深度学习教程 | 深层神经网络

作者：韩信子@ShowMeAI
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本系列为吴恩达老师《深度学习专项课程(Deep Learning Specialization)》学习与总结整理所得，对应的课程视频可以在这里查看。

引言

在ShowMeAI前一篇文章 浅层神经网络 中我们对以下内容进行了介绍:

神经网络的基本结构(输入层，隐藏层和输出层)。
浅层神经网络前向传播和反向传播过程。
神经网络参数的梯度下降优化。
不同的激活函数的优缺点及非线性的原因。
神经网络参数随机初始化方式

本篇内容我们将讨论深层神经网络。

1.深层神经网络

我们在前面提到了浅层神经网络，深层神经网络其实就是包含更多隐层的神经网络。下图分别列举了不同深度的神经网络模型结构：

我们会参考「隐层个数」和「输出层」对齐命名。如上图逻辑回归可以叫做1 layer NN，单隐层神经网络可以叫做2 layer NN，2个隐层的神经网络叫做3 layer NN，以此类推。所以当我们提到L layer NN，指的是包含L-1 个隐层的神经网络。

下面我们来了解一下神经网络的一些标记写法。以如下图的4层神经网络为例：

① 总层数用L 表示，L=4

输入层是第0 层，输出层是第L 层

② n^{[l]} 表示第l 层包含的单元个数，l=0,1,cdots,L

下图模型中，n^{[0]}=n_x=3 ，表示三个输入特征x_1 、x_2 、x_3
下图模型中n^{[1]}=5 ，n^{[2]}=5 ，n^{[3]}=3 ，n^{[4]}=n^{[L]}=1

③ 第l 层的激活函数输出用a^{[l]} 表示，a^{[l]}=g^{[l]}(z^{[l]})

④ W^{[l]} 表示第l 层的权重，用于计算z^{[l]}

⑤ 输入x 记为a^{[0]}

⑥ 输出层hat y 记为a^{[L]}

注意，a^{[l]} 和W^{[l]} 中的上标l 都是从1开始的，l=1,cdots,L 。

2.深层神经网络前向运算

深层网络中的前向和反向传播 Forward Propagation in a Deep Network

下面我们来推导一下深层神经网络的前向传播计算过程。依旧是上面提到的4层神经网络，我们以其为例来做讲解。

2.1 单个样本的计算

对于单个样本，我们有：

2.2 m个样本的批量计算

对于m 个训练样本的情况，我们以向量化矩阵形式来并行计算：

以此类推，对于第l 层，其前向传播过程的Z^{[l]} 和A^{[l]} 可以表示为：

Z^{[l]}=W^{[l]}A^{[l-1]} b^{[l]}

A^{[l]}=g^{[l]}(Z^{[l]})

其中l=1,cdots,L

3.向量化形态下的矩阵维度

核对矩阵的维数 Getting Your Matrix Dimensions Right

在单个训练样本的场景下，输入x 的维度是(n^{[0]},1) 神经网络的参数W^{[l]} 和b^{[l]} 的维度分别是：

W^{[l]}: (n^{[l]},n^{[l-1]})
b^{[l]}: (n^{[l]},1)

其中，

l=1,cdots,L
n^{[l]} 和n^{[l-1]} 分别表示第l 层和l-1 层的所含单元个数
n^{[0]}=n_x ，表示输入层特征数目

对应的反向传播过程中的dW^{[l]} 和db^{[l]} 的维度分别是：

dW^{[l]}: (n^{[l]},n^{[l-1]})
db^{[l]}: (n^{[l]},1)
注意到，W^{[l]} 与dW^{[l]} 维度相同，b^{[l]} 与db^{[l]} 维度相同。这很容易理解。

正向传播过程中的z^{[l]} 和a^{[l]} 的维度分别是：

z^{[l]}: (n^{[l]},1)
a^{[l]}: (n^{[l]},1)
z^{[l]} 和a^{[l]} 的维度是一样的，且dz^{[l]} 和da^{[l]} 的维度均与z^{[l]} 和a^{[l]} 的维度一致。

对于m 个训练样本，输入矩阵X 的维度是(n^{[0]},m) 。需要注意的是W^{[l]} 和b^{[l]} 的维度与只有单个样本是一致的：

W^{[l]}: (n^{[l]},n^{[l-1]})
b^{[l]}: (n^{[l]},1)

只不过在运算Z^{[l]}=W^{[l]}A^{[l-1]} b^{[l]} 中，b^{[l]} 会被当成(n^{[l]},m) 矩阵进行运算，这是基于python numpy的广播特性，且b^{[l]} 每一列向量都是一样的。dW^{[l]} 和db^{[l]} 的维度分别与W^{[l]} 和b^{[l]} 的相同。

不过，Z^{[l]} 和A^{[l]} 的维度发生了变化：

Z^{[l]}: (n^{[l]},m)
A^{[l]}: (n^{[l]},m)
dZ^{[l]} 和dA^{[l]} 的维度分别与Z^{[l]} 和A^{[l]} 的相同。

4.为什么需要深度网络

当今大家看到的很多AI智能场景背后都是巨大的神经网络在支撑，强大能力很大一部分来源于神经网络足够“深”，也就是说随着网络层数增多，神经网络就更加复杂参数更多，学习能力也更强。下面是一些典型的场景例子说明。

4.1 人脸识别例子

如下图所示的人脸识别场景，训练得到的神经网络，每一层的作用有差别：

第一层所做的事就是从原始图片中提取出人脸的轮廓与边缘，即边缘检测。这样每个神经元得到的是一些边缘信息。
第二层所做的事情就是将前一层的边缘进行组合，组合成人脸一些局部特征，比如眼睛、鼻子、嘴巴等。
后续层次逐层把这些局部特征组合起来，融合成人脸的模样。

可以看出，随着层数由浅到深，神经网络提取的特征也是从边缘到局部特征到整体，由简单到复杂。隐藏层越多，能够提取的特征就越丰富、越复杂，模型的准确率也可能会随之越高。（详细的人脸识别原理可以查看ShowMeAI的文章 CNN应用：人脸识别和神经风格转换 ）

4.2 语音识别例子

语音识别模型也是类似的道理：

浅层的神经元能够检测一些简单的音调
较深的神经元能够检测出基本的音素
更深的神经元就能够检测出单词信息
网络足够深的话，还能对短语、句子进行检测

神经网络从浅到深，提取的特征从简单到复杂。特征复杂度与神经网络层数成正相关。特征越来越复杂，表达能力和功能也越强。（详细的语音识别原理知识可以查看ShowMeAI的文章 Seq2seq序列模型和注意力机制 ）

4.3 深度网络其他优势

除学习能力与特征提取强度之外，深层网络还有另外一个优点，就是能够减少神经元个数，从而减少计算量。

下面有一个例子，使用电路理论，计算逻辑输出：

y=x_1oplus x_2oplus x_3opluscdotsoplus x_n

上面的计算表达式中，oplus 表示「异或」操作。

对于这个逻辑运算，如果使用深度网络完成，每层将前一层的两两单元进行异或，最后到一个输出，如下图左边所示。

这样，整个深度网络的层数是log_2(n) (不包含输入层)。总共使用的神经元个数为：

1 2 cdots 2^{log_2(n)-1}=1cdotfrac{1-2^{log_2(n)}}{1-2}=2^{log_2(n)}-1=n-1

可见，输入个数是n ，这种深层网络所需的神经元个数仅仅是n-1 个。

如果不用深层网络，仅仅使用单个隐藏层，如上右图所示，由于包含了所有的逻辑位(0和1)，那么需要的神经元个数O(2^n) 是指数级别的大小。

对于其他场景和问题也一样，处理同样的逻辑问题，深层网络所需的神经元个数比浅层网络要少很多。这也是深层神经网络的优点之一。

尽管深度学习有着非常显著的优势，吴恩达老师还是建议对实际问题进行建模时，尽量先选择层数少的神经网络模型，这也符合奥卡姆剃刀定律(Occam’s Razor)。对于比较复杂的问题，再使用较深的神经网络模型。

5.构建深度网络单元块

搭建神经网络块 Building Blocks of Deep Neural Networks

下面用流程块图来解释神经网络前向传播和反向传播过程。

如图所示，对于第l 层来说，前向传播过程中，我们有：

输入：a^{[l-1]}
输出：a^{[l]}
参数：W^{[l]} 、b^{[l]}
缓存变量：z^{[l]}

反向传播过程中：

输入：da^{[l]}
输出：da^{[l-1]} 、dW^{[l]} 、db^{[l]}
参数：W^{[l]} 、b^{[l]}

上面是第l 层的流程块图，对于神经网络所有层，整体的流程块图前向传播过程和反向传播过程如下所示：

6.前向传播与反向传播

前向传播和反向传播 Forward and Backward Propagation

我们继续接着上一部分流程块图的内容，推导神经网络正向传播过程和反向传播过程的具体表达式。

6.1 前向传播过程

令层数为第l 层，输入是a^{[l-1]} ，输出是a^{[l]} ，缓存变量是z^{[l]} 。其表达式如下：

z^{[l]}=W^{[l]}a^{[l-1]} b^{[l]}

a^{[l]}=g^{[l]}(z^{[l]})

m 个训练样本的形态下，向量化形式为：

Z^{[l]}=W^{[l]}A^{[l-1]} b^{[l]}

A^{[l]}=g^{[l]}(Z^{[l]})

6.2 反向传播过程

输入是da^{[l]} ，输出是da^{[l-1]} 、dW^{[l]} 、db^{[l]} 。其表达式如下：

dz^{[l]}=da^{[l]}ast g^{[l]prime}(z^{[l]})

dW^{[l]}=dz^{[l]}cdot a^{[l-1]}

db^{[l]}=dz^{[l]}

da^{[l-1]}=W^{[l]T}cdot dz^{[l]}

由上述第四个表达式可得da^{[l]}=W^{[l 1]T}cdot dz^{[l 1]} ，将da^{[l]} 代入第一个表达式中可以得到：

dz^{[l]}=W^{[l 1]T}cdot dz^{[l 1]}ast g^{[l]prime}(z^{[l]})

该式非常重要，反映了dz^{[l 1]} 与dz^{[l]} 的递推关系。

m 个训练样本的形态下，向量化形式为：

d Z^{[l]}=d A^{[l]}ast g^{[l]prime} (Z^{[l]})

dW^{[l]}=frac1mdZ^{[l]}cdot A^{[l-1]T}

db^{[l]}=frac1mnp.sum(dZ^{[l]},axis=1,keepdim=True)

dA^{[l-1]}=W^{[l]T}cdot dZ^{[l]}

dZ^{[l]}=W^{[l 1]T}cdot dZ^{[l 1]}ast g^{[l]prime}(Z^{[l]})

7.参数与超参数

神经网络中有两个大家要重点区分的概念：参数(parameters)和超参数(hyperparameters)。

神经网络中的参数就是我们熟悉的W^{[l]} 和b^{[l]} 。
神经网络的超参数是例如学习率alpha ，训练迭代次数N ，神经网络层数L ，各层神经元个数n^{[l]} ，激活函数g(z) 等。
之所以叫做超参数，是因为它们需要提前敲定，而且它们会决定参数W^{[l]} 和b^{[l]} 的值。

如何设置最优的超参数是一个比较困难的、需要经验知识的问题。通常的做法是选择超参数一定范围内的值，分别代入神经网络进行训练，测试cost function随着迭代次数增加的变化，根据结果选择cost function最小时对应的超参数值。这类似于机器学习中的实验验证的方法。(关于机器学习的模型评估详见 ShowMeAI文章图解机器学习 | 模型评估方法与准则)