啊!再见吧!我的行列式~

2024-08-21 08:45:15 浏览数 (2)

当你听完线性代数中矩阵各种厉害,各种应用,然后提了提裤子冲入线性代数的世界,会发现出现了行列式,代数余子式,等等的东西,和你想象的那个变换,映射的世界相差甚远。

我每次都是这样

我无法做到不了解它的前因后果就接受它,SO,今日这点的时间就留给它。目标是有直观理解,以及计算两个方面。就如王老师所说:概念 应用。

拿出来课本看看有什么?

虽然人人骂,但是不可否认的是,这样的设计可以让授课快很多。

MIT的课程是放到了中间的位置

马同学是第七章

偷张宇的导图

最直观的定义就是在一个矩阵函数下面进行了映射,映射前后的面积之比为行列式。

其实这门课本身是在解这样的线性方程组

除了用高斯消元法等算法(我好像就记得这个),还可以使用行列式来计算

有几个未知数就列几个方程,这样才能求出唯一解。这是以前念书的时候说的,观念之深甚至到现在我都会时不时的来判断一个方程能不能解出来。

比如常见的二元一次方程组

如果这个系数矩阵,是满Rank的(三满,本身的和行与列的)

我们这样定义一个列满

看一个例题

C1,2组成了一个平面,因为在这里面,任意两个线性无关(就是不可以互相表示,也就是最大无关组,是基),构成了一个平面,也说张成了一个平面,结论就是满Z。

看行Z,你看上面的转置符号,其实也就是转成了列Z

还是上面的矩阵,可以看到两个行向量是一样的,相关了,按照定义就是不满行Z

按照定义看,行≠列也就是≠矩阵的Z

直观看,R(2)是只能变成一个平面的,再也没有多余的基来生成多的空间。

对秩的理解:向量组张成的空间维数,而这取决于组中向量的个数和组中向量的维数。

矩阵满秩表明张成空间的维数等于矩阵行/列数(行/列组中向量个数)。以行秩为例矩阵Amn,m行n列,行组中含有m个n维向量。

它最高张成R^m。

如果m>n,说明“基”不够无法张成R^m,一定非满秩。并且此时m个n维向量一定是线性相关的。此时这m个向量最高张成R^n,那么它的秩r≤n。他们相关性越高,则张成空间维数越小,秩越小。

如果m<n,则最高张成是R^m,尽管其中向量为n维向量。如果行组相关性最小,是线性无关,则表明有m个“基”可张成R^m,行满秩。如果行组有相关性,则不满秩。并且,随着相关性的增长,行组中越多向量可由其他表示,用于张成的“基”就越少,张成的维数也越小,秩也越小。

大概就是这么个情况

上面说的是系数矩阵满Z,我就可以高斯消元法来解

因为上面看起来太复杂了,所以这里就来定义一个规则,就这样

教科书也是这样说的,这个骂不了

而且人家说了,反正就记作一个大的绝对值的样子

最终的解就是这样的

看不懂?没事啊,教科书给你补啦,小傻逼

需要知道的是,这个计算法则是不要求满Z的,就是个方阵就好

这个是不是太简单了?有手就行,那接下来看看3x3的:

就这样

还是满Z

直接,妈妈我拉裤兜子了,这个一坨太恐怖了

那继续引入一个记号,就是这样

我的心眼子都没有这个顺序多

就这么个情况,就解出来了

当然平时习惯是展开成二阶的算

就是重拍了一下

今天我教你个简单的做法:

首先把前两行重写一次,写在行列式后面,接着就是从左开始算,三下,是加号,然后从最后再翻过来三下。

书上例题

hhh,但是现在问题是行列式会了,100以内加减法不会了

前面提到的解线性方程组的方法也称为克拉默法则

这老哥观察了以后就说,系数矩阵A是满的,解就是用规律的

注意看,列!!!!!!!!!!

最后说了,4阶的也是OJBK

展开有24项这么多

这才8个,明显不对

这就是教科书的问题,逆序数,关我锤子事,一学一个不吱声,其实是因为解方程的方法蕴含上面的规律。

介绍阶行列式的定义,它的定义相当复杂,可以想象是数学家们(比如凯莱、范德蒙、克拉默等)废了无数草稿纸,反复验算各阶线性方程组,从中总结出来的。

哈哈哈,概率这个搅死棍也来了

从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排列起来,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。当m=n时所有的排列情况叫全排列。

公式:全排列数f(n)=n!(定义0!=1)

在一个排列(也就是数列)中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为该排列的逆序数。逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列

你看这个5以前,没有一个大于5,所以就是0个

4呢?有个5,是1

6!偶排列

一个排列中任意的两个元素对换,排列改变奇偶性。

做个题

好丑的字,吐了

那么我们的这个行列式就是表示成了这样

先不慌,虽然抽象,但是我们能赢,你看这个a的元素,第一个1其实就是第一行的意思,后面的p就是列,这个列就是我们元素的全排列。

这里解决第一个问题,里面的每一项,就是这些元素相乘有多少个,以及该取谁。你看,就是5个数的全排列,把值给到列就好了。

看第一个数字,都是123

第二项就是全排列了

第二个问题就是全面这个系数,其实就是后面这个式子逆序数,就是需要对换多少次才是排列好,其实是个计算机的排序问题。

冒泡了,嘟嘟嘟

最后的问题是有多少项,就是对所有的全排列求和

现在去看教科书,看看能看懂不?

看这个题,一定要先按序排列

有点激动?学会没有?我不知道,前路漫漫,继续!

在A2矩阵的映射下,变成了右边

这个很形象

比如这个,A>0,面积没有变,就是乘了一个旋转阵

乘一个伸缩阵会变大

也会变小

如果不满Z,那么行列式=0

你看这个矩阵,是一个行阶梯的矩阵,非0行为1

镜像阵的行列式就可以<0

但是在过程中

这里我们也可以定义这个面积有正负

你看就比出来了负数,负数本身就有旋转的意思

变换后和变换前的有向面积之比,不说是面积比值了。

事实上这里有点难,我可能不会写了,但是我自己会学,我看情况

是哪个?

右手定理,从b抓到c

就是这样

向量空间的自然基是这样排列的

那么根据上面的运算和定义会有这样的关系

知道三维空间中的有向面积在各个坐标面上的投影向量,那么就可以合成得到三维空间中的有向面积,也就是向量积。

有一组向量是中间图案的两个边

有向面积是从上的

这样就是投影了

一抓,其实这个xoy的z是从下的

这个面积其实是用的叉

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