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翻到一年前自己的日志中记载到“要深入理解好大数定律和中心极限定理，这是数理统计的灵魂。”感觉还挺叼的，翻出来复习一下。果然这段被张宇形容为Paper Tiger~
概率论不是研究随机现象的，它是研究随机现象背后的客观规律性，我们找的不是不确定，我们找的是不确定背后的确定性。 ——from 张宇
大数定律与中心极限定理
¶一、依概率收敛
¶1.1 概念和理解(记住公式)
设lbrace{X_n}rbrace为一随机变量序列。目标：X为一随机变量（或a为常数）。
，恒有
¶1.2 例题
设${ X_n}$服从$X_nsim f_n(x)=dfrac{n}{pi(1 n^2x^2)},{-infty}<{x}<{ infty}$，证明$x_n xrightarrow{p} 0$
证明：
$$ P(|X_n-0|<{epsilon})=p(-epsilon<{x_n}<{epsilon})\ =int_{-epsilon}^{epsilon}frac{n}{pi(1 n^2x^2)}dx\="frac{1}{pi}arctan{nepsilon}|_{-epsilon}^{epsilon}\" =frac{2}{pi}arctan{nepsilon}\ lim_{n to infty}p{|x_n-0|<{epsilon}}="lim_{n" infty}frac{2}{pi}arctan{nepsilon}="1\" 故x_nxrightarrow{p}{0} $$
¶二、大数定律 大数定律是描述相当多次数重复实验的结果的定律。根据这个定律知道，样本数量越多，则其平均就越趋近期望值。 大数定律很重要，因为它“保证”了一些随机事件的均值的长期稳定性。人们发现，在重复试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；人们同时也发现，在对物理量的测量实践中，测定值的算术平均也具有稳定性。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。偶然必然中包含着必然。
¶2.1 切比雪夫大数定律
一句话总结 ：样本的均值，收敛到它的期望。
设{X_n}是相互独立的随机变量序列，若方差DX_k存在且一致有上界，则
$$ frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}X_ixrightarrow{P}frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}EX_i $$
条件 ：相互独立；方差有上界。
箭头左边为样本均值，是一个变量。箭头右边是一个数。变量xrightarrow{P}数。
平均值在大样本的情况下，随机变量的均值依概率收敛到一个客观存在的数。这反映了平均值的稳定性。
¶2.2 伯努利大数定律
一句话总结 ：频率，收敛于概率。
设u_n是n重伯努利试验中事件A发生的次数，在每次试验中A发生的概率为p，则 dfrac{u_n}{n}xrightarrow{P}p。
¶2.3 辛钦大数定律
存在，则
条件 ：同分布；期望存在（有分布不一定有期望）。
其实是切比雪夫大数定律的特殊情况。
¶三、中心极限定理
不论X_i独立（independently）同（identically）分布（distributed）于什么分布，只要把他们加起来，n个独立同分布的随机变量，在大样本的情况下，它的和服从正态分布。
$$ 不论X_ioverset{text{iid}}{sim}F(mu,sigma^2)，\ Rightarrowsum_{i=1}^{n}X_ioverset{ntoinfty}{sim}N(nmu,nsigma^2)\ Rightarrowfrac{sum_{i=1}^{n}X_i-nmu}{sqrt{n}sigma}overset{ntoinfty}{sim}N(0,1)\ 即 lim_{ntoinfty}P(frac{sum_{i=1}^{n}X_i-nmu}{sqrt{n}sigma}leq x)=Phi(x) $$
