二进制中1的个数

前言

有一个整数，想知道它的二进制表示中有多个1，你会怎么做？本文将带大家深入学习下二进制以及它的各种运算，一步步的研究出这个问题的解决方案，欢迎各位感兴趣的开发者阅读本文。

前置知识

在解决这个问题之前，我们需要先了解下什么是二进制。

二进制

在计算机的世界里，只有0和1，也就是二进制。

符号数

在二进制中，数被分为有符号数和无符号数。

对于有符号数而言，符号的正、负机器是无法识别的，但由于“正、负”恰好是两种截然不同的状态，如果用“0”表示正，用“1”表示“负”，这样符号也被数字化了，并且规定将它放在有效数字的前面，即组成了有符号数。

因此，在二进制中使用最高位来表示符号。

最高位是0，表示正数。
最高位是1，表示负数。

二进制的最高位就是其第一位，例如：10000001100，它的最高位就是1。

对于无符号数而言，它表示的数其范围都是正数，所有位都用于表示数的大小。

有符号数的性质

对于有符号数而言，它有6个性质：

二进制的最高位是符号位：0表示正数，1表示负数
正数的原码、反码、补码都一样
负数的反码 = 它的原码符号位不变，其它位取反（0 -> 1; 1 -> 0）
0的反码、补码都是0
负数的补码 = 它的反码 1
在计算机运算的时候，都是以补码的方式来运算的

原码、反码、补码

上述性质中，我们提到了原码、反码、补码，接下来我们来学习下他们究竟是什么样的数字。

原码，分为两种情况：
- 一个正数，按照绝对值大小转换成的二进制数
- 一个负数，按照绝对值大小转换成的二进制数，然后最高位补1
反码，也分为两种情况：
- 一个正数，它的反码与它的原码是相同的
- 一个负数，它的反码为该数的原码除符号位外，各位取反
补码，也分为两种情况：
- 一个正数，它的补码与它的原码也是相同的
- 一个负数，它的补码为对该数的原码除符号位外各自取反后，在最后一位加1

进制转换

我们要对二进制进行运算，需要先将十进制数转为二进制，因此我们需要先学习下十进制转二进制的方法。

十进制转二进制

将十进制转为二进制主要分为三种情况：

正整数转二进制

计算规则为：除二取余(直至商为0)，然后倒序排列，高位补零。

知道规则后，我们举个例子，求一下80所对应的二进制数，如下图所示：

image-20211025213251590

计算机内部表示数的字节单位是定长的（字长），如：8、16、32、64位。因此当计算出来的二进制的位数不够时，需要在高位进行补0。上述例子中，我们将80转为二进制数后，它的值为：1010000，字长为7，如果计算机的字长是64位，那么标准写法就是在它的最高位前面补57个0，我们用计算器来验证下，如下所示：

image-20211006101942620

负整数转二进制

在计算机中，负数是以原码的补码形式进行表达的，通过前面的学习，我们知道了想求负数的补码，就得先求出它的原码。

我们以-80为例来计算下它的二进制码，步骤如所示：

求原码，如下图所示：

image-20211025213338223

求补码，如下图所示：

image-20211014233217872

至此，我们得到了-80的二进制码：10110000

在正整数转二进制部分，我们讲了计算机是固定字长的，当计算出来的二进制位数不够时，正整数会在高位补0，负整数则会在高位补1。我们用计算器来验证下我们计算出来的-80的二进制码是否正确，如下所示：

image-20211014233921705

小数转二进制

在二进制中，小数被称为浮点数，我们在将十进制小数转换为二进制小数时，需要以小数点为界限，将其拆分为整数部分和小数部分。

整数部分转为二进制，我们在前面已经讲过了（即除2取余）

小数部分转为二进制的方法为：乘2取整数部分，继续用小数部分乘2，直至小数部分为0（大多数情况下不会为0，需要确立精度）

我们以80.13为例来计算下它的二进制码，如下图所示：

image-20211026003224757

计算机中用二进制来表示小数时，大部分十进制小数都不能精确的用二进制来表示，当表示这种小数时，最大精确多少位，取决于计算机的字长。上图中，我们计算出了80.13的二进制码为01010000.00100，我们精确到了小数点后5位。我们用计算器来验证下是否正确。

image-20211026004819315

二进制转十进制

同样的，二进制转十进制也分为三种情况：

正整数转十进制

从二进制的最低位开始，给每一位标上序号，取出不为0位置的数的序号，将其作为2的次方进行计算，最后将结果相加。

我们以01010000为例，求一下它的十进制数，如下图所示：

image-20211028233947922

负整数转十进制

前面我们学习了十进制负整数转二进制的方法，那么二进制转十进制，则需要倒着来算，我们以10110000为例，步骤如下所示：

根据补码求原码

image-20211029001747628

除去符号位，对其他位按照正整数转二进制的规则进行计算，最后补上负号，如下图所示：

image-20211029002527261

小数转十进制

给小数点后每一位标上负序号（从-1开始），取出不为0位置的数的序号，将其作为2的次方进行计算，最后将结果相加。

我们以01010000.00100为例，求出它的十进制数，如下图所示：

image-20211029231026693

经过前面的学习，我们知道了十进制小数转二进制时，大多数情况是无法得到精确值的，我们用80.13举例时，精确到了小数点后5位。同样的，我们将二进制小数转换为十进制数时，也是无法得到准确值的，最终值也取决于精度，此处我们保留2位小数，四舍五入后就为80.13。

有符号数的运算

了解完前置知识，接下来我们举几个例子来看下有符号数是如何进行运算的。

左移运算符

<<称为左移运算符，它的运算规则为：

移除二进制数最高位的0
在二进制数的末尾补上一个0

我们以01010000为例，假设他的字长为32位（多余的0省略），对其左移一位，它的运算过程如下图所示：

image-20211030191646272

左移1位后，我们计算出来的结果为：010100000，转换成十进制后结果为2^5 2^7 = 32 128 = 160。

01010000的十进制数为80，左移动1位后，值变为了160，经过观察后，我们发现左移后的值正好是原值的2倍，等价于乘2操作。

大多数情况下我们可以将其当作乘2使用，但在一些特殊情况下它并不代表真正的乘2，例如，我们需要将其左移25位，如下图所示（我们把省略的0补上）：

image-20211030191558946

左移25位后，我们发现它左侧的0已被删完，最高位变成了1，这个数也从原来的正数，变为了负数。如果我们左移26位，左侧的0不够，会开始从右侧取值，最终的值又变成了正数。

因此，我们会发现这样一条规律：

当左移的位数，超过剩余字长时，它的值并非乘2

注意：如果任意一个二进制数，左移的位数大于等于字长（例如字长为32，我们左移32位，右边补32个0），那么与之对应的十进制数岂不是都为0了？当然不是，二进制数进行左移时，当移动的位数大于等于它的字长时，位数会先求余数，然后再进行左移。例如：我们需要对一个字长为32位的二进制数进行左移32位，那么就需要先求它的余数，即：32 % 32 = 0，需要左移0位。左移33位的值和左移1位是一样的。