今天我们接着上一讲的平面几何欧拉定理的证明，来看看与之相关的九点圆定理的证明以及其中的数学智慧。
九点圆定理拾遗
依稀记得，在我外公给我淘来的各种科普书中，有一本叫《中外数学名题荟萃》，前面我提到的很多课内甚至奥数班上都没有学过的定理也很多是在上面先看到的，真不知道他是怎么发现这些宝藏并挖掘出来给我看的！其封面如果没记错的话，就是一个九点圆的图。当我写到这里，又看到这张图的时候，真是一种久别重逢的安全，欣喜，和石头落地的感觉。
图1 九点圆定理图
我记忆里还存着不少著名的平面几何定理，其中九点圆定理自然是以其规模宏大而著称，并不像其他一些梅涅劳斯、塞瓦定理那样深刻而简洁，也不像欧拉定理那样干净，但作为知识熟练掌握和训练用的素材，因为里面包含了大量的几何性质的综合应用，实在再好不过了。我们来看看其具体内容：
九点圆定理
在平面中，对任意三角形，其三边的中点、三高的垂足、顶点到垂心的三条线段的中点，必然共圆，这个圆被称为九点圆，又称欧拉圆、费尔巴哈圆。
历史上，1765年，莱昂哈德·欧拉证明：“垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圆（六点圆）。”许多人误以为九点圆是由而欧拉发现所以又称乎此圆为欧拉圆（常规留名操作）。而第一个证明九点圆的人是彭赛列（1821年）。1822年，卡尔·威廉·费尔巴哈也发现了九点圆，并得出“九点圆和三角形的内切圆和旁切圆相切”，因此德国人称此圆为费尔巴哈圆，并称这四个切点为费尔巴哈点。再往后，库利奇与大上分别于1910年与1916年发表库利奇－大上定理“圆周上四点任取三点做三角形，四个三角形的九点圆圆心共圆。”这个圆还被称为四边形的九点圆，此结果甚至还可推广到n边形。
你看，这不又有欧拉，不过罕见的是其结论的终极形式不是他的六点圆，而是九点圆，不然我估计真得叫欧拉圆了。
九点圆定理证明
到证明的时候，很多人就直接吓怕了，我的天，平常证明个四点共圆都嫌麻烦，这一下证明九个，也太复杂了吧？
表面上确实是这样，但是数学就是得有不怕困难的精神，并且得有章法地去思考和解决问题。这里的九个点，其实就是三组点而已，它们具有高度的对称性，我们能关联上其中一组，剩下的应该就可以依葫芦画瓢地解决了。
证明开始。
在上图中，三角形为ABC，DEF为各边中点，GHI为各边上垂足，S为垂心，JKL为垂心S到各顶点边的中点。我们要证明的是，DEF，GHI，JKL九点共圆。
其实啊，观察可以发现，这个图形的性质里，并没有太多和角有关的相等关系，因为不涉及到垂心，但是中点倒是一大堆，还有很多直角。因此，我们需要多多去应用和中点有关的定理。比如，三角形ASB和CSB分别的中位线都平行于底边BS，所以，FJ//DL。同理，FD和JL分别是三角形BAC和SAC的中位线，也都平行于AC，所以，JL//FD。于是JLDF是个平行四边形。又BS垂直于AC，再根据前面的平行关系，得JLDF是个矩形，必然四点共圆。
这个矩形的证明其实和一般的四点共圆证明思路去证明相交弦逆定理啊，圆周角逆定理啊，或者内对角互补这样常见的思路还挺不一样的，主要是中点多，垂直多，这个远远超过性质要求的结论竟然也成立啊！
同理，FKLE同理也是矩形，四点共圆，它和矩形JLDF有公共的对角线FL，也就是共圆的一条直径，因此JLDFKE六点共圆。
又因为角JLD = 角JGD = 90度，因此G也在圆上（圆周角定理逆定理），JD是他们的公共弦。同理，H，I也在这个圆上。
综上，九点圆定理成立。
九点圆定理证明赏析
从这个证明中，我想分享一下几个思考点。
首先，其实它的证明逻辑链条远远没有欧拉定理本身那么复杂和冗长，分支路径众多，但确实其证明思路起点比较偏门，是这里的难点。上篇我们用了分析法给的证明过程，这里我们直接正序地写，因为它逻辑链条短，倒叙写并体现不出也不是真的证明思路，正推应该符合一般的思维习惯。
另外可以看到，这里虽然证明的是九点共圆，看起来很麻烦很宏大，但实际上可以拆分成若干对称的子问题。这种对称，等价的思想在数学思维中尤为重要，记得高中数学教练朱老师常说，证明n元的一般形式的不等式不算本事，那种3元，4元的特殊形式才是真的难。其实这么说就是因为n元其实可以等价一般化，搞不出花里胡哨的变化，而几个变元却可以给出你完全想不到的变形。
还有，其证明方法因为条件的特殊性，居然是证明各种矩形，得到各个对角线，也就是其圆的直径来说明，这是一种十分不常见的思路。就拿中间证明四点共圆的过程说，它相当于是证明了这个问题的超问题，最后甚至还找到了这个九点圆的圆心，也是一种超定理要求的体现，即证明了一个定理的充分不必要条件，证明了一个统治这个定理的定理。但是在平面几何解题，或者做一些数学归纳法证明，写递归表达式来解决问题的时候，这往往是最困难一步，超问题何其多，没有点经验还真不一定在短时间内找到，更何况，无论是处于出题难度还是结论简洁美丽的考虑，数学题目中尤其是平面几何经常出现这类难点，比如，九点圆定理就真的故意没有提圆心是谁，要是你没摸到这个点，那这个问题就很容易走进死胡同。
最后想接着上一点说，在做平面几何题的时候，根据题设的特点想到相关的定理和方案，是一种非常需要经验也是考察功力的事情，在九点圆定理的证明中也得到了体现。找到这种思路的一种方法就是我们常说的“猜想”，这也是真的日后做科学研究获得灵感的重要思维方式。记得当年在找平面几何辅助线或证明一些可能有帮助的引理时，都是先拿着尺子比划，看是不是大体上成立，才会去证明，否则就会放弃这个方向，这其实就是实验验证猜想的过程，然后就是理论证明了。所以当年我们都特别害怕题目的图画的不标准，甚至没有图让自己手画，因为这让我们少了很多通过观察获得猜想的机会。
九点圆定理bonus
千万不要以为这就完了，九点圆定理的成立只是九点圆的冰山一角，这么多中点，垂直的性质，一定可以和很多几何对象关联起来，得到很多其他的性质，这里列举一些：
- 九点圆的半径是外接圆的一半，且九点圆平分垂心与外接圆上的任一点的连线。
- 圆心在欧拉线上，且在垂心到外心的线段的中点。
- 九点圆和三角形的内切圆和旁切圆相切（费尔巴哈定理）。
- 圆周上四点任取三点做三角形，四个三角形的九点圆圆心共圆（库利奇－大上定理）。
这些定理的详细证明就暂时不展开了，每一个的理解和证明都是体现平面几何之美的绝佳案例。
有了九点圆背景，下一篇我们继续回到对欧拉的缅怀中，来看看建立在九点圆定理基础上的欧拉线定理，敬请期待。
我们是谁：
MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！
