2022-01-07 11:12:02
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文章目录
- 前言
- 1. 公式内容
- 2. 正余弦函数的 Wallis 公式
- 2.1 正弦函数（sin）的 Wallis公式
- 2.2 余弦函数（cos）的 Wallis公式
- 2.3 两者之间关系
- 3. 公式用途
- 4. 举例
前言
Wallis formula 有两个中文名字，华里士 公式 和 沃利斯公式，中文名看起来差别很大对吧，其实他俩是同一个公式。它还有个名字叫做 点火公式。
偶数时点火成功乘
frac{pi}{2}，奇数时点火失败以 1 打止。
这个公式是用来解决什么样的问题呢？
1. 公式内容
Wallis公式是关于圆周率的无穷乘积的公式，公式内容如下：
lim_{nto infty}left(frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}right)^2frac{1}{2n 1}=frac{pi}{2}
其中：
(2n)!!=2times4times6times...times(2n)，
(2n-1)!!=1times3times5times...times(2n-1)2. 正余弦函数的 Wallis 公式
2.1 正弦函数（sin）的 Wallis公式
int_{0}^{frac{pi}{2}}{sin}^nxdx= begin{cases} frac{(n-1)!!}{(n)!!}cdotfrac{pi}{2}, & text {n为正偶数} \ \ frac{(n-1)!!}{(n)!!} , & text {n为正奇数} end{cases}
即：
int_{0}^{frac{pi}{2}}{sin}^nxdx= begin{cases} frac{n-1}{n}cdotfrac{n-3}{n-2}cdotcdotcdotcdotcdotfrac{3}{4}cdotfrac{1}{2}cdotfrac{pi}{2}, & text {n为正偶数} \ \ frac{n-1}{n}cdotfrac{n-3}{n-2}cdotcdotcdotcdotcdotfrac{6}{7}cdotfrac{4}{5}cdotfrac{2}{3}cdot1, & text {n为正奇数} end{cases}2.2 余弦函数（cos）的 Wallis公式
int_{0}^{frac{pi}{2}}{cos}^nxdx= begin{cases} frac{(n-1)!!}{(n)!!}cdotfrac{pi}{2}, & text {n为正偶数} \ \ frac{(n-1)!!}{(n)!!} , & text {n为正奇数} end{cases}
即：
int_{0}^{frac{pi}{2}}{cos}^nxdx= begin{cases} frac{n-1}{n}cdotfrac{n-3}{n-2}cdotcdotcdotcdotcdotfrac{3}{4}cdotfrac{1}{2}cdotfrac{pi}{2}, & text {n为正偶数} \ \ frac{n-1}{n}cdotfrac{n-3}{n-2}cdotcdotcdotcdotcdotfrac{6}{7}cdotfrac{4}{5}cdotfrac{2}{3}cdot1, & text {n为正奇数} end{cases}2.3 两者之间关系
int_{0}^{frac{pi}{2}}{sin}^nxdx= int_{0}^{frac{pi}{2}}{cos}^nxdx 当
n=1 时，
int_{0}^{frac{pi}{2}}{sin}^nxdx= int_{0}^{frac{pi}{2}}{cos}^nxdx=13. 公式用途
公式多用于求解：
sin x的n次方或cos x的n次方在(0,frac{pi}{2})上的积分。4. 举例
int_{0}^{frac{pi}{2}}cos^8 theta dtheta=? 由 Wallis 公式：
int_{0}^{frac{pi}{2}}cos^8 theta dtheta=frac{7}{8}cdotfrac{5}{6}cdotfrac{3}{4}cdotfrac{1}{2}cdotfrac{pi}{2}=frac{35pi}{256}利用公式是不是很快就做出来了呢？当然可以利用其它方法验证答案的正确性！
