2021-08-24 14:45:25
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量子纠缠 上面这些公式对量子纠缠的研究很有用。纠缠跟黑洞热力学和热态的纯态化有关。我们考虑希尔伯特空间
mathcal H = mathcal H_A otimesmathcal H_B
在这上面定义个纯态
|psirangle = sum_{i,j} c_{ij } |phi_irangle_A |phi_jrangle_B
现在假如存在一组
c^A_i ,
c^B_j ,使得
c_{ij} = c^A_i c^B_j
那么
sum_{i, j} c_{i j}left|phi_{i}rightrangle_{A}left|phi_{j}rightrangle_{B}=left(sum_{i} c_{i}^{A}left|phi_{i}rightrangle_{A}right)left(sum_{i} c_{j}^{B}left|phi_{j}rightrangle_{B}right)
这是我们就是这个态是可分离的。假如说一个态是纠缠的，这说明不存在这样的可分离的
c_{ij} 。
接下来我们来计算只作用于
mathcal H_A 的算符
A 的期望值
begin{aligned}
langle Arangle &=operatorname{Tr}(rho A)=sum_{i, j} {}_Aleftlangleleft.phi_{i}right|_{B}leftlanglephi_{j}|rho A| phi_{i}rightrangle_{A} mid phi_{j}rightrangle_{B} \
&=sum_{i} {}_A langlephi_{i} |left(sum_{j}{ }_{B}leftlanglephi_{j}|rho| phi_{j}rightrangle_{B}right) A | phi_{i} rangle_{A} \
& equiv sum_{i} {}_Aleftlanglephi_{i}left|rho_{A} Aright| phi_{i}rightrangle_{A} equiv operatorname{Tr}_{A}left(rho_{A} Aright)
end{aligned}
约化密度矩阵的定义为
rho_A equiv {rm Tr}_B rho equiv sum_j {}_Blangle phi_j | rho | phi_jrangle_B
在
mathcal H 里面的描述纯态的密度矩阵有如下形式
rho = sum_{i,j,k,l} c_{ij} (c_{kl})^* | phi_i rangle_A | phi_j rangle_B ,, {}_A langle phi_k | {}_B langle phi_l |
对
mathcal H_B 求迹
begin{aligned}
rho_{A} &=operatorname{Tr}_{B} rho \
&=sum_{n} {}_{B} langlephi _ { n } | (sum_{i, j, k, l} c_{i j} (c_{k l} )^{*} |phi_{i} rangle_{A} |phi_{j} rangle_{B} langle phi_{k} |_{B} langlephi_{l} | ) |phi_{n} rangle_{B} \
&=sum_{n, i, k} c_{i n}left(c_{k n}right)^{*} |phi_{i} rangle_{A}{ }_{A}leftlanglephi_{k}right|
end{aligned}
因此
begin{aligned}
rho_A^2 & = sum_{n,i,k} c_{in}(c_{kn})^* |phi_i rangle_A {}_A langlephi_k | \
& times sum_{a,c,d} c_{ca} (c_{da})^* | phi_c rangle_A {}_A langlephi_d | \
& = sum_{n,a,d,i,k} c_{in }(c_{kn})^* c_{ka }(c_{da})^* | phi_i rangle_A {}_A langle phi_d |
end{aligned}
求迹可得
begin{aligned}
&operatorname{Tr}_{A} rho_{A}^{2} \
&=sum_{l}{ }_{A} langlephi_{l} | (sum_{n, a, d,} c_{i n} (c_{k n} )^{*} c_{k a} (c_{d a} )^{*} |phi_{i} rangle_{A}{ }_{A} langlephi_{d} | ) | phi_{l} rangle_{A} \
&=sum_{n, a, l, k} c_{l n}left(c_{k n}right)^{*} c_{k a}left(c_{l a}right)^{*} \
& leq sum_{n, a, l, k} c_{l n}left(c_{l n}right)^{*} c_{k a}left(c_{k a}right)^{*}=1
end{aligned}
过程中我们用到了
sum_{i,j} c_{ij} (c_{ij})^* = 1 .
因此我们证明出
{rm Tr}_A rho_A^2 = 1 leftrightarrow rho描述了一个可分离的态
所以说，只有描述纠缠态的
rho 才能产生描述混合态的约化密度矩阵。这意味着约化密度矩阵
rho_A 包含了
mathcal H_A 和
mathcal H_B 之间纠缠的信息。
纠缠的程度可以用冯诺伊曼熵来测量
S_{rm EE} = -{rm Tr}_A rho_A log rho_A
可以推出
S_{rm EE}>0 leftrightarrow rho描述了一个纠缠态
一个特殊的纠缠的纯态是TFD(Thermal Field Double)态。定义是
|{rm TFD}rangle = frac{1}{sqrt{Z}} sum_n e^{-beta E_n/2} | nrangle_1 |n rangle_2
它的密度矩阵是
begin{aligned}
&rho_{rm T F D}=|{rm T F D}rangle langle {rm T F D} |\
&=frac{1}{Z} sum_{n, m} e^{-betaleft(E_{n} E_{m}right) / 2} | n rangle_{1}|nrangle_{2}{,, }_{1} langle m |_{2}langle m|
end{aligned}
现在我们来计算算符A在TFD态的期望值
begin{aligned}
operatorname{Tr}left(rho_{rm T F D} Aright) &=langle {rm T F D} |A| { rm T F D}rangle \
&=frac{1}{Z} sum_{n, m} e^{-betaleft(E_{n} E_{m}right) / 2}{ }_{2}langle m mid nrangle_{2}{,, }_{1}langle m|A| nrangle_{1} \
&=frac{1}{Z} sum_{n, m} e^{-betaleft(E_{n} E_{m}right) / 2} delta_{n m}{ ,,}_{1}langle m|A| nrangle_{1} \
&=frac{1}{Z} sum_{n} e^{-beta E_{n}}{ }_{1}langle n|A| nrangle_{1}
end{aligned}
约化密度矩阵
rho_1 rho_1 = frac{1}{Z} sum_n e^{-beta E_n} | nrangle_1 {,,}_1 langle n |
那么对于一个只能在
mathcal H_1 中观察的观测者来说，纯态TFD看上去就像是热态一样的。TFD态的构建也就是对正则系综的纯化。
本征态热化假说 对于一大类在非可积系统里面的算符
mathcal O 在能量为
E_i 的本征态里的期望值是
langle E_i | mathcal O | E_i rangle = langle mathcal O rangle_{rm micro,E_i} Delta_i
这个假说的物理意义是，多自由度的孤立系统中给定能量的纯态看起来是热态。因为算符的期望值趋近于微正则系综平均。
