1. 矩阵的意义
这篇文章对矩阵的含义做了清晰的解释，以 $Ma=b$为例介绍矩阵M的含义
- 从变换的角度来说，矩阵M可以理解为对向量 a做变换得到了 b
- 从坐标系的角度来说，M可以理解成是一个坐标系（常用的坐标是笛卡尔坐标系，即 $I$），向量a就是在M这个坐标系下的坐标，a对应到$I$坐标系下的坐标是向量 b。
所以本质上说a和b是等价的，就好像我们给一个人拍照，站在楼上拍照和爬着拍照，角度不一样，但是拍的东西都是同一个东西，唯一的差别就是坐标系的不同。
2. 特征值和特征向量的意义
基于上面的解释后，我们再来看特征值和特征向量的定义:
设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。
那特征值和特征向量具体是什么含义呢？
我们假设矩阵A的某个特征值为 m1, 对应的特征向量是 x1。根据定义和上面对矩阵的理解可以知道，x1是以A为坐标系的坐标向量，将其变换到以$I$为坐标系后得到的坐标向量 与 它原来的坐标向量 永远存在一个 m1 倍的伸缩关系。
为了方便理解举一个简单的例子，假如矩阵A如下，可以看到它的特征值有2个，分别是1,100，分别对应2个特殊的特征向量，即 1,0,0,1。
$$A= leftbegin{matrix} 1 & 0 0 & 100 end{matrix}right tag{1}$$
所以矩阵A左乘任意的一个向量x，其实都可以理解成是把向量x沿着这2个特征向量的方向进行伸缩，伸缩比例就是对应的特征值。可以看到这2个特征值差别是很大的，最小的只有1，最大的特征值为100。
看下图的例子，矩阵A和向量 1,1相乘得到 1,100，这表示原来以A为坐标系的坐标1,1，经过转换到以$I$为坐标系后 坐标变成了 1,100。我们直观地理解就是矩阵A把向量1,1更多地往y轴方向拉伸。
假如A是多维(n)矩阵，且有n个不同的特征值，那么就可以理解成这个矩阵A和一个向量x相乘其实就是把向量x往n个特征向量的方向进行拉伸，拉伸比例是对应的特征值。那这样有什么作用呢？
3. 特征值和特征向量的应用
意义就在于如果我们知道了特征值的大小，有时为了减少计算了，我们可以只保留特征值较大的，比如上面的图片中，我们可以看到变换后的向量x轴适合原来一样的，而y轴方向拉伸了100倍，所以通常为了实现压缩算法，我们可以只保留y轴方向的变换即可。
对应到高维情况也是类似的，多维矩阵会把向量沿着多个方向拉伸，有的方向可能拉伸幅度很小，而有的很大，我们只需要保留幅度大的即可达到压缩的目的。
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