【注】此论文中谈论的图像均为像素值在 (0,255) 范围内的 RGB 图像，定义点 (i,j)处像素值为 f(i,j)。
1. 拉普拉斯分布特性
对于自然图像而言，点 (i,j)处的相邻像素点为
begin{array}{c}
{(i-1,j-1),(i-1,j),(i-1,j 1),(i,j-1),(i,j 1),(i 1,j-1),(i 1,j),(i 1,j 1)}
end{array}
对应的相邻像素点值为
begin{array}{c}
Q(i,j)={f(i-1,j-1),f(i-1,j),f(i-1,j 1),f(i,j-1),f(i,j 1),f(i 1,j-1),f(i 1,j),f(i 1,j 1)}
end{array}
定义序列
begin{array}{c}
f(i,j) - q(i,j) & forall i, j, q(i,j) in Q(i,j)
end{array}
则该序列基本符合均值为 000 ，方差很小的拉普拉斯分布。此即为自然图像相邻像素值的拉普拉斯分布特性。
2. JPEG 中的 DCT 和 IDCT 公式
JPEG 中采用的是 DCT-II 公式。其中
begin{array}{c}
C(x) = left{
begin{array}{c}
sqrt{frac{1}{8}} & x = 0 \
frac{1}{2} & x neq 0
end{array}
right.
end{array}
2.1 DCT 公式
begin{array}{c}
F(u,v) = C(u) C(v) sum_{i=0}^7 sum_{j=0}^7 f(i,j) cdot cos{frac{2i 1}{16} u pi} cos{frac{2j 1}{16} v pi}
end{array}
2.2 IDCT 公式
begin{array}{c}
hat{f}(i,j) = sum_{u=0}^7 sum_{v=0}^7 C(u) C(v) F(u,v) cdot cos{frac{2i 1}{16} u pi} cos{frac{2j 1}{16} v pi}
end{array}
3. AC 系数预测 DC 系数
3.1 原理
相邻图像块边界的图像像素值满足拉普拉斯分布，因此可以用来预测相邻块的 DC 分量。假设已知相邻两个8×8 图像块边缘相邻的两个图像点像素值：
begin{array}{c}
p^{(k)} = rho^{(k)} frac{1}{N^2} c_{1,1}^{(k)} \
p^{(k 1)} = rho^{(k 1)} frac{1}{N^2} c_{1,1}^{(k 1)}
end{array}
其中，ρ 表示组成像素值 p 的所有 AC 分量部分，c_{1,1}表示当前块的 DC 分量（本质上为frac{F(0,0)}{C(0)C(0)} ）。则根据拉普拉斯特性有：
begin{array}{c}
& p^{(k 1)} & approx & p^{(k)} \
Rightarrow & rho^{(k 1)} frac{1}{N^2} c_{1,1}^{(k 1)} & approx & rho^{(k)} frac{1}{N^2} c_{1,1}^{(k)} \
Rightarrow & c_{1,1}^{(k 1)} & approx & c_{1,1}^{(k)} N^2 (rho^{(k)} - rho^{(k 1)})
end{array}
因此，如果当前图像块的 DC 分量缺失，其实是可以用相邻块来进行预测。其主要思想就是用未缺失的 AC 分量结合相邻块的 DC 分量来预测当前块的 DC 分量。
3.2 方式
因为 JPEG 是以 8×8 大小划分图像块的，以第一种方式为例，预测得到的当前块的 DC 系数为：
begin{array}{c}
c_{1,1}^{(k 1)} approx c_{1,1}^{(k)} frac{N^2}{8} sum_{i=1}^8 (rho^{(k)}_i - rho^{(k 1)}_i)
end{array}
4. JPEG 压缩中 DC 系数与 AC 系数之间的制约关系
由于 DC 系数（frac{1}{N^2} c_{1,1}）是 8×8 图像块像素值的均值，且像素值的范围为 (0,255)，故 DC 系数与 AC 系数之间会相互制约：
- 若 AC 系数的可变化范围大，则说明 DC 系数较小。
- 若 DC 系数较大，则说明 AC 系数的可变化范围小。
DC 系数和 AC 系数的取值范围不同，且最值不能同时取到。比如：
- DC 系数的取值范围为 [−1024,1024]。
- 某些 AC 系数的取值范围为 [−420.3863,420.3863]。
