弹性力学数值解

弹性力学研究的是外力、边界约束或温度改变等原因引起弹性体发生的应力、形变和位移。通过弹性力学求解具体问题时，在建立平衡方程、几何方程以及物理方程后，在已知载荷和边界条件时，通过对方程组进行求解，得到弹性体的受力分布以及变形特征。以往经常通过数学的方法，对于弹性力学方程进行求解，得到应力（位移）分布的函数解答。由于采用函数解答的方法具有一定的复杂性，本节介绍采用数值方法对基本方程进行求解的基本过程。从数学上，弹性力学问题为边界条件下求解微分方程，属于微分方程的边值问题。微分方程的近似解法主要有差分法和变分法。

弹性力学基本方程中涉及的变量主要有：3个应力分量σx，σy，和τxy；3个形变分量εx，εy，γxy，；两个位移分量u，v。在对平衡方程、几何方程以及物理方程组成的方程组进行求解的过程中，可以得到方程组的一般解，接着，需要根据边界条件得到微分方程组的特解。

MATLAB数值解

MATLAB pdetool可以对偏微分方程进行求解，主要的种类有：椭圆形方程、抛物线方程、双曲线方程和特征值问题。因此，为了采用MATLAB工具箱求解弹性力学方程，首先，我们需要确定的是方程中的参数。

弹性力学位移法的基本方程为：

椭圆型方程中相关参数C的选择，假设：

即：

其中：

可以看出C取上述参数时，弹性力学位移法基本方程与椭圆偏微分方程形式一致。

椭圆型方程中边界条件

1、狄利克雷边界条件（Dirichlet）：hu=r

表1 各种情况下狄利克雷边界条件选取

2、诺依曼边界条件（Neumann）：

表2 各种情况下诺依曼边界条件选取

3、混合边界条件

附录

附1：MATLAB 可以求解特定格式的偏微分方程，我们需要把问题转换为工具箱识别的形式，得到偏微分方程中相应的参数，具体的过程如下：

把方程（1）转换成MATLAB工具箱可识别的形式（2），假如：

MATLAB中偏微分方程种类：

附2：弹性力学的基本性质：（1）解的叠加原理：弹性体受几组外力同时作用时的解等于每一组外力单独作用时对应解的和，通过不同求解单一载荷作用下的弹性力学问题的解，再采用叠加的方法获得复杂载荷的解的过程。注释：只有线弹性小变形情况时，叠加原理成立，并且可以从数学上证明。当求解过程中涉及非线性时不再满足叠加原理：首先，对于大变形，几何方程中会出现二次非线性项，平衡微分方程将会受到变形的影响，叠加原理不在成立；其次，对于非线性材料以及边界条件涉及非线性时，叠加原理也不再成立。（2）解的唯一性。