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原创投稿
008
基于微分先行法的最优温度控制系统设计
王芳
一、引 言
1.1 研究背景
温度是生活及生产中最基本的物理量,它表征的是物体的冷热程度。自然界中任何物理、化学过程都紧密地与温度相联系。在很多生产过程中，温度的测量和控制都直接和安全生产、提高生产效率如消防报警、冷库温度调节、仓库温度检测等等。因此以温度参数为基础而设计的温度控制系统被广泛开发和使用。
使用传统意义上的温度计采集温度信息，不但采集精度低，实时性差，而且操作人员的劳动强度高，不利于广泛的推广。此外由于环境因素导致的数据难以采集的问题，特别是在工厂，火灾等的现场，工作人员不能长时间停留在现场观察和采集温度，就需要实现能够将数据采集并将其传送到一个地方集中进行处理，以节省人力，提高效率，但这样就会出现数据传输的问题，由于厂房大、需要传输数据多，使用传统方法容易造成资源浪费而且可操作性差，精度不高，这都在不同程度上限制了工作的进行和展开。因此，高精度，低成本，实时性好的温度控制系统亟待人们去开发。
而本次实验正是基于贝加莱公司的ETAL温度控制模型，设计出应用于温度调节的控制器。
1.2 实验描述
图1.1ETAL 温度控制模型
ETAL 温度控制模型用于模拟工业生产中多温区测量和控制系统。这类多输入多输出被控对象，同时具有强耦合性、非线性和变参数等不利于控制的特性。ETAL 温度控制模型由两部分组成，PLC 控制器部分和温度控制部分。其中 PLC 控制器部分主要为 B&RX20 系列标准型 CPU X20CP1584；而温度控制部分由 B&R X20 系列 IO 模块，以及温度控制模型本体构成。利用 B&R 控制系统的开放性，除了使用工业控制行业常用的 PID 控制策略进行控制之外，也可以尝试使用各种现代控制理论进行多温区控制算法的基础研究并在模型上得到验证。
PLC 控制器部分与温度控制部分通过 POWERLINK 工业以太网相互连接，PLC CPU 控制器作为 POWERLINK 主站，而温度控制部分中的 X20BC0083 模块及其后携带的 I/O 模块作为 POWERLINK 的从站。PLC CPU 控制器主要实现自动化程序的实现以及对 POWERLINK 从站 I/O 模块的控制；温度控制部分的I/O 模块实现对传感器（测温热电偶）及执行器（风扇和加热管）的连接与控制，并将这些信息通过X20BC0083 总线控制器，以 POWERLINK 协议通讯的方式与 PLC CPU 控制器交互。温度控制部分的模型则模拟了三个温区的加热控制对象，通过调节加热管和风扇的输出，可以控制被加热对象的温度高低；同时每个温区的三个不同位置的热电偶可检测这些区域的温度，构成了一个闭环控制系统。
二、电加热数学模型分析
该装置是利用电加热的原理，通过在铝型材下端安装加热管，来使铝型材升温。铝型材形状如下图2.1：
图2.1 铝型材形状
由于加热器接触加热数学模型参数势必受到环境温度、铝材自身长度及横截面积等因素
影响，这使得型材加热数学模型建立困难。为了便于分析，采用曲线法构建铝型材加热数学模型：以给定器材为材料，使用加热器进行最大功率加热，最终得到的型材上端温度T和通电时间t之间的实验曲线图2.2：
图2.2 铝型材上端温度T和通电时间t之间的实验曲线图
根据所得曲线得到近似的传递函数：
该传递函数输入100的阶跃响应如图2.3：
图2.3 传递函数输入100的阶跃响应曲线图
测试该系统在不同Kp（5,10，15,20,25）下闭环系统的50单位的阶跃响应曲线，得到下图2.4，图中曲线由下至上Kp依次增加：
图2.4不同Kp下阶跃响应曲线
可以看出，比例系数增加，闭环系统的灵敏性增加，稳态误差减小，系统振荡增强，但是系统的稳定性能会随着Kp的增大而变差。
测试该系统在同一Kp（20）、不同Ki（0.02,0.04，0.06,0.08,0.1）下闭环系统的50单位的阶跃响应曲线，得到下图2.5，图中曲线由下至上Ki依次增加：
图2.5 同一Kp不同Ki下阶跃响应曲线
可以看出，系统的超调量会随着Ki值的加大而增加，系统稳定时间随着Ki值的加大会略微变慢。
测试该系统在同一Kp（20）、同一Ki（0.02）、不同Kd（20,40，60,80,100）下闭环系统的50单位的阶跃响应曲线，得到下图2.5，图中曲线由下至上Kd依次减少：
图2.5 同Kp、Ki不同Kd下阶跃响应曲线
可以看出微分具有预报作用，能够减小超调量，同时响应时间变快。
对于PID 参数采用MATLAB 进行整定和仿真，虽然使用的数学模型不能十分精准地还原控制对象特性，但使用起来不仅快捷、方便，而且更为直观，同时也PID参数调试提供了一些参考价值：
（1）系统的响应速度会随Kp值的增大而加快，同时也有助于静差的减小，而Kp值过大则会使系统有较大超调，稳定性变坏；此外，系统的动作会因为过小的Kp值减慢。
（2）超调的减小、振荡变小以及系统稳定性的增加都取决于积分时间Ti的增大，但是系统静差消除时间会因为Ti的增大而变长。
（3）增大微分时间Td对于系统的稳定性、系统响应速度的加快以及系统超调量的减小都会有所帮助。但是如果Td过大，则会使得调节时间较长，超调量也会增大；如果Td过小，同样地也会发生以上状况。
（4）总之PID 参数的整定必须考虑在不同时刻三个参数的作用以及彼此之间的作用关系。
三、控制方案
在工程实际中，应用最为广泛的调节器控制规律为比例、积分、微分控制，简称PID控制，又称PID调节。PID控制器问世至今已有近70年历史，它以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数学模型，控制理论的其它技术难以采用时，系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定。
故本次采取PID经验法调节的控制方案 。常规的PID控制系统原理框图如下图3.1所示，系统由PID控制器和被控对象组成。
图3.1PID控制系统原理框图
PID控制器是一种线性控制器，它根据给定值r(t)与实际输出值y(t)构成控制偏差e(t), e(t)作为PID控制的输入，u(t)作为PID控制器的输出和被控对象的输入。所以PID控制器的控制方程为：
PID控制器包含比例控制、积分控制、微分控制三个部分：
(1)比例控制（P）
比例控制是一种最简单的控制方式。其控制器的输出与输入误差信号成比例关系。当仅有比例控制时系统输出存在稳态误差。
(2)积分控制 (I)
在积分控制中，控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关系。对一个自动控制系统，如果在进入稳态后存在稳态误差，则称这个控制系统是有稳态误差的或简称有差系统。为了消除稳态误差，在控制器中必须引入积分项。积分项对误差取决于时间的积分，随着时间的增加，积分项会增大。这样即便误差很小，积分项也会随着时间的增加而加大，它推动控制器的输出增大使稳态误差进一步减小，直到等于零。因此，比例加积分(PI)控制器，可以使系统在进入稳态后无稳态误差，但是随着积分作用的加强，系统的超调逐渐变大，系统将变得不稳定。
(3)微分控制 (D）
在微分控制中，控制器的输出与输入误差信号的微分(即误差的变化率)成正比关系。自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会出现振荡甚至失稳。其原因是由于存在有较大惯性组件(环节)或有滞后组件，具有抑制误差的作用， 其变化总是落后于误差的变化。解决的办法是使抑制误差的作用的变化“超前”，即在误差接近零时，抑制误差的作用就应该是零。这就是说，在控制器中仅引入“比例”项往往是不够的，比例项的作用仅是放大误差的幅值，而目前需要增加的是“微分项”，它能预测误差变化的趋势，这样，具有比例微分的控制器，就能够提前使抑制误差的控制作用等于零，甚至为负值，从而避免了被控量的严重超调。所以对有较大惯性或滞后的被控对象，比例微分(PD)控制器能改善系统在调节过程中的动态特性。
在普通PID控制中，引入积分环节的目的主要是为了消除静差，提高控制精度。但在过程的起动、结束或大幅度增减设定时，短时间内系统输出有很大的偏差，会造成PID运算的积分积累，致使系统稳态时会有较大的振荡，这也是不期望的。而在本实验中，由于金属棒上端温度控制存在滞后性，使得加热时间比较长，在实际调试中即使微分参数设定的很大也一直有着超调和大振荡的问题，并且加热时间比较长，故采取微分先行的控制方法：即当温度上升至接近α阈值之前采用PD控制，在此之后采用PID控制。这样既避免的系统的大幅振荡，又解决了PD控制的静差的问题。
PID控制的参数整定采取衰减法，将调节器积分时间设定为无穷大、微分时间设定为零，（即Ti＝∞，Td＝0），比例度适当取值，调节系统按纯比例作用投入。系统稳定后，逐步减小比例度，直到调节过程变化达到规定的4：1衰减比为止，得到4：1衰减情况下的比例度δs和衰减操作周期Ts。
根据比例度δs和为临界周期Ts，可以计算出调节器参数整定值Pk=0.8δs，Pi=0.2Ts，Pd=0.1Ts。
PD控制的参数整定可以采取试凑法，先将Pk和Pd取一个较小值，观察反应曲线，若静差大则增加Pk，若超调大则增加Pd，直至曲线满意为止。
微分先行法控制的程序流程图如下图3.2所示:
图3.2 PID控制程序流程图
PID控制器采用的是系统中的MTBasicsPID功能块，其功能模块图如下图3.3所示：
图3.3PID控制器功能模块图
图中Enable为启动开关，PIDParameters为PID的设定参数（需要经验试凑），MaxOut和MinOut为控制器的最大输出和最小输出，由于需要将其输出赋值给PWM的占空比，这里我分别设定为100和0，SetValue和ActVue为温度的设定值和实际值。
PWM采用的是系统中的MTBasicsPWM功能块，其功能模块图如下图3.4所示：
图3.4PWM功能模块图
图中Enable为启动开关，Period为周期时间（设为0.2秒），MinPulseWidth为脉冲的最小持续时间（设为0.01秒），DutyCycle为占空比（0≤DutyCycle≤100），其值来自PID控制器的输出。
由于本次实验需要同时控制对3个金属管加热，故PWM使用了3个，而微分先行法使用了2次PID功能块，故PID控制器使用了6个。
四、系统调试及方案优化
根据上文提到的控制方案，对三根金属管同时用最大功率加热5分钟，观察对左边金属管的下端（1-1）、中间金属管的中端（2-2）和右边金属管的上端（3-3）的温度变化趋势，然后拟定调试方案。温升曲线图如下图所示：
图3.1 金属管三个部位温升曲线
如图中所示，在温升刚开始的阶段，金属管的下端温升比较迅速，中端温升响应速度一般，而上端温升存在着一定时间的滞后。经过一段时间之后，它们的温升速率相同。这是因为，加热器在金属管的下端，所以下端温升响应快而上端温升响应存在滞后，而最终三个部位温升速率相同。
3.1金属管上端调试
由于金属管上端加热存在一定的滞后，故采取微分先行法对其进行调试。首先采取衰减法进行PID控制的参数整定，对温度区域2-3进行纯比例控制，Pk先取一个较大值20，设定温度值为50℃，逐步减小Pk依次测试，直至衰减比至4:1为止。当Pk减小至8时，衰减比如图近似满足要求。
图3.2 对区域2-3纯比例控制温升曲线
由温升曲线图得到比例度δs=8和为临界周期Ts=340-185=155s，可以计算出调节器参数整定值Pk=0.8δs=6.4，Pi=0.3Ts=46.5s，Pd=0.1Ts=15.5s，使用该组PID参数对区域2-3整定温度至50℃，得到如图3.3温升曲线图：
图3.3Kp=3，Kd=4时，金属管上端温升曲线
从图中可以看出，该系统的调整时间约为224秒，稳态值约为49.2℃，稳态误差为0.8℃，超调量为2.1℃。
为提高系统的性能指标，减小稳态误差，先保持微分系数Pd=4不变，增大比例系数Pk分别取6、9、12，观察系统反应曲线的稳态误差能否满足要求。曲线图见下页图3.4：
图3.4Kd=4时，Kp分别取6、9、12的金属管上端温升曲线
从图中可以看出，当Pk=9时，系统的稳态误差为0.1℃，已满足要求，同时继续增大Pk会增加系统的超调量，故比例系数Pk取9。接下来保持Pk=9不变，增加微分系数Pd，直至系统的超调量满足要求，下图3.5为Pd分别取值为20、40、60的温度曲线图：
图3.5 Kp=9时，Kd分别取20、40、60、80的金属管上端温升曲线
从图中可以看出，Pd取值20、40、60、80时，系统的超调量约为为1.3℃、0.8℃、0.4℃，0.6℃当Pd取值40时已能满足要求，考虑到继续增加Pk会使对干扰的抑制能力会减弱，，最终对金属管上端温度控制的PD整定参数为Pk=9，Pd=60。
最后确定何时微分先行法中PD控制和PID控制的切换阈值α，为使控制器成功从PD切换到PID控制，需要得到PD控制时最大超调值A，同时也要避免控制器在PD控制和PID控制中来回切换，需要得到PID控制时稳态最小值B，只要阈值低于AB这两个数值，就能保证控制器的控制效果。
由于PD控制没有积分环节，继续提高设定温度减小系统超调值，故将设定温度定为允许最大值80℃，观察Pk=9、Pd=60时系统的最高温度曲线3.6，得到最高温度为设定值的100%：80℃。
图3.6 Pk=9、Pd=60，整定金属管上端至80℃
测试Pk=6.4、Pi=46.5、Pd=15.5情况下，设定温度分别为最大值80℃和最小值40℃的稳态最小值，得到如图3.7曲线图，观察到设定温度为80℃稳态时候的最小值为设定值的99.25%：79.4℃，设定温度为40℃时稳态时候最小值为设定值的99.5%：39.8℃，考虑到系统存在一定滞后性，故初步整定阈值为设定值的98%。
图3.7 Pk=6.4、Pi=46.5、Pd=15.5，设定温度80℃和40℃温度曲线
故最终对金属管上端进行温度整定的方案为：温度上升至设定值的98%之前进行PD控制，此后进行PID控制。PD控制的参数为：Pk=9、Pd=60。PID控制的参数为Pk=6.4、Pi=46.5、Pd=15.5。
观察在该控制方案对设定温度分别为40℃、50℃、80℃下的控制效果，如图3.6：
图3.6微分先行法整定金属管上端至40℃、50℃和80℃温升曲线图
可以看出该方法对40℃的整定曲线有些差强人意，振荡大且超调量较大导致调整时间较长，而对50℃和80℃的整定曲线符合要求，故该方法对于控制金属棒加热到50℃到80℃来说效果比较好，而对加热到40℃来说效果不太好。
3.2金属管中端调试
由于金属管中端温度曲线滞后性不大，故只用PID控制即可。对金属管中端同样用衰减法进行PID整定，最终对金属管中端温度控制的PID整定参数为Pk=9.6，Pi=15，Pd=5，观察在该控制方案对设定温度分别为40℃、80℃下的控制效果，如图3.7：
图3.7PID控制金属管中端至40℃和80℃温升曲线图
从图中可以看出，该组PID参数整定金属管中端无论至40℃还是80℃，系统超调量均小于1℃，稳态值十分接近设定值，误差小，满足控制要求。
3.3金属管下端调试
同样金属管下端温度曲线滞后性，响应迅速，故也只采用PID控制即可。对金属管下端用衰减法进行PID整定，最终对金属管中端温度控制的PID整定参数为Pk=4.8，Pi=1.8，Pd=0.6，观察在该控制方案对设定温度分别为40℃、80℃下的控制效果，如图3.8：
图3.8PID控制金属棒下端至40℃和80℃温升曲线图
从图中可以看出，该组PID参数整定金属管中端无论至40℃还是80℃，系统超调量均小于1℃，稳态值十分接近设定值，误差小，满足控制要求。
3.4调试总结
总结对金属3个不同部位控制方法的调试，调试方法如下：
（1）金属棒上端：先采取Pk=9、Pd=60进行PD控制，温度接近设定温度时采取Pk=6.4、Pi=46.5、Pd=15.5的PID控制。
（2）金属棒中端：采取Pk=9.6、Pi=15、Pd=5的PID控制。
（3）金属棒下端：采取Pk=4.8、Pi=1.8、Pd=0.6的PID控制。
五、控制要求及调试结果
1、要求一：
不控制1区和3区的温度，整定2区达到某一设定温度，这里我选择3-3区，用微分先行法从室温加热至70℃。
图4.1 微分先行法时加热3-3区至70℃
从图中可以看出，调整时间约为300秒，稳态值约为70℃并在69.6-70.4℃之间波动，稳态误差和超调量都很小，结果满足要求。
2、要求二：
同时整定所有三个区加热器和风扇，使三个区都从室温到达某一设定温度，这里我选择1-1区，从室温加热至70℃，2-3区，从室温加热至60℃，3-2区，从室温加热至50℃，温升结果如图4.2：
图4.2 同时整定所有三个区加热器结果图
从结果图中可以看出，1-1区稳态值约为69.8℃，稳态误差为0.2℃，超调量为0.5℃；
2-3稳态值约为60.2℃，稳态误差为0.2℃，超调量为0.5℃；3-2区稳态值约为50.4℃，稳态误差为0.4℃，超调量为0.2℃，以上温度曲线均能满足要求，数据见下表4.1。
3、要求三：
保持其他加热区（1区和3区）的温度在某一固定值，整定2区达到某一设定温度，这里我选择先将1-3区从室温加热至50℃，在将3-1区从室温加热至70℃，待温度稳定后将2-2区加热至60℃，温升结果如图4.3：
图4.4 题目三温升结果图
分析结果曲线可以看出，在将1-3区整定到50℃，将3-1整定到70℃的过程中，将其数据整理的结果如下表4.2：
接着在373秒左右开始对区域2-2进行温度整定至60℃，大约经过80秒温度达到稳定值59.9℃，超调量为0.4℃，整定曲线满足要求。
4、要求四：
当2区达到某一温度后，加入其他温度干扰，调整控制器，使系统尽可能快的恢复稳定。这里我选择先PID控制2-2区至60℃，在其温度稳定之后，启动装置自带的风扇，观察系统的抗干扰性
由图可见，当启动风扇后2-2区域温度从稳态值60℃降低至59.5℃，随后迅速恢复至60℃，说明其抗干扰性比较好。
END
