在前面的文章中，我们介绍的都是纯数学世界里的欧拉定理的各个结论，相关内容请戳：
扒一扒那些叫欧拉的定理们（十一）——欧拉数论定理
扒一扒那些叫欧拉的定理们（十）——群论观点下的欧拉公式进阶
扒一扒那些叫欧拉的定理们（九）——群论观点下的欧拉公式初步
扒一扒那些叫欧拉的定理们（八）——欧拉公式和自然对数的底e
扒一扒那些叫欧拉的定理们（七）——欧拉线定理的证明
扒一扒那些叫欧拉的定理们（六）——九点圆定理的证明
扒一扒那些叫欧拉的定理们（五）——平面几何欧拉定理的证明
扒一扒那些叫欧拉的定理们（四）——平面几何欧拉定理美学鉴赏
扒一扒那些叫欧拉的定理们（三）——简单多面体欧拉定理的抽象形式
扒一扒那些叫欧拉的定理们（二）——简单多面体欧拉定理的证明
扒一扒那些叫欧拉的定理们（一）——基本介绍和简单多面体欧拉定理
但是，欧拉所研究的范围早就依托于数学涉及到物理，天文等各个领域。在本系列文章的收尾部分，我们就来介绍一下，在现代经济学中一个非常重要的理论——边际生产力分配理论，也叫经济学欧拉定理。
经济学欧拉定理内容
这个欧拉定理，相比上面响当当的名号，要逊色不少，主要是其在数学世界的价值不高，但是作为数学模型引入经济学领域的一个重要结论，其在经济学中也是有足够地位的。今天我们就从数学模型的角度，来看看，经济学中的欧拉定理，是怎么一回事吧！
经济学欧拉定理：如果产品市场和要素市场都是完全竞争的，而且厂商生产的规模报酬不变，那么在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品，即：
Q = L * MPL K * MPK
Q为社会生产总和，L为劳动力，K为资本，MPL（Marginal Product of Labor）为劳动边际产量，MPK（Marginal Product of Kapital）为资本边际产量。
该定理又叫做边际生产力分配理论，还被称为产品分配净尽定理，也因为证明使用了欧拉定理而得名。
经济学欧拉定理理解
首先，经济学家认为，社会生产量可以看作两个最关键要素，即资本K和劳动L的函数：
Q = f(K, L)
嗯，有点粗暴，但是数学上用这么个模型来描述完全没问题，还切中要害，有机会看透一般时候看不透还不愿意接受的本质。
接着，那上面提到的MPL和MPK是什么意思呢？经济学里边际（marginal）一词的模型意义是在一个特定的条件下，再增加一单位的自变量（劳动，资本，甚至再吃一个馒头），所带来的因变量的变化量。（还有经济学里的弹性就是取对数求导（连续）或相对差分（离散），这里不要弄混了）在数学里，如果把自变量看作是离散有序值，那就是序列的差分序列变换，如果是连续的，那就是求导，比如这里可以定义：
MPL(L, K) = f(L 1, K) - f(L, K) = d(L, K) / dL
MPK(L, K) = f(L, K 1) - f(L, K) = d(L, K) / dK
看起来这就是一件很神奇的事情，一个如此复杂的生产函数，竟然可以写成两个生产要素量的线性和，而且各自系数分别是函数本身在这点上的边际产量，按照定理描述，还等于要素本身的价格！这究竟是怎么回事呢？
我们先来理解一下这两个边际产量，在完全竞争达到均衡的条件下，厂商使用要素的原则是：要素的边际产品价值等于要素价格。这是所有参与生产的厂家一起达到的类似囚徒困境的纳什均衡点，要素价格过低则会无节制扩大生产，过高则必然亏本不如不做。而且，要素的价格是由于要素的市场供给和市场需求共同决定，可以看作均衡时的稳定值。此时，厂商和消费者都被动地接受市场形成的价格，又常常称之为外生变量（exogeneous variable，很长时间我都不理解这个词在数学上的意义是什么，其实约莫等于模型的系统参数，常量，环境不变量）。即:
P * MPL = W
P * MPK = R
其中，当前市场的工资为W，资本的租赁价格是R,商品的价格为P，但是
我们把价格的单位归一化到商品为单位的实际报酬上去，有：
MPL=W/P
MPK=r/P
W/P和r/P分别表示了劳动和资本的实际报酬，那么完全竞争到均衡的意思，就是此时，单位劳动、单位资本的实际报酬分别等于劳动、资本的边际产量。
定理中还提到了一个概念，规模收益不变，这是什么意思呢？其实，在经济学模型里意义是很直观的，就是所有生产要素量乘以c，无论放大缩小，其因变量的生产总值Q也同样会变成c倍，即：
f(cK, cL) = cf(K, L)
当以上这些条件都满足时，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品，即:
Q = L * MPL K * MPK
这便是欧拉定理的经济学意义。
经济学欧拉定理证明
既然叫作定理，它虽然有数学模型意义，但本身应该是可以翻译成数学语言并严格证明的，并不是一条像牛顿定律一样的直接规律的描述。接下来，我们刨去经济学背景，来直接看一下欧拉经济学定理的数学证明。
前面依照经济学里完全竞争的纳什均衡结论，我们知道了MPL和MPK此时就是对应要素的价格。接着我们重点看一下规模报酬不变在数学背景下的含义，这对应的是函数r齐次的意思，即：
f(tx1, tx2, ......, xn) = t ^ r * f(x1, x2, ......, xn)
而对于生产函数规模收益不变就是指的自变量x仅有2个维度为L和K时，是1齐次的，和前文所说一致。
我们对此式两边对t求导，有：
sum(df(txi)/dtxi * xi) = r * t ^ (r - 1)f(x1, x2, ......, xn)
令t = 1，即：
sum(df(xi) / dxi * xi) = rf(x1, x2, ......, xn)
再令r = 1，x1 = L，x2 = K，加上MPL和MPK的定义，有：
Q = f(L, K) = L * MPL K * MPK
经济学欧拉定理得证。
这看起来就是一个过0点的二元函数的一阶泰勒展开式，换言之，齐次1次函数就是线性函数本身，其所有的二阶及以上导数值都为0，不信你再往上对t求几阶的导数就行了，齐n次的最高阶不为0导数就是n。
再进一步看，这就是个二维平面的表达式，如果规模收益真的不变的话，我们的生产函数就真的是一块铁板！
根据这个证明，也很容易推广到当r != 1时的情况：
r > 1，L * MPL K * MPK = r Q > Q，此时产品不够分给各个要素；
r < 1，L * MPL K * MPK = r Q < Q，此时产品分给各个要素还有剩余。
wiki上的证明比我这个复杂，其实是难在了计算上，而我觉得上面这个说法更加清晰地说清了数学模型意义，不会因为复杂的计算让本质的理解被掩盖。
大家有没有发现一个事，其实这经济学欧拉定理结论就是二元函数的一阶泰勒展开式在原点的一次项，因为作为齐次的生产函数以及次数为1的情况，其所有的高阶导数都是0。
可见，我们的生产函数在齐次，且1次线性，才能够成立，也难怪在现实中不成立了！
欧拉定理系列尾声
到此，我们的欧拉定理系列就正式要告一段落了！在本系列文章的最后，我们回顾一下我们在12篇文章里一共介绍的欧拉定理的哪些内容：
1. 立体几何领域的简单多面体欧拉定理，拓展到n维空间的欧拉定理以及抽象图论的欧拉定理，学习了数学归纳法和数学里的抽象拓展思维方法；
2. 平面几何欧拉定理，以及相关的九点圆和欧拉线定理，欣赏了小而美的平面几何；
3. 复数领域的欧拉公式，引入自然对数e以及用群论观点理解欧拉定理的实质；
4. 数论领域的欧拉定理，揭示了自然数的又一基本结构；
5. 经济学欧拉定理，欧拉定理在实际生产模型中的应用。
以上就是欧拉定理分享的全部内容，借着他老人家一生的成就，我也遨游了一把数学的世界，幸福而满足，希望你也是。
我们是谁：
MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！
