于 x 的多项式时只有偶（奇）次项。 n geq 1 时，T_{n} 的最高次项系数为 2^{n-1} ，n = 0 时系数为 1 。
两类切比雪夫多项式有如下关系： begin{array}{c}
frac{d}{dx} T_n(x) = nU_{n-1}(x), n = 1,cdots \
T_n(x) = frac{1}{2} (U_n(x) - U_{n-2}(x)) \
T_{n 1}(x) = xT_n(x) - (1-x^2)U_{n-1}(x) \
T_n(x) = U_n(x) - xU_{n-1}(x)
end{array}
