引言
滤波成形是核信号处理过程中的重要一步，而高斯滤波成形是其中一种极其重要的方法。Sallen-Key 电路和 CR-(RC)m滤波成形电路是常用的高斯滤波成形电路。
本文将对两种高斯滤波成形电路进行原理计算与电路仿真，将理论与仿真结果、不同仿真方法的结果进行对比，观察电路的输出波形。仿真结果表明，二者的滤波效果十分相近，与理论相比能够达到较为理想的效果。
电路原理
CR-(RC)m滤波成形电路
CR-(RC)m 滤波成形网络由一次 CR 微分和 m 次 RC 积分电路组成，当微分和积分时间常数相同时，该电路滤波的信噪比效果较好。级数m的选择也会影响滤波下效果，m 越大，成形的波形越趋于高斯型，脉冲的宽度越大，波形越趋于对称，但是信号的幅度变小。为了后续电路的测量，即为了在输出波形的顶部保持一定的宽度，我们希望输出波形是一个高斯型，我们在实际中常取 m=4 就可以得到较好的信噪比和准高斯型。CR-(RC)m 滤波电路的原理图如图 1所示。
Sallen-Key 电路
Sallen-Key 电路是一种二阶有源滤波电路，可以用较少的元件和级数实现更多次的积分，使输出的波形更接近高斯形状，还可以获得共轭复数极点，改善滤波成形电路的性能。与 CR-(RC)m 滤波电路一样，Sallen-Key 电路的级数越多，输出端的高斯成形效果越好。Sallen-Key 电路的原理图如图 2所示。第一级放大器是带通滤波器，相当于无源的CR-RC电路，放大器第二级是 Sallen-Key 电路，两级电路的时间常数相同。
传递函数
CR-(RC)m 滤波器的传递函数为：
H(s)=s(s 1τ)mH(s)=frac{s}{(s frac{1}{tau})^m} H(s)=(s τ1)ms
Sallen-Key 电路的传递函数为：
H(s)=−2sτ3(s 1τ)2[(1 1τ)2 1τ2]H(s)=-frac{2s}{tau^3(s frac{1}{tau})^2left[(1 frac{1}{tau})^2 frac{1}{tau^2}right]} H(s)=−τ3(s τ1)2[(1 τ1)2 τ21]2s
Multisim 仿真
Multisim 仿真电路图如图 3所示，各元件的值均在图中给出，两个电路的时间常数为τ1=τ2=4μsτ_1=τ_2=4mu sτ1=τ2=4μs，该时间常数可以获得较好的波形，输入信号为一占空比为1%，频率为100 kHz左右，幅度合适的矩形脉冲，用来模拟前置放大器的输出，利用 Multisim 软件的模拟示波器观察 A、B、C、D 点的输出波形，如图 4所示。
仿真波形给出，输入的矩形脉冲经过 CR-RC 电路后，输出的波形具有脉冲上升沿极短，而下降沿时间较长的指数信号。整个滤波成形电路给出的波形是比较标准的高斯型。
将波形数据归一化后利用 Origin 软件处理，得到波形图如图 5 所示，为了比较两个电路的滤波效果，比较二者输出波形的形状，为了评价二者输出的高斯型是否标准，对两个波形进行高斯拟合，根据软件给出的拟合结果显示，两个输出波形的高斯拟合相关系数均大于0.99，可以验证两个电路高斯滤波成形的有效性。
此外两个电路的输出波形在形状上几乎重叠，所以二者的滤波效果十分接近。
Spice 仿真
CR-(RC)4 的 Spice 仿真电路如图 6 所示，各元件的值与前文保持一致，使得时间常数为τ=4μsτ=4mu sτ=4μs。使用电压源产生幅度为1 V，宽度为100 ns的单个矩形脉冲，观察电路的输出波形如图 7 左所示。
对于理想冲击信号vi=Aδ(t)v_i=Adelta(t)vi=Aδ(t),由公式 1 可得电路的冲击响应为：
h(t)=t2(3τ−t)6τe−t/τh(t) = frac{t^2(3tau-t)}{6tau}e^{-t/tau} h(t)=6τt2(3τ−t)e−t/τ
因此信号会出现下冲。在实际情况下脉冲不能达到无限窄，输出信号是vo(t)=h(t)⊗vi(t)v_o(t)=h(t)otimes v_i(t)vo(t)=h(t)⊗vi(t)。当vi(t)=u(t)−u(t−tW)v_i(t)=u(t)-u(t-t_W)vi(t)=u(t)−u(t−tW)时，分析电路可知，仅当输入信号跳变时，CR 电路后才会有响应，因此输出可以看作δ(t)delta(t)δ(t)与−δ(t−tW)-delta(t-t_W)−δ(t−tW)两个信号输出的叠加，由于后者的影响，输出的下冲会更加明显。
调整信号源，是输出信号的幅度为1 V，频率f = 100 kHz，占空比为1%（即周期T = 10 μsmu sμs与时间常数τ=4μsτ=4mu sτ=4μs在同一量级,持续时间tWt_WtW = 100 ns），则输出波形如图 7 右所示。
观察稳定后的波形，可以发现其具有明显的直流分量，这是前面信号的下冲堆积产生的。去除该直流分量后，波形呈现高斯状，与理论符合很好。波形的拟合分析前文已经给出，后文不再赘述。
在 CR-(RC)4 电路前接入一运放，放大器采用 AD549 器件，提供±5 V的电压。电路参数如图 8 所示。当运算放大器的放大倍数A与反馈系数F之积足够大时，可视作理想运放，此时整体的传递函数HΣ(s)=1Cf1(s 1τ)mH_Sigma(s)=frac{1}{C_f}frac{1}{(s frac{1}{tau})^m}HΣ(s)=Cf1(s τ1)m1不再具有零点，实现了极零相消，输出波形无下冲（经放大器反向后为上冲），如图 9 所示。
