当你听完线性代数中矩阵各种厉害，各种应用，然后提了提裤子冲入线性代数的世界，会发现出现了行列式，代数余子式，等等的东西，和你想象的那个变换，映射的世界相差甚远。
我每次都是这样
我无法做到不了解它的前因后果就接受它，SO，今日这点的时间就留给它。目标是有直观理解，以及计算两个方面。就如王老师所说：概念 应用。
拿出来课本看看有什么？
虽然人人骂，但是不可否认的是，这样的设计可以让授课快很多。
MIT的课程是放到了中间的位置
马同学是第七章
偷张宇的导图
最直观的定义就是在一个矩阵函数下面进行了映射，映射前后的面积之比为行列式。
其实这门课本身是在解这样的线性方程组
除了用高斯消元法等算法（我好像就记得这个），还可以使用行列式来计算
有几个未知数就列几个方程，这样才能求出唯一解。这是以前念书的时候说的，观念之深甚至到现在我都会时不时的来判断一个方程能不能解出来。
比如常见的二元一次方程组
如果这个系数矩阵，是满Rank的（三满，本身的和行与列的）
我们这样定义一个列满
看一个例题
C1，2组成了一个平面，因为在这里面，任意两个线性无关（就是不可以互相表示，也就是最大无关组，是基），构成了一个平面，也说张成了一个平面，结论就是满Z。
看行Z，你看上面的转置符号，其实也就是转成了列Z
还是上面的矩阵，可以看到两个行向量是一样的，相关了，按照定义就是不满行Z
按照定义看，行≠列也就是≠矩阵的Z
直观看，R（2）是只能变成一个平面的，再也没有多余的基来生成多的空间。
对秩的理解：向量组张成的空间维数，而这取决于组中向量的个数和组中向量的维数。
矩阵满秩表明张成空间的维数等于矩阵行/列数（行/列组中向量个数）。以行秩为例矩阵Amn，m行n列，行组中含有m个n维向量。
它最高张成R^m。
如果m＞n，说明“基”不够无法张成R^m，一定非满秩。并且此时m个n维向量一定是线性相关的。此时这m个向量最高张成R^n，那么它的秩r≤n。他们相关性越高，则张成空间维数越小，秩越小。
如果m＜n，则最高张成是R^m，尽管其中向量为n维向量。如果行组相关性最小，是线性无关，则表明有m个“基”可张成R^m，行满秩。如果行组有相关性，则不满秩。并且，随着相关性的增长，行组中越多向量可由其他表示，用于张成的“基”就越少，张成的维数也越小，秩也越小。
大概就是这么个情况
上面说的是系数矩阵满Z，我就可以高斯消元法来解
因为上面看起来太复杂了，所以这里就来定义一个规则，就这样
教科书也是这样说的，这个骂不了
而且人家说了，反正就记作一个大的绝对值的样子
最终的解就是这样的
看不懂？没事啊，教科书给你补啦，小傻逼
需要知道的是，这个计算法则是不要求满Z的，就是个方阵就好
这个是不是太简单了？有手就行，那接下来看看3x3的:
就这样
还是满Z
直接，妈妈我拉裤兜子了，这个一坨太恐怖了
那继续引入一个记号，就是这样
我的心眼子都没有这个顺序多
就这么个情况，就解出来了
当然平时习惯是展开成二阶的算
就是重拍了一下
今天我教你个简单的做法：
首先把前两行重写一次，写在行列式后面，接着就是从左开始算，三下，是加号，然后从最后再翻过来三下。
书上例题
hhh，但是现在问题是行列式会了，100以内加减法不会了
前面提到的解线性方程组的方法也称为克拉默法则
这老哥观察了以后就说，系数矩阵A是满的，解就是用规律的
注意看，列！！！！！！！！！！
最后说了，4阶的也是OJBK
展开有24项这么多
这才8个，明显不对
这就是教科书的问题，逆序数，关我锤子事，一学一个不吱声，其实是因为解方程的方法蕴含上面的规律。
介绍阶行列式的定义，它的定义相当复杂，可以想象是数学家们（比如凯莱、范德蒙、克拉默等）废了无数草稿纸，反复验算各阶线性方程组，从中总结出来的。
哈哈哈，概率这个搅死棍也来了
从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m=n时所有的排列情况叫全排列。
公式：全排列数f(n)=n!(定义0!=1)
在一个排列（也就是数列）中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为该排列的逆序数。逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
你看这个5以前，没有一个大于5，所以就是0个
4呢？有个5，是1
6！偶排列
一个排列中任意的两个元素对换，排列改变奇偶性。
做个题
好丑的字，吐了
那么我们的这个行列式就是表示成了这样
先不慌，虽然抽象，但是我们能赢，你看这个a的元素，第一个1其实就是第一行的意思，后面的p就是列，这个列就是我们元素的全排列。
这里解决第一个问题，里面的每一项，就是这些元素相乘有多少个，以及该取谁。你看，就是5个数的全排列，把值给到列就好了。
看第一个数字，都是123
第二项就是全排列了
第二个问题就是全面这个系数，其实就是后面这个式子逆序数，就是需要对换多少次才是排列好，其实是个计算机的排序问题。
冒泡了，嘟嘟嘟
最后的问题是有多少项，就是对所有的全排列求和
现在去看教科书，看看能看懂不？
看这个题，一定要先按序排列
有点激动？学会没有？我不知道，前路漫漫，继续！
在A2矩阵的映射下，变成了右边
这个很形象
比如这个，A＞0，面积没有变，就是乘了一个旋转阵
乘一个伸缩阵会变大
也会变小
如果不满Z，那么行列式=0
你看这个矩阵，是一个行阶梯的矩阵，非0行为1
镜像阵的行列式就可以＜0
但是在过程中
这里我们也可以定义这个面积有正负
你看就比出来了负数，负数本身就有旋转的意思
变换后和变换前的有向面积之比，不说是面积比值了。
事实上这里有点难，我可能不会写了，但是我自己会学，我看情况
是哪个？
右手定理，从b抓到c
就是这样
向量空间的自然基是这样排列的
那么根据上面的运算和定义会有这样的关系
知道三维空间中的有向面积在各个坐标面上的投影向量，那么就可以合成得到三维空间中的有向面积，也就是向量积。
有一组向量是中间图案的两个边
有向面积是从上的
这样就是投影了
一抓，其实这个xoy的z是从下的
这个面积其实是用的叉
