常见的2D图像变换从原理上讲主要包括基于2×3矩阵的仿射变换和基于3×3矩阵透视变换。
仿射变换
基本的图像变换就是二维坐标的变换：从一种二维坐标(x,y)到另一种二维坐标(u,v)的线性变换：
如果写成矩阵的形式，就是：
作如下定义：
矩阵T(2×3)就称为仿射变换的变换矩阵，R为线性变换矩阵，t为平移矩阵，简单来说，仿射变换就是线性变换 平移。变换后直线依然是直线，平行线依然是平行线，直线间的相对位置关系不变，因此非共线的三个对应点便可确定唯一的一个仿射变换，线性变换4个自由度 平移2个自由度→仿射变换自由度为6。
来看下OpenCV中如何实现仿射变换：
代码语言：javascript复制import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
img = cv2.imread('drawing.jpg')
rows, cols = img.shape[:2]
# 变换前的三个点
pts1 = np.float32([[50, 65], [150, 65], [210, 210]])
# 变换后的三个点
pts2 = np.float32([[50, 100], [150, 65], [100, 250]])
# 生成变换矩阵
M = cv2.getAffineTransform(pts1, pts2)
dst = cv2.warpAffine(img, M, (cols, rows))
plt.subplot(121), plt.imshow(img), plt.title('input')
plt.subplot(122), plt.imshow(dst), plt.title('output')
plt.show()Copy to clipboardErrorCopied三个点我已经在图中标记了出来。用cv2.getAffineTransform()生成变换矩阵，接下来再用cv2.warpAffine()实现变换。
思考：三个点我标记的是红色，为什么Matplotlib显示出来是下面这种颜色？（练习）
其实平移、旋转、缩放和翻转等变换就是对应了不同的仿射变换矩阵，下面分别来看下。
平移
平移就是x和y方向上的直接移动，可以上下/左右移动，自由度为2，变换矩阵可以表示为：
旋转
旋转是坐标轴方向饶原点旋转一定的角度θ，自由度为1，不包含平移，如顺时针旋转可以表示为：
思考：如果不是绕原点，而是可变点，自由度是多少呢？（请看下文刚体变换）
翻转
翻转是x或y某个方向或全部方向上取反，自由度为2，比如这里以垂直翻转为例：
刚体变换
旋转 平移也称刚体变换（Rigid Transform），就是说如果图像变换前后两点间的距离仍然保持不变，那么这种变化就称为刚体变换。刚体变换包括了平移、旋转和翻转，自由度为3。变换矩阵可以表示为：
由于只是旋转和平移，刚体变换保持了直线间的长度不变，所以也称欧式变换（变化前后保持欧氏距离）。
缩放
缩放是x和y方向的尺度（倍数）变换，在有些资料上非等比例的缩放也称为拉伸/挤压，等比例缩放自由度为1，非等比例缩放自由度为2，矩阵可以表示为：
相似变换
相似变换又称缩放旋转，相似变换包含了旋转、等比例缩放和平移等变换，自由度为4。在OpenCV中，旋转就是用相似变换实现的：
若缩放比例为scale，旋转角度为θ，旋转中心是 (center_x,center_y) ，则仿射变换可以表示为：
其中，
相似变换相比刚体变换加了缩放，所以并不会保持欧氏距离不变，但直线间的夹角依然不变。
经验之谈：OpenCV中默认按照逆时针旋转噢~
总结一下（原图[#计算机视觉：算法与应用p39]）：
变换 | 矩阵 | 自由度 | 保持性质 |
|---|---|---|---|
平移 | [I, t]（2×3） | 2 | 方向/长度/夹角/平行性/直线性 |
刚体 | [R, t]（2×3） | 3 | 长度/夹角/平行性/直线性 |
相似 | [sR, t]（2×3） | 4 | 夹角/平行性/直线性 |
仿射 | [T]（2×3） | 6 | 平行性/直线性 |
透视 | [T]（3×3） | 8 | 直线性 |
透视变换
前面仿射变换后依然是平行四边形，并不能做到任意的变换。
透视变换（Perspective Transformation）是将二维的图片投影到一个三维视平面上，然后再转换到二维坐标下，所以也称为投影映射（Projective Mapping）。简单来说就是二维→三维→二维的一个过程。
这次我写成齐次矩阵的形式：
其中， left[ begin{matrix} a_1 & b_1 newline a_2 & b_2 newline end{matrix} right] 表示线性变换， left[ begin{matrix} a_3 & b_3 end{matrix} right] 产生透视变换，其余表示平移变换，因此仿射变换是透视变换的子集。接下来再通过除以Z轴转换成二维坐标：
透视变换相比仿射变换更加灵活，变换后会产生一个新的四边形，但不一定是平行四边形，所以需要非共线的四个点才能唯一确定，原图中的直线变换后依然是直线。因为四边形包括了所有的平行四边形，所以透视变换包括了所有的仿射变换。
OpenCV中首先根据变换前后的四个点用cv2.getPerspectiveTransform()生成3×3的变换矩阵，然后再用cv2.warpPerspective()进行透视变换。实战演练一下：
img = cv2.imread('card.jpg')
# 原图中卡片的四个角点
pts1 = np.float32([[148, 80], [437, 114], [94, 247], [423, 288]])
# 变换后分别在左上、右上、左下、右下四个点
pts2 = np.float32([[0, 0], [320, 0], [0, 178], [320, 178]])
# 生成透视变换矩阵
M = cv2.getPerspectiveTransform(pts1, pts2)
# 进行透视变换，参数3是目标图像大小
dst = cv2.warpPerspective(img, M, (320, 178))
plt.subplot(121), plt.imshow(img[:, :, ::-1]), plt.title('input')
plt.subplot(122), plt.imshow(dst[:, :, ::-1]), plt.title('output')
plt.show()Copy to clipboardErrorCopied代码中有个
img[:, :, ::-1]还记得吗？忘记的话，请看练习。
当然，我们后面学习了特征提取之后，就可以自动识别角点了。透视变换是一项很酷的功能。比如我们经常会用手机去拍身份证和文件，无论你怎么拍，貌似都拍不正或者有边框。如果你使用过手机上面一些扫描类软件，比如"扫描全能王"，"Office Lens"，它们能很好地矫正图片，这些软件就是应用透视变换实现的。
练习
- 请复习：无损保存和Matplotlib使用。
引用
- 本节源码
- 计算机视觉：算法与应用
- 维基百科：仿射变换
- 如何通俗地讲解「仿射变换」这个概念？
