一个变量的世界研究明白没有？不明白就不明白吧，无所谓的。没有多元函数的微积分是不完美的，真的几个学科转下来，真的不一样，想法就不一样。
我学习的时候参考了很多资料，但是零零碎碎的
微积分是极限，够细就够精确。
线性代数是空间，有方向的时候就有向量，有向量的的时候就有矩阵，有矩阵就有空间，有空间就有变换。
统计和概率好像无法分开，我觉得它抽象而具体。
一元函数积分学对应的是平面解析结合
多元函数微积分对应空间解析几何，不能说对应，就是学了以后大有用处。
线性相关：一组向量的线性组合=0，就是可以互相表示。比如有三个向量不共面，也就是说不可以互相表示，那就是说线性不相关。
空间中任意四个向量共面。
仿射坐标系：直角坐标系是特殊的仿射坐标系
右手系，左手系：是在判断几个运算时候的正负的
内积，数量积：本质上是投影的，但是可以用在物理学里面的做功计算，很多地方都会用，因为它是唯一一个可以通过一些向量算出来角度的公式，可以度量相关性。
如果两个向量指向一致的方向时：
此时就会得到一个正的值，越接近越大，我们反着想，如果分开呢？正负的交界点就是垂直=0，而后就是负数，我们的感情就分道扬镳了，因为为负数。
事实上，这个也可以解释解读角度和向量方向的问题
我特别喜欢这个解读，你喜欢自己吗？你能接待自己吗？
投影是一个绕不开的事情
a在b方向的分量，这里的计算公式很简单，不要记住后面的，记住cos
这个叫投影的长度：
这段
说这个物理的定义：
是线积分的领地，一个曲线有多长，这就是全部
多读两遍就懂了，这种投影的想法真的是牛逼
当然了，这个曲面积分是有两部分的，因为有两个轴，P195
力矩，向量积，外积，叉积：算出来的是一个垂直于两个向量构成平面的向量，算出来了新的东西，这个时候的方向就需要用到上面的手性坐标了。高中的时候这个东西的向量式是算发向量的高级武器，不知道你们的高中有没有教过。
高中的杀器
点积的用法有一个是：
两个向量互相垂直，其实求内积也可以
向量的混合积，三重内积也叫：先叉积，后点积，是个平行六面体的体积
就是这样
三向量的双重向量积：两次叉积
极坐标：通过三角函数可以很方便的和直角坐标系转换。我感觉引入了一种相对的感觉，我老是想象我就是那个极点。
这本书作者是真厉害，插科打诨的就讲完了难的知识
所有的推断根源是这个
是不是觉得很奇怪？r=3就可以？对，你想啊就距离等于3的全体不就是一个圆。
使用这个就可以还原
这是一种基于公式的转换公式
或者直接画图来获得图像
这个图是著名的极坐标图像
心脏线，又称心形线，是有一个尖点的外摆线。也就是说，一个圆沿着另一个半径相同的圆滚动时，圆上一点的轨迹就是心脏线。
心脏线有四个
COS是左右
-是控制上下
事实上在积分里面尤其是平面积分会频繁的对坐标进行转换
这里在推的时候是分了很多小角来求面积
我直接截图了两个，这个是重要的，积分限是所夹得角，f函数是在外面围成的封闭曲线，注意平方，θ是分的很细的角度。
以上是一个对心形线的积分，原著里面是鸟屎一坨，就不说了
还有这种的，就是会减去一块
和我们的平面差不多，也是大的-小的
这个题也值得说，下面的值是说要积分的位置
要点是要找到两个图像交点
接下来做一个减法，右-左
直线的极坐标方程也很抽象
极坐标系里呢，一样的思路，去找ρ和θ的关系就好。
但是使用这个之间的相关关系都可以算出来
设直线l过点P(r,α)，与极轴的夹角为β，求直线l的极坐标方程。
但是我我最喜欢的是，平面方程的推导。
以上其实不难理解，但是我不喜欢，因为没有一点感情：
太无趣了
这个图一样，但是它的表述是这样的，我们先知道一个P，好。接着我们都又知道有一个方向向量和和这个P所在的直线方向一致，意思就是平行。
好，平行！那就在P的直线上面再找一个Q，PQ就是一个直线了。
但是好像零零碎碎的，PQ，什么的无法连接在一起。SO？就放了一个坐标系里面。
红色是结果
这个结果是不是很漂亮
最后还能得出这个对称方程
这就是直观推导：
高数里面还加了一个方向COS和方向数的概念，完整了。
接下来给出一般方程！！！其实一般式的前身是点法式，使用一个法向量和平面任意一个向量的关系来约束。后来形式上和三元一次方程一样就叫成了更一般的一般方程。
我们如何给出一个平面的位置，来进行追踪记录？我们可以这样想，在平面上面安装一个控制的摇杆就可以了：
PAD是平面，Pencil是控制杆
好，抽象一下
还有一种解法是三向量共面当且仅当混合积为0，这个也解释了在平面的一般方程里面的ABC系数是什么？
表达方式这样的
名字取得好：空间曲线的参数方程，其实是函数，但是函数值不是数，是向量。也称为向量函数，构成的曲线叫参数曲线。
当有一个t的时候，r里面就有三个值
所有书里面都会写螺旋线
这个推导的时候有种各算各的美，如果我们从上往下看，就看到xoy平面上面有个点在旋转，从OA开始转，转到OM，这里的角度使用了角速度来表示。那么就表示完了。X,Y 就是每一个位置，对于上面来说，那就是VT，也可以了。参数就是三个方向的关系。
根号二，是上面每一点的速率
曲线微分的法则也是类似的
因为是函数，在微积分的世界里面就可以求微分，也就是各个分量微分。要去区分的是t是实数变量，f是一般的实数函数了。
对一段弧长怎么求？就是速率x时间，那对一个轨迹也一样。
dt够小，再求极限
曲率在上册。但是那段看的我正是拉裤兜子里了，这里看马同学的。
一个圆的曲率，半径越大，去了越小，就像地球一样，R很大，所以好像地面是平的。
这里可以给几个不同半径的曲率圆
取一个点，左右再取两个，这然后向中间滑动
极限位置叫密切圆
这个就是把半径表示出来了
然后求极限
倒数就是了，不过没有课本的简洁一些，但是他完成了圆代替曲线的工作
好咧，我迫不及待的想说多变量的事情了。多个变量之间的依赖关系。王老师说，大家都是在前面用力过猛，错过了多元的世界。二元函数的图像一般是一张曲面
我们再把目光看向微分学的几何应用
你看这个东西和上面的区别
这个极限很出名，说了二元函数的极限是任意逼近到同一值
这个例子也好，正好变成了无穷小替换
这里的一致连续是数学分析里面的
通俗的讲，就是当自变量任意两点之间的距离小于某个比较小的数，那么对应的函数值也会变化得比较小，函数值的变化不能十分大（不能无限制的大）。
也就是更强的连续
马同学这个文章应该不花钱，可以去看看
因为任意的要逼近一个值的
偏导数！全导数！
好好折腾我
偏导数（英语：partial derivative）的定义是：一个多变量的函数（或称多元函数），对其中一个变量（导数）微分，而保持其他变量恒定。
我们拿一个可汗学院的函数来看
- 这个漩涡d符号ρ , 被称为 "del", 用于区分偏导数和普通单变量导数。
- 新型导数出现的原因是当一个函数的输入量由多个变量组成，我们希望看到函数是如何变化的，通过只让其中一个变量改变而保持所有其他变量不变。
我想说的是偏导的意思事实上就在本身的符号里面，f的变化比上x的变化
有个图是这样的，在下面的两个方向上面求导数
上面的第二三字是导数
偏的意思是不够，我觉得，就是自变量的变化是没有完全展示出来。
教材里面的图还挺形象的，可以看做把图像沿着坐标轴切割后的斜率
这里就是挺直观的
书里面说这个是拉普拉斯方程
还有这个
笛卡尔坐标系的样子就是这样
这个也叫二维的拉普拉斯方程
总结一下，偏导数知识有求导，和求高阶偏导。
这里补一个偏微分的意义，因为马上全微分了!
（其实偏导数就是偏微分？）不是，这里我找了GPT：
需要时刻记得微分的含义，求一个微小的近似值出来。也就是说有偏导数的微分计算就是偏微分，一个变化率x小自变量的增量 另外一个轴的增量就好了。
懂了？
再总结一次：偏导数是计算偏微分的基础，而偏微分则综合了所有变量的偏导数和它们的变化量，提供了函数在某一点处的近似变化。
- 偏微分的物理意义：单一参数的变化，引起的物理量的变化率
- 偏微分的几何意义：在某点相对于x或y轴的图像的切线斜率
接下来是全微分：函数f在某一点的全微分是指该函数在该点附近关于其自变量的最佳线性近似。
与偏微分不同，全微分反映了函数关于其所有自变量的线性近似，而非单个自变量。
这次看看呢？
偏增量就是多出来的东西=偏微分
全增量就是两个变化量的差，计算公式里面数最全面，但是全微分是丢掉了最后的高阶无穷小。
我本来想把这里写的很精彩，但是好像精彩不了。
还有一种写法
这个是参数为t
这个是多元函数复合多元函数，f是由两个函数组成，里面的函数里面又有两个参数。
这个是上面的加强版，就是塞了三个函数
另外一种
肚子好难受不写了，写的不精彩了。。。
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