第4章-变换-4.3-四元数

4.3 四元数

尽管四元数早在1843年就由William Rowan Hamilton爵士发明，作为复数的扩展，但直到1985年Shoemake[1633]才将它们引入计算机图形领域

。四元数用于表示旋转和方位。它们在几个方面都优于欧拉角和矩阵。任何三维方向都可以表示为围绕特定轴的单次旋转。给定轴和角度表示，与四元数转换相互转换很简单，然后任一方向的欧拉角转换则具有挑战性。四元数可用于稳定和恒定的方向插值，这是欧拉角无法很好完成的。

复数有实部和虚部。每个复数由两个实数表示，第二个实数乘以

sqrt{-1}

。同样，四元数有四个部分。前三个值与旋转轴密切相关，旋转角度影响所有四个部分（更多可参考第4.3.2节）。每个四元数由四个实数表示，每个实数与不同的部分相关联。由于四元数有四个分量，我们选择将它们表示为向量，但为了区分它们，我们给它们戴上帽子：

hat{rmpmb{q}}

。我们从四元数的一些数学背景开始，然后用它来构造各种有用的转换。

4.3.1 数学背景

我们从四元数的定义开始。

定义：四元数

hat{rmpmb{q}}

可以通过以下方式定义，都是等价的。

变量

q_w

称为四元数

hat{rmpmb{q}}

的实部。虚部是

{rmpmb{q}}_v

，而

、

和

称为虚数单位。

对于虚部

{rmpmb{q}}_v

，我们可以使用所有法向量运算，例如加法、缩放、点积、叉积等。使用四元数的定义，推导出两个四元数

hat{rmpmb{q}}

和

hat{rmpmb{r}}

之间的乘法运算，如下所示。请注意，虚数单位的乘法是不可交换的。

从这个方程可以看出，我们同时使用叉积和点积来计算两个四元数的乘法。

除了四元数的定义，还需要加法、共轭、范数和单位元素的定义：

当

n(hat{rmpmb{q}}) = sqrt{hat{rmpmb{q}}hat{rmpmb{q}}^*}

被简化时（结果如上所示），虚部抵消，只剩下实部。范数有时表示为

||hat{rmpmb{q}}| = n(hat{rmpmb{q}})

[1105]。上面的结果是可以导出一个乘法逆，用

{hat{rmpmb{q}}}^{-1}

表示。方程

{hat{rmpmb{q}}}^{-1}{hat{rmpmb{q}}}={hat{rmpmb{q}}}^{-1}{hat{rmpmb{q}}}=1

对逆必须成立（这对于乘法逆是常见的）。我们从范数的定义推导出一个公式：

[{n(hat{rmpmb{q}})}^2 = hat{rmpmb{q}}hat{rmpmb{q}}^* Longleftrightarrow frac{hat{rmpmb{q}}hat{rmpmb{q}}^*}{{n(hat{rmpmb{q}})}^2} = 1 tag{4.34} ]

这给出了乘法逆，如下所示：

[pmb{逆:} {hat{rmpmb{q}}}^{-1} = frac{1}{{n(hat{rmpmb{q}})}^2}hat{rmpmb{q}}^* ]

逆的公式使用了标量乘法，可以从方程4.3.1中看到的乘法推导出这个运算：

s{hat{rmpmb{q}}} = (pmb{0}, s)({rmpmb{q}}_v, q_w) = (s{rmpmb{q}}_v, sq_w)

, 并且

{hat{rmpmb{q}}}s = ({rmpmb{q}}_v, q_w)(pmb{0}, s) = (s{rmpmb{q}}_v, sq_w)

。这意味着标量乘法是可交换的：

s{hat{rmpmb{q}}}={hat{rmpmb{q}}}s = (s{rmpmb{q}}_v, sq_w)

。

以下规则集合很容易从定义中推导出来：

单位四元数

hat{rmpmb{q}} = ({rmpmb{q}}_v, q_w)

使得

n(hat{rmpmb{q}}) = 1

。由此可知

hat{rmpmb{q}}

可写作:

对于某个三维向量

{rmpmb{u}}_q

，使得

||{rmpmb{u}}_q|| = 1

，因为

当且仅当

{rmpmb{u}}_q cdot {rmpmb{u}}_q = 1 = ||{rmpmb{u}}_q||^2

. 正如将在下一节中看到的，单位四元数非常适合以最有效的方式创建旋转和方向。但在此之前，会为单位四元数引入一些额外的操作。

对于复数，二维单位向量可以写成

{rm{cos}}{phi} i{rm{sin}}{phi} = e^{iphi}

。四元数的等价物是

根据公式4.41，单位四元数的对数函数和幂函数为：

4.3.2 四元数变换

我们现在将研究四元数集的一个子类，即单位长度的子类，称为单位四元数。关于单位四元数的最重要的事实是它们可以表示任何三维旋转，而且这种表示非常紧凑和简单。

现在我们将描述是什么使单位四元数对旋转和方向如此有用。首先，将点或向量的四个坐标

rmpmb{p} = (p_x p_y p_z p_w)^T

代入四元数

hat{rmpmb{p}}

的分量，并假设我们有一个单位四元数

hat{rmpmb{q}} = ({rm{sin}}{phi}{rmpmb{u}}_q, {rm{cos}}{phi})

。可以证明

将

hat{rmpmb{p}}

（以及点

rmpmb{p}

）绕轴

{rmpmb{u}}_q

旋转角度

2phi

。注意，由于

hat{rmpmb{q}}

是一个单位四元数，

hat{rmpmb{q}}^{-1} = hat{rmpmb{q}}^{*}

。参见图4.9。

图4.9. 由单位四元数表示的旋转变换的图示，

hat{rmpmb{q}} = ({rm{sin}}{phi}{rmpmb{u}}_q, {rm{cos}}{phi})

。变换围绕轴

{rmpmb{u}}_q

旋转

2phi

弧度。

hat{rmpmb{q}}

的任何非零实数倍数也表示相同的变换，这意味着

hat{rmpmb{q}}

和

-hat{rmpmb{q}}

表示相同的旋转。也就是说，取反轴

rmpmb{u}_q

和实部

q_w

会创建一个与原始四元数完全一样旋转的四元数。这也意味着从矩阵中提取四元数可以返回

hat{rmpmb{q}}

或

-hat{rmpmb{q}}

。

给定两个单位四元数

hat{rmpmb{q}}

和

hat{rmpmb{r}}

，首先应用

hat{rmpmb{q}}

再应用

hat{rmpmb{r}}

到四元数

hat{rmpmb{p}}

（可以解释为点

{rmpmb{p}}

）的级联由公式 4.44 给出：

这里，

hat{rmpmb{c}} = hat{rmpmb{r}}hat{rmpmb{q}}

是单位四元数，表示单位四元数

hat{rmpmb{q}}

和

hat{rmpmb{r}}

的级联。

矩阵转换

由于经常需要将几种不同的变换组合起来，而且大部分都是矩阵形式，因此需要一种方法将式4.43转化为矩阵。四元数

hat{rmpmb{q}}

可以转换为矩阵

rmpmb{M}^q

，如公式4.45[1633,1634]所示：

在这里，标量是

s = 2/(n(hat{rmpmb{q}}))^2

。对于单位四元数，上式可简化为：

一旦构造了四元数，就不需要计算三角函数，因此转换过程在实践中很有效率。

从正交矩阵

rmpmb{M}^q

到单位四元数

hat{rmpmb{q}}

的逆转换要复杂一些。此过程的关键是与公式4.46中的矩阵的以下差异：

这些方程的含义是，如果

q_w

已知，则可以计算向量

{rmpmb{v}}_q

的值，从而推导出

hat{rmpmb{q}}

。

rmpmb{M}^q

的迹由下式计算:

对于单位四元数来说，可得出以下转换：

为了有一个数值稳定的程序[1634]，小数除法应该被避免。因此，首先设置

t = q^2_w − q^2_x − q^2_y − q^2_z

，由此得出:

这反过来意味着

m_{00}

、

m_{11}

、

m_{22}

和

中的最大值，确定了

q_x

、

q_y

、

q_z

和

q_w

中最大的。如果

q_w

最大，则使用公式4.49导出四元数。否则，我们注意到以下内容成立：

然后使用上述适当方程计算

q_x

、

q_y

和

q_z

中的最大值，然后使用方程4.47计算

hat{rmpmb{q}}

的其余分量。Schüler[1588]提出了一种无分支但使用四个平方根的变体。

球面线性插值

球面线性插值是一种运算，在给定两个单位四元数

hat{rmpmb{q}}

和

hat{rmpmb{r}}

以及参数

t∈[0,1]

的情况下，计算插值四元数。例如，这对于动画对象很有用。它对于插值相机方向没有用，因为相机的“向上”矢量在插值过程中可能会倾斜，通常是一种干扰效果。

此运算的代数形式由复合四元数

hat{rmpmb{s}}

表示，如下所示：

但是，对于软件实现，以下形式更合适，其中slerp代表球面线性插值：

为了计算这个方程所需的φ，可以使用以下式子：

cosphi = q_xr_x q_yr_y q_zr_z q_wr_w

[325]。对于

t∈[0,1]

，slerp函数计算（唯一的

）插值四元数，它们共同构成四维单位球面上从

hat{rmpmb{q}}(t = 0)

到

hat{rmpmb{r}}(t = 1)

的最短弧。圆弧位于由

hat{rmpmb{q}}

hat{rmpmb{r}}

和原点给出的平面与四维单位球面的交点形成的圆上。如图 4.10 所示。计算出的旋转四元数以恒定速度绕固定轴旋转。像这样的曲线具有恒定的速度，因此加速度为零，称为测地曲线[229]。过原点的平面与球面的交点在球面上形成一个大圆，这个圆的一部分称为大圆弧。

图4.10. 单位四元数表示为单位球面上的点。函数slerp用于四元数之间的插值，插值的路径是球体上的一个大圆弧。请注意，从

hat{rmpmb{q}}_1

到

hat{rmpmb{q}}_2

和从

hat{rmpmb{q}}_1

到

hat{rmpmb{q}}_3

到

hat{rmpmb{q}}_2

的插值不是一回事，即使它们到达相同的方向。

slerp函数非常适合在两个方位之间进行插值，并且有良好的效果（固定轴，恒速）。使用多个欧拉角进行插值时，情况并非如此。实际上，直接计算slerp是一项涉及调用三角函数的昂贵操作。Malysau[1114]讨论了将四元数集成到渲染管线中。他指出，当不使用slerp而只是在像素着色器中对四元数进行归一化时，对于90度角，三角形方向的误差最大为 4度。光栅化三角形时，此误差率是可以接受的。Li[1039, 1040]提供了更快的增量方法来计算slerps，并且不会牺牲任何准确性。Eberly[406]提出了一种仅使用加法和乘法计算slerps的快速技术。

当有两个以上的方向时，比如

hat{rmpmb{q}}_0,hat{rmpmb{q}}_1,...,hat{rmpmb{q}}_n

，并且我们想要从

hat{rmpmb{q}}_0

到

hat{rmpmb{q}}_1

到

hat{rmpmb{q}}_2

，依此类推直到

hat{rmpmb{q}}_{n-1}

，可以直接使用slerp。现在，当我们接近

hat{rmpmb{q}}_i

时，我们将使用

hat{rmpmb{q}}_{i-1}

和

hat{rmpmb{q}}_i

作为 slerp 的参数。通过

hat{rmpmb{q}}_i

后，我们将使用

hat{rmpmb{q}}_i

和

hat{rmpmb{q}}_{i 1}

作为 slerp 的参数。这将导致方向插值中出现突然的抖动，如图4.10所示。这类似于当点被线性插值时发生的情况；参见第720页图17.3的右上部分。有些读者可能希望在阅读第17章中的样条曲线后重新阅读以下段落。

更好的插值方法是使用某种样条。我们在

hat{rmpmb{q}}_i

和

hat{rmpmb{q}}_{i 1}

之间引入了四元数

hat{rmpmb{a}}_i

和

hat{rmpmb{a}}_{i 1}

。球面三次插值可以在四元数

hat{rmpmb{q}}_i

，

hat{rmpmb{a}}_i

，

hat{rmpmb{a}}_{i 1}

和

hat{rmpmb{q}}_{i 1}

的集合内定义。令人惊讶的是，这些额外的四元数计算如下[404]

：

通过三次样条平滑算法，

hat{rmpmb{q}}_i

和

hat{rmpmb{a}}_i

用来对四元数进行球面插值，如公式4.55所示：

从上面可以看出，squad函数是使用slerp从同样的球面插值构建的（第17.1.1节有关点的重复线性插值的信息）。插值将通过初始方向

hat{rmpmb{q}}_i,i ∈ [0,...,n − 1]

，但不通过

hat{rmpmb{a}}_i

——这些用于指示初始方向的切线方向。

从一个向量到另一个向量的旋转

一个常见的操作是通过尽可能最短的路径从一个方向

rmpmb{s}

转换到另一个方向

rmpmb{t}

。四元数的数学运算极大地简化了这个过程，并显示了四元数与这种表示的密切关系。首先，将

rmpmb{s}

和

rmpmb{t}

归一化。然后计算单位旋转轴，称为

rmpmb{u}

，计算为

rmpmb{u} = (pmb{s} × pmb{t})/||pmb{s} × pmb{t}||

。接下来，

e = {rmpmb{s}} · {rmpmb{t}} = cos(2phi)

和

||{rmpmb{s}} × {rmpmb{t}}|| = sin(2phi)

，其中

2phi

是

{rmpmb{s}}

和

{rmpmb{t}}

之间的角度。表示从

rmpmb{s}

到

rmpmb{t}

的旋转的四元数是

hat{rmpmb{q}} = (sin{phi}{rmpmb{u}}, cos{phi})

。事实上，使用半角关系和三角恒等式简化

hat{rmpmb{q}} = (frac{sin{phi}}{sin2{phi}}({rmpmb{s}}×{rmpmb{t}}), cos{phi})

，可得出[1197]：

以这种方式直接生成四元数（相对于标准化叉积

{rmpmb{s}}×{rmpmb{t}}

）避免了当

{rmpmb{s}}

和

{rmpmb{t}}

指向几乎相同的方向时的数值不稳定[1197]。当

{rmpmb{s}}

和

{rmpmb{t}}

指向相反的方向时，两种方法都会出现稳定性问题，因为发生了除以零的情况。当检测到这种特殊情况时，任何垂直于

{rmpmb{s}}

的旋转轴都可以用来旋转到

{rmpmb{t}}

。

有时我们需要从

{rmpmb{s}}

到

{rmpmb{t}}

旋转的矩阵表示。在对等式4.46进行一些代数和三角简化后，旋转矩阵变为[1233]:

在这个等式中，我们使用了以下中间计算：

可以看出，由于简化，所有平方根和三角函数都消失了，因此这是创建矩阵的有效方法。请注意，公式4.57的结构类似于公式4.30的结构，并注意后一种形式如何不需要三角函数。

请注意，当

{rmpmb{s}}

和

{rmpmb{t}}

平行或接近平行时必须小心，因为这时

||{rmpmb{s}} × {rmpmb{t}}|| ≈ 0

。如果

phi ≈ 0

，那么我们可以返回单位矩阵。然而，如果

2phi ≈ pi

，那么我们可以绕任意轴旋转

弧度。该轴可以是

{rmpmb{s}}

和任何其他不平行于

{rmpmb{s}}

的向量的叉积（第4.2.4节）。Möller和Hughes使用Householder矩阵以不同的方式处理这种特殊情况[1233]。

公平地说，Robinson[1502]在1958年使用四元数进行刚体模拟。

当且仅当

hat{rmpmb{q}}

和

hat{rmpmb{r}}

不相反。

Shoemake[1633]给出了另一个推导。

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