幂矩阵和初等矩阵函数

1. 幂等矩阵

1.1 定义

若矩阵 boldsymbol{A}_{n times n} 满足：

begin{array}{c} boldsymbol{A}^2 = boldsymbol{AA} = boldsymbol{A} end{array}

则称矩阵 boldsymbol{A} 为幂等矩阵。

1.2 性质

函数 f(sboldsymbol{I} tboldsymbol{A}) = (boldsymbol{I} - boldsymbol{A})f(s) boldsymbol{A}f(s t)

猜想此处以及后面的函数 f(cdot) 应该是需要具备一定条件的，我猜可能是需要是要求 f(cdot) 能够进行泰勒展开。但我没有找到相关参考文献，有知道的朋友希望能告知一下～

2. 对合矩阵（幂单矩阵）

2.1 定义

若矩阵 boldsymbol{A}_{n times n} 满足：

begin{array}{c} boldsymbol{A}^2 = boldsymbol{A} boldsymbol{A} = boldsymbol{I} end{array}

则称矩阵 boldsymbol{A} 为对合矩阵或幂单矩阵。

2.2 性质

函数 f(sboldsymbol{I} tboldsymbol{A}) = frac{1}{2} [(boldsymbol{I} boldsymbol{A}) f(s t) (boldsymbol{I} - boldsymbol{A})f(s - t)]

3. 幂零矩阵

3.1 定义

若矩阵 boldsymbol{A}_{n times n} 满足：

begin{array}{c} boldsymbol{A}^2 = boldsymbol{AA} = boldsymbol{0} end{array}

则称矩阵 boldsymbol{A} 为幂零矩阵。

3.2 性质

函数 f(sboldsymbol{I} tboldsymbol{A}) = boldsymbol{I} f(s) t boldsymbol{A} f^{'}(s)

4. 初等矩阵函数

4.1 三角函数

sin(boldsymbol{A}) = sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^n boldsymbol{A}^{2n 1}}{(2n 1)!} = boldsymbol{A} - frac{1}{3!}boldsymbol{A}^3 frac{1}{5!}boldsymbol{A}^5 - cdots

cos(boldsymbol{A}) = sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^nboldsymbol{A}^{2n}}{(2n)!} = boldsymbol{I} - frac{1}{2!}boldsymbol{A}^2 frac{1}{4!}boldsymbol{A}^4 - cdots

4.2 指数函数和对数函数

e^boldsymbol{A} = sum_{n=0}^{infty} frac{1}{n!} boldsymbol{A}^n = boldsymbol{I} boldsymbol{A} frac{1}{2!} boldsymbol{A}^2 frac{1}{3!}boldsymbol{A}^3 cdots

ln(boldsymbol{I} boldsymbol{A}) = sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^{n-1}}{n} boldsymbol{A}^n = boldsymbol{A} - frac{1}{2} boldsymbol{A}^2 frac{1}{3} boldsymbol{A}^3 - cdots

对象存储

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