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ARIMA
跟指数平滑法（ETS）同样经典的另一个时间序列预测模型是ARIMA（Autoregressive Integrated Moving Average Model，整合移动平均自回归模型）。ARIMA完整模型如下方程所示：
其中，
是时间序列y的N阶差分，当N=1时，即为当期值-上期值，如下图所示：
为了方便显示，完整方程可改写为如下所示：
三个重要参数：
- p：代表预测模型中采用的时序数据本身的滞后数(lags)
- d：代表时序数据需要进行几阶差分化，才是稳定的
- q：代表预测模型中采用的预测误差的滞后数(lags)，也叫做MA/Moving Average项
ARIMA(0,0,0)——White Noise
我们首先来考察最极端的情况，即三个参数均为0。此时，由于d为0，所以无需差分，ARIMA方程变为：
即为一个白噪声(White Noise)序列。即序列任何两个时间点的值都不相关，但序列的期望值（均值）为0。无法进行有效的预测。
ARIMA(0,1,0)——Random Walk
此时，d=1，p和q为0，则ARIMA方程为：
即序列的一阶差分为白噪声序列，这种情况下，序列本身成为随机游走序列(Random Walk)。随机游走序列具有以下两个特点：
- 长期来看具有上升或下降的趋势，取决于常数c，
- 短期内会突然上升或下降。
为什么要取差分？因为大多数时间序列是非平稳的（即有升降趋势或周期性），但当期和上期的差值（即一阶差分）可能使得序列平稳（不随时间改变），易于预测。当然，往往一阶差分不够，还需要进行二阶差分（此时d=2）。
ARIMA(p,0,0)——AR Model
当d和q为0，且p不为0时，ARIMA模型简化为AR模型（自回归模型），即
或更直观地：
上式的意思是，当期的预测值，是前p期值的回归，因此叫做自回归。
ARIMA(0,0,q)——MA Model
当p和d为0，且q不为0时，ARIMA模型简化为MA模型（移动平均模型），即：
上式的意思是，当期的预测值，是前q期预测值与实际值误差的加权平均数。值得一提的是，MA模型与我们在Power BI里常用的移动平均法是有区别的。后者的英文名称为Moving Averaging Smoothing，译为移动平滑更合适。即当期预测值是前N期实际值的平均值，更接近于AR模型（前p期系数相同且均为1/q）。而MA模型，则是求误差的加权平均。
SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)m——季节性ARIMA模型
跟指数平滑法类似，ARIMA也可以包含季节部分。季节部分同样含有三个参数，分别用大写P，D，Q表示。此外还有一个m参数，代表每年有几个观测值。如季度性时间序列，则m=4；月度性时间序列，则m=1。
举例，SARIMA(1,1,1)(1,1,1)44 模型如下所示：
POWER BI中的使用方法
参数这么多的模型，在Power BI中自然是不方便通过DAX来模拟。但是第三方市场上有不少涉及ARIMA模型的视觉对象。我们将在下期，为大家一一解读。敬请收藏~关注~点赞~
注：本文部分公式截图来源于Forecasting: Principles and Pratices. Rob J Hyndman and George Athanasopoulos . https://otexts.com/fpp2/arima.html
