一尺之棰，日取其半，万世不竭。
文前引言里面的古诗说的就是这个级数，也是芝诺悖论的翻版。这个东西就是离散的，n就是要做这个事情的次数，当万世之后求和，收敛到了一个数-1。
所以可以这样说（肯定是有问题的）：
级数=一堆元素相加的函数
级数思想=靠很多元素相加去逼近一个大元素
但是：无穷级数是部分和的极限，而不是一项一项加出来的
级数的全称叫做无穷级数，它是有别于微分学和积分学的一部分，初学起来感觉这一部分有些突兀，可以像解析几何、微分方程那样自成一派。
级数说到底是在研究函数，数项级数是函数项级数在x取定后的级数，而函数项级数则是等于他所对应的和函数的。
这个就是数项级数
函数项级数的抽象的，没有明确的定义式
但是函数项级数都是函数项数列来的
有个海涅定理，也叫归结原理：
数列和函数极限存在且相等时，可以把数列当做函数来求极限，说的很不严谨，但是一般都这么用，连接数列与函数的工具，如果实在不理解可以用几何含义比较它们各自的面积，大的无穷积分的面积都收敛，在其中小的被切成条的无穷级数的面积肯定也收敛。
积分就是求和的过程，而级数则是离散点的求和过程
几何级数（英语：Geometric series）是无穷多个项的总和，这些连续项之间的公比是恒定的。
哦莫
还有一种是比较判别里面的要用的P级数：
补一下初等函数
蜜汁对三番，这个顺序错不了
回想一下不定积分的知识，我们知道有些函数的原函数存在但表示不出来的，这里所说到表示不了是指不能用初等函数表示，换言之就是无法用基本初等函数的有限次四则运算和有限次复合来表示，级数是无穷项的和，函数项级数是无穷项函数的和，这也就为我们用级数来表示某些函数的原函数提供了依据。
大家都认为连续函数必可导，结果weierstrass 用级数构造了一个点点连续却点点不可导的函数。
大概就这样
函数图像就是这样
其次所谓的收敛就是指某个东西的极限存在
不收敛的（即不存在极限，不接近/趋向于任何特定的数字，而是一直增长到无穷大）
调和级数是发散的：
不收敛的样子
整数指数幂，数学术语，形如a^x的式子称为幂，其中a称为幂的底数，x称为幂的指数。当x取正整数，零，负整数时，a^x分别称为正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂，统称为整数指数幂。
幂级数重要的地方之一在于相当多函数在某一点的值都可以换成一个幂级数来展开表达（只要在这点有任意阶导数）
这样好处是，一个不易求导的函数，可以使用幂级数展开以后，每一项分别求导数（因为（u＋v）'=u' v'),比如x^n的每一项导数都非常好求，另外如果不好求值的函数也可以这样展开然后算出一个近似值
单变量的幂级数，请看后面的函数形式
牛逼牛逼
这个是常见的幂级数展开；函数项级数，是无数个幂函数之和。
这个是泰勒级数，去对照的看每一个项。有限个幂函数之和再加一个拉格朗日余项
泰勒展开是是用微分的原理做的二项式展开，后面展开的n越大精度越高，只要函数有任意阶导数都可以展开为泰勒，他是有限项加上拉格朗日余项。
幂级数展开是，任意一个幂级数都可以求收敛区间然后收敛区间中的x都可以有一个级数和与其对应，即和函数S（x） 。
然而将函数进行幂级数展开，就是通过一个Ｓ（x）来找是哪个幂级数的和函数正好是Ｓ（x）。
这是互逆的两个过程。而级数是无穷多项的相加 ，n趋于无穷。
牛顿发现了二项式以后：就给出了求任意函数积分的办法；先把函数转换成幂级数，再一项一项地算各个幂函数的值，利用积分的可叠加原理，最后再合并各项的值，就求出了该函数的积分值，这便是我上面说的泰勒公式。
还有一个精彩的回答，但是我有点没看懂：
学习过线性代数就知道，x的整数次幂可以理解为线性空间的一组线性无关的基，系数可以理解为相应的坐标。
向量空间的一组元素中，若没有向量可用有限个其他向量的线性组合所表示，则称为线性无关或线性独立（linearly independent）。线性无关表示所有向量组内的向量全部都有用，是不能“化”去的。也就是基
这样所有的多项式成为一个线性空间，可以定义加法以及标量乘法的运算。
泰勒展开式和傅里叶展开式本质上是一样的，对同一个空间选择了不同的基而已，泰勒展开式的基是自变量的1到n次幂，傅里叶级数的基是三角函数sinnx,cosnx。
我就不能理解整数次幂作为基这个事情。
透着屏幕都能感觉作者的MMP心情
一直喜欢李娟，终于拍电视剧了！
依然同学太好看辣
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