就让我来粗浅的回顾一下现代微积分世界，首先有一个难受的事实是，我们现在学的微积分，甚至说数学大厦其实不是那么新，而是在之前哪个群星闪烁的时代就已经奠定了。也就是说，好像版本之间是兼容的，你的题几百年前的人也能做，他的题你也能试试。
但是这也有优点，首先就是完善性，一个函数放到面前你可以使用各种工具来研究它的各种特点。
我觉得还有可解释性，俗话说的好，永恒不变的只有永恒的改变，这句话的理性解释就是变动关系，那微积分是擅长于此的。
还有我觉得是真实性，因为你会发现，当你建立了一个完善的单位系统以后，我指就是测量系统，比如一米，一秒这些基本概念。其实这些东西也是相对的，我也能创建属于我自己的“一米”，但是大概率我只能自己在家使用。好，也就是说，我们这个小篮球上面打开找了一些不容易改变的东西作为基准的测量单元。
别的东西和它做比就知道了具体的一个测量量。所以我觉得应该大学里面再开一个测量学的课。
有事没事，看看这种东西也是极好的
你使用微积分这套工具 普天之下的测量单元，你可以在低速世界里面为所欲为，因为你总可以把你感兴趣的量写出一个关系式，那么就又归到了微积分的世界。
还有一点让我欣慰的就是，微积分的书确实很多，其实大家讲的东西都一样，所以当你熟悉一套理论的时候再看别的书籍你只会觉得是一种补充，而没有初学哪种青涩之感。
还有一个想说的是，感觉微积分的学习不是线性的，就是它不像我翻看的人文社科一样，你可以随手翻开一页读下去。微积分是你翻开一章，你会发现概念在前一章，所有章节都如此反复，你会发现你要想看下去就是要对所有的前置知识有认识，你可以不会算，但你一定要感受哪种逻辑之美。
其次我觉得就是要为现在的同济教材正名，它的知识没有错，而且环环相扣，深度也足够工科之后课程的使用。但是被骂的原因，我觉得是缺了数学史，和顺序不对的问题上。
对于无穷小的定义，你觉得是难以理解，但是你看了数学史你会觉得，这个概念是有多少人花了一生都无法勘破的真理。没办法，这就是给你结论，但是你却不知道为什么，为什么的问题其实是历史问题，不是一个数学问题。
其次就是顺序上面颇有微词，我就不展开了。如果不想看严密的微积分，我推荐这本书：
这本书其实是先讲积分，再讲微分的。
这个是讲微分之前的一段话
这个图也是老演员了，当 x 大一点点的时候，对于整个量的变化是多少，这就是微分。
这里面出现的小增长就是无穷小的概念，无所谓可以不要？所以这就是微积分第一章的内容，要不要就和 0 比较大小。
高数第一章就是先定义了基本讨论的单元
有向线段
点集
这就是一个平面点集：一个二维向量对应了二维直角坐标中的一个点
线性代数
因为二元的函数，在研究的领域里面会出现一些常见的图像
比如球
一个二元函数的 demo，球投影在下面的 xy 面，就是一个点集。
再看这个函数，左面是定义域，可以看到 y 轴也参与进来了，虚线部分不要。
一个单变量函数的邻域概念
我在很多的时候都在疑惑，为什么是邻域？就是为什么是这样一个小区间，后面我想通一些，首先是极限这个概念，要的是任意方向的逼近。你看这个单变量，其实任意无非就是左，右，或者两个一起。
- 精确性：左一段和右一段的设置可以帮助我们更精确地描述一个数学对象周围的环境。比如，我们可以通过左开右开区间 (-ε, ε) 来表示距离这个对象不超过ε的范围。
- 可调节性：通过调整左右段的长度，我们可以控制邻域的大小。这对于分析数学对象的性质和行为非常有用。如果我们需要更小的邻域，就可以减小左右段的长度；如果需要更大的邻域，就可以增大左右段的长度。
- 对称性：左一段和右一段通常是对称设置的，这样可以保持邻域的对称性。比如，对于实数轴上的点，如果取左开右开区间 (-ε, ε)，那么这个邻域在这个点周围就是对称的。
- 数学表达的便捷性：左一段右一段的设置在数学表达上也更加便捷和规范。它符合数学语言的习惯，并且易于理解和推导
你看这个二元函数的邻域就是一个圈，好像也证实了我的想法，邻域就是给了变量的运动范围。足够小，又满足任意运动的需求。
也从侧面给出了一个讨论的环境，一个邻域，一个区域。
在教科书里面的邻域说了一点，是开区间一般称为邻域，不过是去心的。
所以绝对值差的形式也可以看作是邻域的一种，图像化的意思是有一小条。
这个是二元的邻域定义，先点一个点，画一个圈就在这里讨论。
这样的集合也是三种情况
那么一个
这些东西在应用上面不做要求，但是你要知道盖大楼的小石头是上面。
积分啊，求导啥的，不急，还得看看多元函数极限是什么样子的？
聚点，闪亮登场，点！真的是个点，虽然聚是动词
去心邻域的聚点
数列聚点，绿色的点都是红色的点曾经走过的地方，我走过你走过的地方算不算相拥。最后走向永远触碰不到的 0
这个区域无论再小，都会包含 1/n的点，
聚在 0
一旦取值就是离散的
就看一个点以任意的方式靠近另外一个点，如何衡量这么近，那就是距离。
对比的看，发现后面的极限关注的东西不太一样
事实上，二元函数的定义域和去心不完全重合，但是一定是相交，就是说有可能画了一个圈正好一部分在外面漏着，其实这个定义在补足这个缺陷，妈耶。
上面以一个曲顶柱体的体积来说明了，二重积分是什么。下面给出定义：
D 是下面的闭合曲面，d_sigma 是一个小格子的面积，和 f 一相乘就是一个小柱体的体积。前面两个 SUM 符号就是一个二重积分的标记。
我这里截图的时候快了，下面的格子会伸起来边界围成一个体积
上面的计算就是计算后面这个式子，但是不是 n 到无穷
而是 lambda 趋于 0：
这个是 λ 的定义
对比
但是只有平均划分的时候才满足
这是瞎几把划分
高的选择是随意
不规则也可以
在积分定义中，文字版才是理性尽显，不要太迷恋图形本身。
齐次
可加
就给自己挖坑，上面的文章我都忘了在写什么了，不管了，先说一下偏导数，明明说的是小邻域任意逼近，但是又求两个导数。
偏导数，那就至少涉及到两个自变量，以两个自变量为例，z=f(x,y) . 从导数到偏导数，也就是从曲线来到了曲面. 曲线上的一点，其切线只有一条。但是曲面的一点，切线有无数条。
而我们所说的偏导数就是指的是多元函数沿坐标轴的变化率.
这张图好的地方在于，它清楚的给出了一点处偏导数在坐标轴上面的关系：
也就是几何意义
这个是在Y轴的投影
坐标系统在偏导数里面更为重要，不论曲线如何蜿蜒曲折，但只研究投影在X，Y上面的东西。
一个变量对应一个坐标轴，偏导数为函数在每个位置处沿着自变量坐标轴方向上的导数（切线斜率）。
这张图是可以说明，这个单一轴变化率的范围，就是这样的，可以使用Tan α来定义。
偏导数的局限性在：偏导数指的是多元函数沿坐标轴的变化率，但是我们往往很多时候要考虑多元函数沿任意方向的变化率，那么就引出了方向导数.
也就说方向不是沿着坐标轴方向，而是任意方向呢？
则为方向导数。如下图所示，点
