题目描述
这是 LeetCode 上的「2049. 统计最高分的节点数目」，难度为「中等」。
Tag : 「图论」、「线性 DP」、「容斥原理」
给你一棵根节点为 0 的 二叉树 ，它总共有 n 个节点，节点编号为 0 到 n - 1 。
同时给你一个下标从 0 开始的整数数组 parents 表示这棵树，其中 parents[i] 是节点 i 的父节点。由于节点 0 是根，所以 parents[0] == -1 。
一个子树的 大小 为这个子树内节点的数目。每个节点都有一个与之关联的 分数 。求出某个节点分数的方法是，将这个节点和与它相连的边全部 删除 ，剩余部分是若干个 非空 子树，这个节点的 分数 为所有这些子树 大小的乘积 。
请你返回有 最高得分 节点的 数目 。
示例 1:
输入：parents = [-1,2,0,2,0]
输出：3
解释：
- 节点 0 的分数为：3 * 1 = 3
- 节点 1 的分数为：4 = 4
- 节点 2 的分数为：1 * 1 * 2 = 2
- 节点 3 的分数为：4 = 4
- 节点 4 的分数为：4 = 4
最高得分为 4 ，有三个节点得分为 4 （分别是节点 1，3 和 4 ）。
示例 2：
输入：parents = [-1,2,0]
输出：2
解释：
- 节点 0 的分数为：2 = 2
- 节点 1 的分数为：2 = 2
- 节点 2 的分数为：1 * 1 = 1
最高分数为 2 ，有两个节点分数为 2 （分别为节点 0 和 1 ）。
提示：
- n == parents.length
- 2 <= n <= 10^5
- parents[0] == -1
- 对于 i != 0 ，有 0 <= parents[i] <= n - 1
- parents
表示一棵二叉树。
建图 DFS
为了更具有一般性，我们假定该树为多叉树。
由于题目给定的 parents 数组仅支持我们快速查找某个节点的父节点，为了方便遍历整棵树，我们先使用「邻接表」将图（树）建起来。
然后使用 DFS 预处理出 f 数组，其中 f[i] 代表以节点 i 为根节点的子树所包含的节点数量。
考虑如何计算「删除某个节点 x 后，剩余连通块的数量，以及每个连通块的节点数量」，根据节点 x 是否为根节点进行分情况讨论：
- 若 x 为根节点，删除后的连通块的数量为「x 的出边数量」，假定共有 k 条出边，根据题目定义，对应的 大小 为各个连通块的节点数量乘积：f[u_1] times f[u_2] times ... times f[u_k]
- 若 x 不是根节点，删除后的连通块的数量为「x 的出边数量 1 」，其中 1 代指「以 x 节点的父节点所在的整体连通块」。假定节点 x 共有 k 条出边，根据题目定义，对应的 大小 为「(各个连通块的节点数量乘积) times (x 节点的父节点所在的整体连通块大小)」，而「x 节点的父节点所在的整体连通块大小」，利用容斥原理可知为 f[root] - f[u] = n - f[u] ，含义为「从原树中减掉以节点 x 为根节点的子树」的部分，即最终 大小 为：(f[u_1] times f[u_2] times ... times f[u_k]) times (n - f[x])
代码：
代码语言：javascript复制class Solution {
static int N = 100010, M = N * 2;
static int[] he = new int[N], e = new int[M], ne = new int[M];
static int[] f = new int[N];
int idx;
void add(int a, int b) {
e[idx] = b;
ne[idx] = he[a];
he[a] = idx ;
}
public int countHighestScoreNodes(int[] parents) {
Arrays.fill(he, -1);
int n = parents.length;
for (int i = 1; i < n; i ) add(parents[i], i);
dfs(0);
long max = 0;
int ans = 0;
for (int x = 0; x < n; x ) {
long cur = 1;
for (int i = he[x]; i != -1; i = ne[i]) cur *= f[e[i]];
if (x != 0) cur *= n - f[x];
if (cur > max) {
max = cur; ans = 1;
} else if (cur == max) {
ans ;
}
}
return ans;
}
int dfs(int u) {
int ans = 1;
for (int i = he[u]; i != -1; i = ne[i]) ans = dfs(e[i]);
f[u] = ans;
return ans;
}
}
- 时间复杂度：建图复杂度为 O(n) ；通过
DFS预处理f数组复杂度为 O(n m) ，其中 m 为边数，对于本题（二叉树）而言，点边数量级相等，因此DFS预处理的复杂度为 O(n) ；模拟删除任意点并统计答案的复杂度为 O(n m) ，对于本题（二叉树）而言，数量级为 O(n) 。整体复杂度为O(n) - 空间复杂度：O(n)
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.2049 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。
在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。
